分层剖析理解水平 有效促进意义建构——对小学高段学生理解“分数意义”水平层次的研究

陈巨峰

（萧山区宁围小学，浙江 杭州）

通过文献分析、问卷调查等方法，对小学五、六年级学生“分数意义”的理解水平进行了研究，得出小学高段学生理解“分数意义”的十个水平层次：“份数”定义的形式化理解水平1（分数单位对应的具体量是单个物体的）；分数的“数概念”认识水平；分数单位的理解水平；“份数”定义的形式化理解水平2（分数单位对应的具体量是多个物体的）；单位“1”深层次理解水平；“份数”定义抽象化理解水平；假分数意义理解水平；分数的无量纲性和量纲性理解水平；自主建构单位“1”水平；“份数”定义、“商”定义、“比”定义综合理解水平。根据分数意义的理解水平层次和学生在理解上存在的问题，对分数意义教学提出若干建议。

分数一词来自拉丁文的“fangere”，它的原意是分开，通常用来描述一个分开的全体的各个部分。作为数学概念的分数，由于其表征形式的不同而产生多种意义：图形中整体的一部分（即连续量中“部分与整体”关系）；子集与集合关系（离散量）；除法中等分除的商；小数；数轴上的一点；比（比值）。张奠宙将分数定义概括为以下四种：“份数”定义：分数是一个单位均分之后中的一份或几份。“商”定义：分数是两个整数相除的商。“比”定义：分数是q与p之比。公理化定义：有序的整数对：（p，q），其中，p≠0。

认识分数是小学生对数概念的一次重要扩展。因分数本身比较抽象，又兼具“量纲性”和“无量纲性”的特征，因此分数意义历来是小学数学教学中的一个重难点。分析现行使用的六套新课标教材发现：基本按两段式编排分数，都以“份数”定义形式来揭示意义；通过“分数与除法”来进一步认识分数的“商”定义，但没有出现“商”定义这样的名称；在六年级时都安排“比的意义”，沟通分数、除法和比三者间的关系。

纵观我国各个时期的教学纲要，都明确提出要重视对分数意义的理解，但缺少具体、深入的解释说明。为准确了解学生学习分数意义不同的理解水平层次，促进学生对分数意义的有效建构，我们选择了宁波和杭州两所学校五、六年级的学生进行了调查研究。

一、开展实证研究，分层解剖学生的理解水平

（一）研究的过程

参与研究的五年级学生刚学习了“分数的意义”，六年级学生学习了“比的意义”。通过问卷的形式测查五、六年级学生对分数意义的理解具体情况，并将此作为划分分数意义理解水平层次的事实依据。

遵循尽可能体现教材中呈现的不同水平层次的习题的原则，选取了14组有代表性的测试题，并按照学生解决问题的难易程度和题目本身结构的复杂程度进行分层排序，编拟成测试卷。测试时间为40分钟。在测试过程中不作任何解释和说明，学生独立完成。对阅卷过程中发现的一些问题，进行了跟踪访谈。

测试后共收到有效测试卷184份（五年级91份、六年级93份）。之后对这184份测试卷进行了定性分析和定量统计，依据答题正确的百分率和分数不同定义的难易程度，得出小学生理解“分数意义”的十个能力水平层次。

第一水平：“份数”定义的形式化理解水平1（分数单位对应的具体量是单个物体的）

这一水平是理解单位“1”是连续量的份总关系。达成标志是能借助实物或直观图形理解分数的“份数”定义。即能根据直观图示用分数表示部分和整体的关系；在给定单位“1”的情况下，能根据分数用涂色等方法表示部分和整体的关系。

第一水平层次的题：

题1.1—1.3：用分数表示下面各图的阴影部分或打“？”的部分。

题2.1—2.3：把每幅图看作单位“1”，用涂阴影的方法表示出对应的分数。

第一水平层次题各年级正确率（%）

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从测试结果来看，除题1.2外其余各题的正确率都是100%。题1.2的错误原因主要是：（1）受非智力因素影响造成审题、数小立方体个数不够仔细而出错。（2）认为是长方体中涂色的“面”和总数间的关系，而对长方体的面的总数又不清楚而导致错误。总体来说，五、六年级学生在形式化角度理解分数的“份数”定义水平层次上达到了较高的水准。

第二水平：分数的“数概念”认识水平

这一水平的达成标志是知道分数和整数、小数一样能表示数量的多少，认识到分数也是一种数，知道分数的各部分名称，能结合具体情境感知分数有大有小。

第二水平层次的题：

题13.1:

在下面的选项中，你认为哪些是数，把序号填在括号里。（ ）

在上面这些分数中最大的是（ ），最小的是（ ）。

题5：

第二水平层次题各年级正确率（%）

?

题13.1是一道多项选择题,正确的答案是A、C、E、F。根据第二水平的达成标志，我们将选择了E、F或EF的都算正确，然而正确率低得让人吃惊，五年级仅为62.6%，六年级也只有81.7%。题3从正确率看六年级反而要低于五年级，错误主要集中在分数线的名称，如写成分号、分线等。题5要求填写最大的和最小的分数。此两题五年级的正确率分别是86.8%和92.3%，六年级分别是98.9%和90.3%。因本水平层次仅要求学生能感知分数有大小，故测试后对错误的学生进行了访谈。访谈问题是：你认为这些分数有大小吗？所有学生的回答都是有大小。因此，仅从能感知分数有大小这个角度来讲，此题的正确率均为100%。

第三水平：分数单位的理解水平

这一水平的达成标志是：认识分数单位，知道一个分数是由若干个分数单位累加而成的。

第三水平层次的题：

题4：看图回答问题。

②除了上面这个分数单位，你还知道的分数单位有（）。

题13.4：

④以下的说法正确的是 （ ）

第三水平层次题各年级正确率（%）

?

分数单位就是分数的计数单位，但它和整数、小数的计数单位有很大的不同。学生在理解分数单位时相对要难一些。从测查结果来看，六年级比五年级正确率稍高，学生中存在的错误情况基本相似。可能受整数计数单位负迁移的影响，部分学生认为分母就是分数的分数单位。对一个分数包含几个分数单位的理解都达到100%。在回答“你还知道的分数单位有哪些”，多数学生能写出三个及更多，98%的学生用上了“……”表示写不完，说明对分数计数单位的个数是无限多的理解都比较到位。13.4是一道选择题，正确答案是ACD。五、六年级的正确率分别为69.2%和81.7%，但从本水平层次的达成标志来看，选择了C的都可算作正确，据此统计两个年级的正确率分别为90.1%和95.5%。

第四水平：“份数”定义的形式化理解水平2（分数单位对应的具体量是多个物体的）

这一水平是理解单位“1”为离散量的份总关系。达成标志是能借助实物或直观图形理解分数的“份数”定义。和第一水平一样包括两个层面，不同的是这里的分数单位对应的具体量是多个物体。

第四水平层次的题：

题1.4—1.5：用分数表示下面各图的阴影部分或打“？”的部分。

题2.4—2.6：把每幅图看作单位“1”，用涂阴影的方法表示出对应的分数。

第四水平层次题各年级正确率（%）

?

从测试结果来看，对分数单位对应的是多个物体的“份数”定义的形式化理解水平是呈纵向发展的，各题的正确率六年级都比五年级高。根据本水平层次达成标志，题1.5的正确答案是，若答为“”算作错误，以此标准统计五年级的正确率为60.4%。访谈部分学生，认为题目没有说明要化简，若要化简也知道答案是。从中也说明学生对分数单位对应的是一个物体的分数更容易理解。

第五水平：单位“1”深层次理解水平

这一水平达成标志：知道一个物体或一个整体都能表示单位“1”；能结合直观图示或在具体情境中理解分数对应的单位“1”。

第五水平层次的题：

题8.1—8.5：写出下面的各个分数对应的单位“1”。

第五水平层次题各年级正确率（%）

?

从测查结果来看，学生对份总关系中的单位“1”认识较准确。两个年级学生回答题8.1.1、8.1.2的准确率都是100%，而题8.1.3正确率分别是：83.5%和92.5%，可见学生对份总关系的理解比部分和部分关系的理解更为深刻。从题8.2—8.5的测查结果，发现学生在具体情境中理解单位“1”的准确性受语句表述方式的影响。在用间接及倒叙方式表述分数的情境中，学生理解单位“1”的准确率较低，在理解具体量中的单位“1”时准确率最低。另外，在表述单位“1”时还存在语言不完整、不规范的现象。

第六水平：“份数”定义抽象化理解水平

这一水平的达成标志是：能用语言表述分数的“份数”定义；理解分数的分子、分母表示的含义。第六水平层次的题：

题6.1—6.2：

②概括地说分数的分母表示（ ），分子表示（ ）。

第六水平层次题各年级正确率（%）

?

根据测查结果，发现学生数学语言表述能力普遍较弱。存在的主要问题有：（1）表述不完整。如分母表示总份数或分成几份、分子表示有几份等。（2）用词不规范。如把“平均分”说成“分成”；“表示这样的几份”说成“取其中的几份”。（3）对分母表示的含义存在片面性或错误性理解。如认为分母就是分数单位、单位“1”或总数。忽略以上存在的“表述不完整”和“用词不够规范”的因素，看题14的答题情况，发现两个年段学生在该水平层次还是达到了较好的情况。由此得到的启示：用抽象的语言概括分数中的各部分含义对学生来说有一定的难度，在建立正确的概念后，教师要重视学生语言表述的完整性、规范性的训练。

第七水平：假分数意义理解水平

这一水平的达成标志是：能根据直观图示写出假分数；能在数轴上表示出假分数；能用图示或语言表述指定的假分数的含义。

第七水平层次的题：

题1.6：用分数表示下图的阴影部分。

以一个圆为单位“1”

第七水平层次题各年级正确率（%）

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第八水平：分数的无量纲性和量纲性理解水平

这一水平达成标志：知道分数能表示具体量和分率；能根据具体情境区分一个分数表示的是量还是率。

第八水平层次的题：

题13.3选一选，按要求回答问题。

①有一盒月饼（见右下图），以下的说法，你认为（ ）

题13.5选一选

⑤学习了分数，发现分数有多种含义，你认为下面哪些说法是对的 （ ）

A.分数能表示“部分”和“整体”间的关系

B.分数能表示两个量相加

C.分数能表示“部分”和“部分”间的关系

D.分数能表示两个量相减

E.分数能表示两个量相乘

F.分数能表示两个量相除

G.分数能表示两个量的比

H.分数可以表示一个具体量

第八水平层次题各年级正确率（%）

?

题13.3.1的正确答案是C。从测查结果看，两个年级的正确率都略高于50%。错误的答案集中在“B”，两个年级选B的百分比分别是：32.3%和33.6%。题13.3.2要求结合所给情境表述盒和之间的不同。正确率都比较低。五年级中12%的学生此题未答。错误主要有以下几种：认为是有、无单位名称的区别；认为是放在句末和句中的区别；认为单位“1”不同的区别：前者的单位“1”是“一盒月饼”，后者的一个单位“1”是未知的，可以是很多东西。题13.3.3用指定的分数从具体量和分率角度分别说一句话。题13.5是多项选择，根据本水平层次标准，以选择了H和AC为正确标准进行统计的。从这几题发现，学生对分数表示具体量的理解不如对分率的理解来得深刻。

第九水平：自主建构单位“1”水平

这一水平的达成标志是：能根据需要自主确定单位“1”的量。

第九水平层次的题：

题9：

根据下面的图形，你能找到哪些分数，写一写你找到的分数。（用举例的格式写）

题9需要学生自主确定单位“1”的量。可以把7个图形、4个三角形、2个白圆、1个黑圆、3个圆等当作单位“1”。统计时我们从学生确定单位“1”多样性的角度进行汇总，如一个学生写出的分数有。根据他的回答可知他选用了同一种量作单位“1”，这样的情况记作一种。从测查结果来看，最多用到了5种不同的量来建构单位“1”，也有学生一个也没写。两个年级学生答题的具体情况见下图。

本水平层次的正确率，我们以选择了3种不同的量为单位“1”的标准进行统计。五、六年级的正确率分别是31.9%和46.2%。

第十水平：“份数”定义、“商”定义、“比”定义综合理解水平

这一水平达成标志：能从“份数”定义、“商”定义、“比”定义多维度表述同一分数的不同含义。

第十水平层次的题：

题13.5

⑤学习了分数，发现分数有多种含义，你认为下面哪些说法是对的 （ ）

A.分数能表示“部分”和“整体”间的关系

B.分数能表示两个量相加

C.分数能表示“部分”和“部分”间的关系

D.分数能表示两个量相减

E.分数能表示两个量相乘

F.分数能表示两个量相除

G.分数能表示两个量的比

H.分数可以表示一个具体量

题14：根据你对分数含义的理解，请你用不同的方法解释下面两个分数的含义。（指向从“份数”定义、“商”定义、“比”定义三个维度描述分数的含义）

第十水平层次题各年级正确率（%）

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题13.5是一道多项选择题，以选择了A、C、F、G为正确答案进行统计。题14是以“能根据指定的分数从‘份数’定义、‘商’定义、‘比’定义三个维度表述同一分数的不同含义”为正确标准进行统计的。五年级的学生因还未学习“比”，所以涉及“分数与比”内容的正确率为0。而六年级学生在题14的正确率仅为26.9%，让人感到很意外。

（二）得到的结论

1.分数意义理解的深刻性与年级发展方向是一致的

对比五、六年级各水平层次的达成率（见下表），横向观察发现，各年级的达成率由低水平层次向高水平层次逐步递减，前5个水平层次的达成率相对较好，水平八起达成率在60%以下，说明学生对理解分数的无量纲性和量纲性、自主建构单位“1”、综合理解分数含义的能力普遍较弱。纵向观察，各水平层次的达成率六年级的均高于五年级。说明学生对分数意义理解的深刻性与年级发展方向一致。

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2.“份数”定义理解的深刻性要高于“商”定义和“比”定义的理解

从形式化角度看，学生单项理解“份数”定义、“商”定义、“比”定义的能力差不多。但从抽象化角度比较，“份数”定义理解的深刻性要明显高于其他两种。根据题14的测查结果，在解释一个分数的含义时，95%的学生能用“份数”定义表述分数的含义，30%的学生能用“商”定义或“比”定义表述分数含义，能从三种定义的角度全面解释分数含义的就仅有26.9%的学生了。在理解分数的无量纲性时，学生对分数表示部分和整体关系理解的深刻性要高于对分数表示部分和部分关系的理解。这在题5.2、题8.1、题13.5、题9的测查结果中都有体现。

二、研究启示教学，促进意义深度建构

启示一：重视“商”定义的教学

“份数”定义是从表示两个量之间关系的层面揭示分数的含义，而分数还表示两个整数相除（除数不为0）的商，“商”定义可以说是更深刻、更概括地揭示了分数的一般含义。可测查结果显示学生对“份数”定义理解的深刻性要高于对“商”定义的理解；分数的数概念认识不足；分数无量纲性理解的深刻性要高于量纲性的理解。这些结果都说明学生对“商”定义的理解非常不足。为什么会这样？原因之一：教材编排的影响。现行六套新课标教材都是从“份数”定义引入分数，对于“份数”定义有明确的表述。在“份数”定义之后，教材编排了“分数与除法”的学习内容，但没有明确指出这是分数另一层面的含义。教材中编排“份数”定义的习题数量也远超“商”定义的。原因之二：教师认识的不足。教师似乎历来重视对分数的“份数”定义的教学，“分数意义”是各级公开课中的热门课例，而“商”定义的教学在公开课中鲜有身影。从非正式调查发现，部分教师尤其年轻教师对分数意义的理解就不够全面，简单地认为“份数”定义就是分数意义的全部，有些虽知道不是全部但简单地认为“份数”定义比“商”定义更重要。重视“商”定义的教学是从计算需要的角度，从数学本质内部理解分数的起源；要让学生理解分数和整数、小数一样也是一种数，每个分数都能在数轴上找到一个对应的点，从而建构完整的数概念；帮助学生明白分数能表示事物的数量，因此在解决问题时先要区分所给的分数信息是无量纲性还是量纲性的。重视“商”定义的教学，从两数相除得到的商可以小于1、等于1及大于1，有助于学生自然地理解假分数的意义。由“份数”定义到“商”定义，是数系的扩充，对学生学习分数来说这是一次跨越、一次升华。“商”定义的学习有助于学生更本质、更深刻、更全面地理解分数的含义。

启示二：重视深层次理解单位“1”能力的培养

单位“1”是指均分的整体，可以是一个物体，也可以是一些物体。理解单位“1”对理解分数含义有着直接影响。从测查结果发现，学生对单位“1”的理解不够深入。为促进学生对单位“1”的深度理解，建议在教学中关注以下几点。

1.开展找单位“1”的针对性训练

根据测查卷题8.1—8.5，发现学生理解单位“1”的能力相对较弱。在具体情境中理解单位“1”的准确性受语句表述方式的影响。在用间接及倒叙方式表述分数的情境中，理解的准确率较低；在理解具体量中的单位“1”时准确率最低。究其原因，部分学生是用机械的办法——根据“是”“比”字后面的量来确定单位“1”的量。当表述方式发生变化时，就不能准确地找到单位“1”了。尤其当单位“1”的量是隐藏时就更找不到了。针对此病症，开出的药方是：找单位“1”专项训练。在教学中要重视引导学生正确理解情境中分数的含义，正确理解均分的整体，开展有针对性的找单位“1”的训练。具体训练题型可以参考测查卷中的题8.1—8.5。

2.明确数轴和假分数中单位“1”的量

根据测查卷题5，发现学生在数轴上找分数对应点出错率较高，分析后发现，部分学生是把数轴和线段混淆在一起，受线段的负迁移影响，把所给的数轴看作了整体，找错了单位“1”。事后个别访谈了部分学生，当告知单位“1”指的是0~1的这部分时，学生也能顺利地找到对应的分数。因此，教学时要指导学生认识数轴，明确数轴上的单位“1”。

3.加强培养自主建构单位“1”的能力

根据测查卷题9，发现学生自主建构单位“1”的能力很弱，五、六年级的正确率仅为31.9%和46.2%。培养自主建构单位“1”的能力有助于促进对分数“比”定义的理解。“比”定义和“份数”定义是相通的，表示的都是两个量之间的关系，但“比”定义是“份数”定义的拓展。“份数”定义指一个整体均分后，得到一个分数单位，表示这样几个分数单位的数。在“份数”定义学习时学生容易形成分数仅表示份总关系的思维定式。“比”定义是将两个量的关系从分总关系拓展到分总、部分与部分的关系，帮助学生建立更完整的分数意义的认知结构。建议在教学中培养学生多角度灵活建构单位“1”的能力，可以参考题9的模式。

综上所述，分数意义理解水平层次的划分，为准确了解学生在分数意义学习时达到的理解水平，发现学生在分数意义学习上存在的不足提供了一个明确的依据。分数意义的十个理解水平，将指引教师更全面、系统、有序地开展分数意义的教学，促进学生对分数意义的有效建构。