Ψ压缩在不同图度量空间中的N阶不动点定理

2022-03-16 13:03梁晓楠王诗云赵金阳

沈阳航空航天大学学报 2022年1期

梁晓楠，王诗云，赵金阳

(沈阳航空航天大学理学院，沈阳 110136)

不动点理论在非线性微分方程、非线性积分方程等方面有广泛的应用。巴拿赫压缩原理于1922年被首次提出[1]。随后，一些数学家改进推广了这一原理，并讨论不同空间上各种映射下的不动点定理。1977年，Matkowski[2]提出了一个关于Ψ函数的压缩，得出了很多关于Ψ压缩的结论。2004年，Ranand等[3]利用Ψ压缩建立了偏序度量空间上的不动点理论。

自从2006年Bhaskar等[4]给出二阶不动点的定义后，一些二阶、三阶和N阶不动点定理相继出现。Lakshmikantham等[5]，Sharifa等[6]，Sintunavarat等[7]利用Ψ压缩研究了偏序度量空间中的二阶不动点定理。Amini-Harandi[8]得到了三阶不动点定理。2008年，Jachymski[9]在具有图度量空间上建立了一些不动点理论。这些结果推广和统一了具有偏序阶度量空间中的一些结果。此后，许多学者开始研究带图度量空间上的不动点理论，丰富了不动点的理论知识[10-12]。

本文主要从两个方面进行研究：一是利用Ψ压缩构建不动点定理；二是研究不同图的N阶不动点理论。第1部分讨论具有一个图的度量空间上的Ψ压缩不动点定理。第2部分讨论具有不同图的度量空间上的N阶不动点定理。在这一部分中，考虑在同一集合上不同的图(xn,G)=(X,G1)×(X,Gi)×，…，×(X,Gn)构造了一个N阶不动点定理。

1 一阶不动点定理

用(X,d,G)表示具有图G的度量空间(X,d)，借用文献[9]中引入的“保边”和“G-连续”的定义。

定义2对f:X→X，∀x,y∈X，如果(x,y)∈E(G)，就有(f(x),f(y))∈E(G)，则称f:X→X是保边的。

在下面的研究中，需要用到以下两个假设。

假设(A1)：X中的任一序列(xn)n∈N，对于任意的n∈N，如果xn→x并且(xn,xn+1)∈E(G)，则(xn,x)∈E(G)。

定理1设f:X→X是完备度量空间X上的一个映射。定义xf={x∈X:(x,f(x))∈E(G)}。如果：

(i)f是保边的；

(ii)xf≠φ；

(iv)f是G-连续的，或者假设(A1)成立。

则f有一个不动点。

证明：当t∈(0,∞)，由[13,th1.2]可知，ψ(t)

不失一般性，设x0∈xf且x0≠f(x0)。因为(x0,f(x0))∈E(G)以及f是保边的，有

(fn(x0),fn+1(x0))∈E(G)其中n≥1

同时

d(fn(x0),fn+1(x0))≤ψ(d(fn-1(x0),fn(x0)))

≤ψ2(d(fn-2(x0),fn-1(x0)))

≤…

≤ψn(d(x0,f(x0)))

如果f是G-连续的，易得x=f(x)。假定假设(A1)成立，有(fn(x0),x)∈E(G)并且(fn+1(x0),f(x))∈E(G)。因此，对于n≥1时

d(x,f(x))≤d(x,fn+1(x0))+d(f(x),fn+1(x0))

≤d(x,fn+1(x0))+ψ(d(x,fn(x0)))

≤d(x,fn+1(x0))+d(x,fn(x0))

这意味着f(x)=x。

定理2如果定理1的假设加入假设(A2)则f的不动点是唯一的。

那么，

对n≥1,有

这是矛盾的。

2 N阶不动点定理

本节讨论在(X,d)上赋予不同图时的N阶不动点理论。例如，(X,d,G)来表示具有图G的度量空间(X,d)，那么G-1可以认为是另一个独立的图G′=G-1，记作(X,d,G′)。这一转变拓宽了研究的范围和视野。把F:Xn→X的N阶不动点问题转化为F:Xn→Xn的不动点问题。

设(X,d)是非空的度量空间，在同一个集合X里定义N个不同的图，记为(X,d,Gi)。设F:Xn→X是一个给定的映射。

对于x:=x(1)=(ξ1,ξ2,…,ξn),定义x(2):=(ξ2,…,ξn,ξ1),…,x(N):(ξn,ξ1,…,ξN-1)。

定义3称F:XN→X是保边的。若任意x,y∈XN,(ξi,ηi)∈E(Gi)，有(F(x(i)),F(y(i)))∈E(Gi)，i=1,2,…,N。

定义5称x=(ξ1,ξ2,…,ξn)为F:XN→X的N阶不动点，若

ξ1=F(x),ξ2=F(x(2)),…,ξN=F(x(N))

定义(X,D,G)如下：X=XN,V(G)=X，并且任意x,y∈X，E(G)和D分别定义为式(1)和式(2)：

(x,y)∈E(G)⟺(ξi,ηi)∈E(Gi)

(1)

D(x,y)=d(ξ1,η1)+d(ξ2,η2)+,…,+d(ξN,ηN)

(2)

定义:X→X为式(3)

F(x)=(F(x),F(x(2)),…,F(x(N)))

(3)

显然F的不动点是F的N阶不动点。

类似假设(A1)与假设(A2),提出下面两个假设：

假设(A3)对于i=1,2,…,N,并且X里任意序列(xn)n∈N有xn→x，如果(xn,xn+1)∈E(Gi),对于任意n∈N，则(xn,x)∈E(Gi)。

假设(A4)对于任意x,y∈xn，存在某一点z∈xn有

定理3设(X,d,Gi)其中i=1,2,…,N是图Gi下的完备度量空间，设F:XN→X是一个映射满足：

(i)F是保边的;

(ii)φ≠{x=(ξ1,ξ2,…,ξn)∈X:(ξi,F(x(i)))∈E(Gi),i=1,2,…,N}；

d(F(x),F(y))≤ψ1(d(ξ1,η1))+ψ2(d(ξ2,η2))+，…，+ψn(d(ξn,ηn))

(iv)F是NG-连续的或者假设(A3)成立。

证明：根据公式(1)～(3)可知，F是保边的，XF≠φ 并且F在X上是G-连续的或者假设(A1)成立。显然，F的不动点是F中N阶不动点，只需证明定理1的条件三成立。以三阶的情况为例加以证明，N阶的情况同理。

D(F(x),F(y))=

d(F(x),F(y))+d(F(x(2)),F(y(2)))+d(F(x(3)),F(y(3)))≤ψ1(d(ξ1,η1))+ψ2(d(ξ2,η2))+ψ3(d(ξ3,η3))+ψ1(d(ξ2,η2))+ψ2(d(ξ3,η3))+ψ3(d(ξ1,η1))+ψ1(d(ξ3,η3))+ψ2(d(ξ1,η1))+ψ3(d(ξ2,η2))

=ψ(d(ξ1,η1))+ψ(d(ξ2,η2))+ψ(d(ξ3,η3))

≤ψ(d(ξ1,η1)+d(ξ2,η2)+d(ξ3,η3))

=ψ(D(x,y)).

由定理1可知F有一个不动点，这个不动点是F中的三阶不动点。