放慢探究脚步，经历抽象过程

赵绪昌 周宏琴

摘要：初中数学《图形的平移》一课，要在概念探究和性质探究两个教学环节中，放慢脚步，让学生充分经历抽象的过程。具体包括，将物体的平移抽象为图形的平移;从各种具体的图形平移中抽象出平移的两个基本要素，得到图形平移的概念;将平移前后两个图形之间的关系转化为对应点之间的关系;通过具体的图形操作（测量），发现对应点连线之间的关系;基于抽象的平移概念，说明对应点连线关系成立的理由。

关键词：抽象过程;《图形的平移》;教学诊断

本文系四川省教育厅2019年度四川省名师名校长工作室专项课题“凸显学生数学思维过程的教学策略研究”（文号：川教函[2019]514号）的阶段性研究成果。2021年12月30日，在四川省教育科学研究院于成都市树德实验中学（西区）举办的2021 年四川省初中数学教材（北师大版）培训与教学研讨活动中，一位教师执教了《图形的平移》（北师大版初中数学八年级下册第三章第1节第1课时）展示课。听完此课，我们觉得，虽然其教学过程比较流畅，教学环节比较合理，教学素材比较丰富，教学方式比较科学，但是其教学细节依然存在一些不足。现将本节课的主要教学过程和我们的教学诊断以及改进建议呈现如下，供读者参考。

一、教学过程

（一）探究平移的概念

师我们的物理老师常说：物体的运动是绝对的，静止是相对的。（出示升国旗、推动推拉窗、俄罗斯方块运动等动态图）请同学们观察：这些物体在如何运动？这些运动有什么共性呢？

生方向不改变。

生都是平移运动。

师这节课，我们将在小学学习的基础上进一步认识平移。（板书课题：图形的平移）你还能举出一些平移的例子吗？

生电梯向上运动。

生商场扶梯斜着向下运动。

生窗帘滑动。

师在这些例子中，同学们提到了向上、向下、斜着等，这些都属于移动的方向，仅凭方向能不能确定物体平移后的位置？

生不能。

师现在我们来玩一个平移小游戏：请同学们拿出粉色的三角形纸片，将纸片放在桌面的左下角。

（学生照做。）

师听我指令：将纸片向右平移，左右两位同学相互观察。

（学生照做。）

师你们平移后的纸片在桌面上的位置是否一样？

生不一样。

师为什么不一样？

生因为不知道平移多远，也就是不知道平移的距离。

师将纸片向右平移10 cm，现在纸片在桌面上的位置是否一样？

生一样。

师说明要确定物体平移后的位置需要明确哪些条件？

生方向和距离。

师通过这个游戏，我们对平移有了更深刻的认识，那你们能不能给图形的平移下一个定义呢？

生在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移。

师平移的要素有哪些？

生平移的方向和平移的距离。

师方向只能是向左、向右、向上、向下吗？

生还可以斜着，只要是直线方向即可。

师直线方向也就是同一个方向。请同学们观察平移前后图形的形状是否改变？大小呢？

生形状、大小不变，只改变位置。

师（出示图1）认识了平移，请同学们判断下面几组图形能否通过平移得到？

（学生判断。）

（二）探究平移的性质

师认识了平移的概念，接下来研究平移的性质。先来分析平移前后图形元素的变化。（在几何画板中演示平移，得到图2）如图，将△ABC平移到 △A′B′C′的位置。点是组成图形的基本元素。△ABC中的点A平移到了哪里？

生点A′。

师我们就把它们称为一组对应点。图中还有哪些对应点？

生点B对应点B′，点C对应点C′。

师线段是由点组成的，但也可以看作（直线）图形的重要元素。那么，线段AB平移到了哪里？

生线段A′B′。

师我们就把它们称为一组对应线段。图中还有哪些对应线段？

生线段AC对应线段A′C′，线段BC对应线段B′C′。

师同样地，角也可以看作（直线）图形的重要元素。图中有哪些对应角？

生∠A对应∠A′，∠B对应∠B′，∠C对应∠C′。

师這里的“对应”是什么意思？

生∠A平移到了∠A′……

师可见，平移的方向和距离也可以用一组对应点及其所连线段来描述，如点A到点A′的方向、线段AA′的长度。（稍停）认识了图形平移和点的平移的关系，我们能不能根据平移的方向和距离画出平移后的图形？（出示图3）如图所示，在方格中画出△ABC向右平移4个单位后的△A′B′C′。请同学们在学习单上独立完成，并总结作图步骤。

（学生作图。）

生先找出点A的对应点A′，点B的对应点B′，点C的对应点C′，再连接A′B′、B′C′、C′A′。

师请你总结一下作图步骤。

生先找对应点，再连线段。

师注意顺次连接。接下来，请同学们按照这一步骤，在学习单上独立完成变式。（出示图4）在方格中有四边形ABCD，平移后点A到了点A′处，画出平移后的四边形A′B′C′D′。

（学生作图。）

师请一位同学上来讲一讲你的画法。

生先向右平移4个单位，再向下平移1个单位找对应点，然后顺次连接。

师向右、向下两次平移可转换为斜着的一次平移，即沿着AA′平移。（稍停）现在可以研究平移的性质了。从哪些方面来研究呢？

生对应点、对应线段、对应角。

师我们先来看对应点。点没有大小，位置关系也不太好描述，所以，我们研究对应点所连线段的关系。线段的关系从哪些方面去研究？

生数量关系和位置关系。

师请同学们在刚才作出的图形上，测量对应点所连线段的长度以及相关角度，然后小组交流结论。

（学生测量，交流。）

师你们的结论是否一样？

生对应点所连线段的数量关系是相等，位置关系是平行或共线。

师能否分享一下你的测量过程与结果？

（学生上台，通过投影展示。）

师接下来研究对应线段的数量关系和位置关系。请同学们在刚才作出的图形上，测量对应线段的长度以及相关角度，然后小组交流结论。

（学生测量，交流。）

师你们的结论是否一样？

生（同步投影展示）对应线段的数量关系是相等，位置关系是平行或共线。

师最后一个，对应角具有怎样的数量关系？请同学们在刚才作出的图形上，测量对应角的度数，然后小组交流结论。

（学生测量，交流。）

师你们的结论是否一样？

生（同步投影展示）对应角的数量关系是相等。

师同学们通过测量、分析，得出了平移的三条性质。老师也做了一个动画来验证它们。（几何画板演示平移，实时测量显示有关的长度与角度）现在，总结一下，平移的性质从哪些方面研究？研究了哪些关系？得到了什么结论？

……

（三）图形平移的应用

教师通过一道有关长度、角度的几何题和一道有关面积的几何题，让学生尝试平移的应用;然后通过埃舍尔的画作和嵊州百年老台门成功修缮的实例，让学生欣赏、感受平移的应用。

二、教学诊断及改进建议

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对第二学段“图形的平移”的教学要求是：通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移;能从平移的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。②中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：24，37。对第三学段“图形的平移”的教学要求是：通过具体实例认识平移，探索它的基本性质;认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用;运用图形的平移进行图案设计。②可见，对“图形的平移”，小学阶段的教学重在直观感知，初中阶段的教学重在直观感知基础上的抽象概括。

徐利治先生指出：“所谓抽象思维，一般指抽取出同类事物的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他（非共同的）非本质的属性或特征的思维过程。”史宁中教授指出：“抽象是一种数学的思维过程，是从所要研究的数学问题中，舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性。”可见，抽象是一个从特殊到一般的归纳过程。数学抽象是数学的基本思想，由此可以形成数学概念、性质、法则和方法等，数学的研究对象都是抽象思维的产物。

除了“从特殊到一般”这一本质之外，抽象（思维）还包括一些具体细节过程。从上述教学过程来看，《图形的平移》一课，要在概念探究和性质探究两个教学环节中，放慢脚步，让学生充分经历抽象的过程。

在概念探究环节，一方面，要引导学生经历将“生活中的平移（物体的平移）”抽象为“数学中的平移（图形的平移）”的“数学化”过程;另一方面，要引导学生经历从各种具体的图形平移（乃至“非平移”）中，抽象出平移的两个基本要素（方向与距离），得到图形平移概念（定义）的过程。

在上述教学过程中，教师虽然呈现并让学生举了物体平移的例子，但是，没有让学生经历从物体的平移到图形的平移的抽象过程（我们听课发现，这种教学问题很普遍，应引起高度重视）。我们建议，在学生观察、举出物体平移的例子后，追问：在这些运动中，分别把什么看成图形？是哪些图形？从而搭建起学生感性经验和理性认知之间的桥梁，引导学生把物体抽象为图形。特别是，初中研究的是平面图形在平面上的平移（立体图形在空间中的平移可以通过截面，分解转化为平面图形在平面上的平移。这其实是把图形的平移分解转化为点的平移的思考基础），所以，还要让学生经历从立体物体到平面图形的抽象过程。

此外，教师在物体平移的基础上，主要通过指令明确的图形平移小游戏，引导学生抽象出平移的两个基本要素，得到图形平移的概念。这里，主要存在两个问题：一是抽象的基础——具体的图形平移案例不够丰富，尤其是缺少反例（非标准变式）;二是游戏指令过于具体，对探究结果的暗示太强。我们建议，放开限制，让学生自由体验图形的运动（包括平移和非平移），自主归纳平移的基本要素（本质特征）;引入更多例子，包括正例和反例（如图1中的例子）、易混淆的例子（如摩天轮，其轿厢运动从过程看，不是平移，因为移动方向一直在变;从结果看，是平移，因为方向一定、距离一定，所有点的运动一致。由此可以提升学生的辩证思维），让学生检验归纳的结果是否恰当（是否只要抓住这些要素，就能判断平移;是否只要满足这些特征，就一定是平移）;并让学生通过交流、讨论，不断完善归纳的结果。由此，学生不仅可以得到平移的基本要素以及描述性定义，而且可以充分认识要素之“要”，理解定义的内涵——图形的平移是图形整体的平移，每一部分（点）都沿同一方向移动同一距离。

在性质探究环节，首先要让学生基于平移的概念，从整体上理解平移的性质指的是平移前后两个图形之间的关系（变中不变），可以分解转化为对应点之间的关系（从图形到点是从物体到图形基础上的进一步抽象）;其次要结合枚举归纳和科学归纳尹力，郭修瑾.小学数学教学中归纳推理能力的培养[J].教育研究与评论（小学教育教学），2021（12）：3235。，让学生既通过具体的图形操作（测量）寻找共同本质，发现对应点连线之间的关系，又基于抽象的平移概念寻找必然联系，说明对应点连线关系成立的理由。

由此可以发现，上述教学过程存在三个问题：

一是没有基于平移的概念，通过独立思考、小组交流以及教师引导，让学生认识到：平移的基本性质只在于對应点连线之间的关系，不在于对应线段和对应角之间的关系，因为后者一方面可以由平移的定义得到（既然形状、大小不变，那么对应线段和对应角自然相等），另一方面在有些图形（比如圆）的平移中不存在（也就是没有基于抽象后最一般的平移展开研究）。实际上，课程标准要求的平移的基本性质只有对应点连线之间的关系，人教版、苏科版初中数学教材的编排也只引导学生得到这一关系，只有北师大版教材的编排同时引导学生得到对应线段和对应角之间的关系。可见，认真阅读课程标准、充分比较各版本教材，应是教师备课的基本环节。

二是让学生通过具体的图形操作（测量）发现对应点连线之间的关系时，设计的操作图形过于“完美”，包括了“平行”和“共线”两种情况，这样就不能让学生充分经历“初步归纳（得到‘平行’）—质疑检验—遇到反例—修正归纳（得到‘平行或共线’）”的抽象过程，从而不能让学生充分认识到归纳是或然推理，需要检验甚至修正，也失去了培养学生思维严谨性的良好机会。

三是学生通过具体的图形操作（测量）发现对应点连线之间的关系时，要得到正确的结论，必然要对数据做近似处理（因为测量误差的存在，数据不可能正好相等），因此，必然影响学生对结论的信服程度。但是，教师只是让学生通过图形操作（测量）发现结论，而没有让学生基于抽象的平移概念寻找必然联系，说明对应点连线关系成立的理由，从而提升其信服程度。实际上，根据平移的定义，图形的每一部分（点）都沿同一方向移动同一距离，所以对应点连线自然平行或共线且相等。而图形操作（测量）更多的是用来帮助学生体验、确认这一结论的。

综合来看，这三个问题反映了，教师对概念抽象与性质抽象的区别和联系把握不足（性质抽象要以抽象的概念为基础，融入演绎推理，即科学归纳），只是简单地“走过场”，机械地让学生经历一下“从特殊到一般”的过程。

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