“矩阵理论”案例库建设的探索与实践

李 敏，严志国，纪 鹏，朱礼营，郭俊美

（齐鲁工业大学(山东省科学院)信息与自动化学院 山东 济南 250353）

控制工程专业研究生的培养目标是培养控制专业领域的高层次应用型专门人才，使他们具备坚实的基础理论和宽广的专业知识，有较强的解决实际问题的能力，能从事专业技术或管理工作的能力，拥有良好的职业素养等[1]。因此，控制工程专业学位研究生的课程教学内容强调课程的理论性与应用性的有机结合，尤其突出案例分析和实践研究。

为了促进专业学位培养的高效性，辅助工科学科前沿领域解决基础理论问题，加大研究生必修课程的应用实践内容势在必行。必修课程的案例库建设可以提高研究生运用基础理论知识进行应用研究的能力，拓宽研究生的专业视野，促进交叉学科的研究，提升研究生的应用创新能力。为推动控制专业研究生的培养模式改革，齐鲁工业大学控制专业已经建设了一批案例库，例如，智能控制系统与应用，智能电网控制技术，系统仿真，数字图像处理与应用和工业系统故障诊断与预测等。自20世纪80年代以来，为了满足各学科领域计算的需要，“矩阵理论”逐步成为高校控制、电子、电气等工学类专业学位研究生的基础理论课程之一。本文以控制工程专业“矩阵理论”案例库的建设为例，进一步探究专业学位研究生的教育教学改革。

1 案例库建设的国内外现状

案例教学是以案例为基础，通过呈现案例解决过程的现实情境，将基础理论知识与实际问题紧密结合，引导学生发现、分析和解决实际问题，从而掌握理论、形成观点、提高能力的一种教学方式[2]。故案例教学对解决专业学位教育的理论实践结合问题具有重要意义。

19世纪70年代，美国哈佛法学院和哈佛医学院依次开展案例教学法。20世纪20年代哈佛商学院也开始运用案例教学法。此工作奠定了哈佛商学院基于案例教学法进行商业教育的主要引领者地位。从20世纪40年代中期开始，哈佛大学的案例教学法对外界的影响不断扩大。目前美国哈佛商学院虽然也采用课堂讲授、模拟、实地调查或者其他教学形式，但80%以上的课程仍然采用案例法。其他国家大学的法学、医学、工商管理教育等争相效仿美国哈佛商学院的案例教学法。

我国专业学位教育引入案例教学法是在20世纪90年代。由于对案例教学法的认知不够，案例教学法的推广比较缓慢。我国研究生案例教学的整体水平还比较低，虽有一部分大学和研究所在某些专业已经施行案例教学，但缺乏公开的案例库平台，许多专业的课程案例库还处于空白阶段[3-5]。从哈佛商学院案例教学的发展历程可以看出，案例库建设是开展案例教学的前提。案例教学法已经成为教学方法改革的重要措施之一，与之相对应的案例库建设也作为案例教学法的一个必要环节纳入研究生课程建设的范畴。教育部关于加强专业学位研究生案例教学的意见指出“加强案例教学，是强化专业学位研究生实践能力培养，推进教学改革，促进教学与实践有机融合的重要途径，是推动专业学位研究生培养模式改革的重要手段。”[1]

2 案例库建设内容

控制工程专业研究生应掌握本学科的基础理论，并能够灵活运用其创造性地解决控制专业工程问题；把握本学科的前沿动态，在跟踪本学科领域前沿的基础上开展原创性的研究工作；掌握与数学方法、网络与通信技术、计算机科学、图像信息获取与处理等相结合的跨学科领域的知识结构，开展新兴交叉学科的研究。为此，“矩阵理论”案例库采用三级建设方案。

矩阵理论可分为矩阵方程、矩阵范数、矩阵分解、矩阵函数和广义逆矩阵等现代理论组成部分。“矩阵理论”案例库所涉及的基础理论应用主要分为三类：一是矩阵理论在各个专业学科领域的基础应用；二是矩阵理论作为基础工具课程在相关课程中的关键作用，特别是控制理论学科方向的应用案例，涉及的课程有“线性系统、随机过程、最优化方法、最优控制、数字图像处理与应用和机器人控制技术”等；三是交叉学科领域运用矩阵理论的复杂应用案例。所建设案例要具备完整性、可读性和规范性。案例库根据应用领域、适用场合和难度程度分为三个等级进行建设。

第一级案例库举例：重点突出矩阵理论在各个专业领域的基础应用。①矩阵基本运算在图像基本处理过程中的应用：图像可以用矩阵描述，给出了矩阵加减法及矩阵转置与图像相加、图像求反及图像转置之间的关系，并利用MATLAB对经典图像进行实验。②矩阵在电路分析中的应用：首先构造电网络的关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵，然后基于矩阵知识运用KVL和KCL定律分析电路，并求解复杂的电路问题。③矩阵在分析机器人运动学中的应用：引入齐次变换矩阵和旋转矩阵在机器人位姿描述中的作用。④矩阵在计算机视觉中的应用：建立世界坐标系与相机坐标系的关系。⑤矩阵在几何光学中的应用：将光学系统看成一个2×2的ABCD矩阵，导出光的反射和折射定律的线性系统矩阵形式。⑥矩阵在网页排序中的作用：借助邻接矩阵的非负特征向量求得反映网页重要性的权重。

第二级案例库：重点突出矩阵理论作为基础工具课程在相关课程中的关键作用，特别是控制学科方向的专业课程。①向量、矩阵函数的导数和积分在研究线性时滞系统稳定性判定条件中的应用。②向量、矩阵函数的导数和积分在研究线性系统二次型性能指标的最优控制中的应用。③线性空间基的思想和初等变换等在研究线性规划最优解的单纯形算法中的应用。④矩阵的范数和无穷级数在研究离散系统的李雅普诺夫稳定性中的应用。⑤基于矩阵的哈密尔顿凯莱定理研究离散系统的李雅普诺夫方程的解的表达式。⑥基于矩阵运算研究连续系统的李雅普诺夫方程的解的表达式。⑦矩阵幂级数和约旦标准型在求解线性定常系统状态解的过程中所起的作用。⑧非奇异变换不改变状态空间模型的能控性，借助系统矩阵的相似矩阵形式—约旦标准型来判定线性系统的能控性。⑨以线性定常系统为研究对象，运用矩阵函数的相关知识和方法讨论线性定常系统的稳定性。⑩以矩阵幂级数的收敛性判别系统矩阵的谱半径大小，以粗略估计特征值的大小或者分布范围，从而判定线性系统的稳定性。

第三级案例库：重点突出交叉学科领域运用矩阵理论的复杂应用案例。①奇异值分解和矩阵范数在图像降噪中的应用：将奇异值分解和能量最小法则联系起来，在代数空间中建立了一种图像降噪的自适应算法。②正交对角化和奇异值分解在图像处理和统计学中的应用：运用主成分分析方法，针对卫星图像问题分析多维数据，只需要一两幅合成图像就可以提供大部分信息的有效方法。③基于矩阵奇异值分解的人脸识别方法：提出一种矩阵的秩逼近法，基于矩阵奇异值分解得出人脸识别新方法。借助ORL人脸数据库进行实验，并使用最近邻决策规则进行分类识别。④广义逆矩阵方法在陶瓷坯料配方设计中的应用：将陶瓷坯料配方问题转化为求解广义逆矩阵的问题，通过求解广义逆矩阵，得到陶瓷坯料的最佳配方。⑤在通信信号数据融合算法中的应用：鉴于试验中针对微弱通信信号的检测难度比较大的问题，基于矩阵理论提出一种通信信号数据的融合算法。⑥矩阵奇异值分解在分析配电网电压谐波中的应用：基于矩阵的奇异值分解法，选择灵敏度矩阵对角元素的最大值为有源电力滤波器的最优安装方法。⑦在随机过程随马尔可夫链中的应用：以预测某一固定地区美国国会选举的投票结果为案例，马尔科夫链可以预测遥远的未来，初始状态对马尔科夫链的长期行为没有影响。⑧在多输入多输出技术（MIMO）信道容量中的应用：建立MIMO无线信道模型，基于相关矩阵理论分析MIMO信道的相关性。利用奇异值分解计算MIMO信道容量。

3 案例库建设的特色

①案例分级建设，难易结合，适应不同层次学生的需求。第一级案例库考虑课上学生的接受能力，选择一些典型的不需较深专业背景的应用案例，具有普遍的适用性；第二级案例库考虑矩阵理论的计算工具功能，反映矩阵论在其他专业课程中的理论应用，主要以控制专业的相关必修课程为主；第三级案例库具有一定的深度和广度，案例资源从学科前沿研究领域中搜集整理，既有相关工科专业的应用背景案例，增加案例库的普适性，也有深入地反映控制工程主要研究方向的应用案例。

②案例的教学策略有两个。一是对于前两级案例以课内应用教学为主，配合其他研究生课程的教学，部分精讲，部分粗讲；二是对第三级的经典案例采用专题形式进行课内精读研究，与学生一起研究案例背景、问题的描述，分析矩阵理论在案例中的功能，总结矩阵理论作为工具在这个研究方向的价值；大部分第三级案例以课外拓展为主，另外由学生自主选择部分案例以小组报告的形式录制视频，进行线下讨论和交流。

③视频案例库的建设。课时是有限的，有些难度较大的案例很难在正常教学时进行交流和讨论，另外案例库的资源很丰富，也不可能一一在课内展示，所以建设在线视频案例库，供教师和学生在课下交流是非常有必要的。

④案例研究与教学研究并举。案例库的建设有助于提升研究生教育质量，但对于课程建设而言，仅有案例库是远远不够的。本项目把课程理论与案例实践教学紧密结合，引导学生分析案例背景，运用概念、性质和定理结论解决工程背景问题。

⑤价值观专业塑造。将思政教学融入典型教学案例，既有利于促进学生掌握知识，又有利于提高学生个体的思想品德和素养，同时还有利于研究生将来的专业科研工作，促进学生的智育、德育和科研能力的提高。

⑥案例库资源涉及领域是多样的。控制工程专业是为所有自动控制行业服务的，与各类工科应用领域相关。宽领域的案例库增大了矩阵理论课程的信息量，促进了学科交叉，拓宽了学生的应用研究视野，启迪了创新意识。

4 结语

案例教学不是简单的例子教学，一个成功的案例教学离不开案例教学过程的合理设计[6]。在案例教学的过程中，首先明确案例的教学目标，其次针对案例情境设计科学的思考问题，再次启发学生联系案例情境所匹配的知识工具，逐步提供启发性的分析路径及逻辑，然后训练学生知识情境化应用的过程，最终实现该案例教学的教学目标。

“矩阵理论”案例库的建设团队，既有控制工程专业各任课教师，又有各研究方向的硕士生导师。本案例库经过建设和实践阶段之后，矩阵理论的思想方法有效传递给了后续控制工程专业领域的应用研究教学和学习，也有利于“矩阵理论”的案例教学与研究生培养目标有效结合。