数学大师的独特视角

林革

陈省身（1911～2004）是美籍华裔当代著名数学家、中国科学院首批外籍院士，被称为20世纪最伟大的几何学家之一. 国际数学联盟特别设立的“陈省身奖”是国际数学界最高级别的终身成就奖. 陈省身心系祖国，晚年致力于推进中国数学科学的发展，经常去高校和研究所讲学，被誉为“中国年轻数学学子的总教练”.

1980 年，陈省身到北京大学做学术报告. 报告一开场他便出驚人之语：“人们常说三角形的内角和等于180°， 我认为这种说法不妥！”顿时全场哗然，这个数学定论是连小学生都知道的常识，怎会错误？大家简直不敢相信自己的耳朵，“真的假的？是陈教授口误，还是自己听错了？”

这时，陈省身笑着摆摆手说道：“我说‘三角形的内角和等于180°’不妥，不是说这个事实是错误的，而是说人们看待这个结论的方式不对，实际应该说‘三角形的外角和等于360°. ” “既然三角形的内角和等于180°不错，为何要强调外角和等于360°呢？”听众们不禁暗自嘀咕.

早有预料的陈省身解释道：“数学中经常需要归纳总结一些规律，那么规律的普遍性就显得尤为重要. 三角形的三个内角和是180°，虽然也是规律，但呈动态特征. 也就是说，推广到多边形的内角和就产生变化，比如：四边形的内角和是 360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°……n边形的内角和是（n - 2）× 180°. 但是，稍加观察大家就会直观发现，三角形的外角和是（180° + 180° + 180°）- 180° = 360°，四边形的外角和是（180° + 180° + 180° + 180°） - 360° = 360°，五边形的外角和也是（180° + 180° + 180° + 180° + 180°） - 540° = 360°，六边形的外角和仍是（180° + 180° + 180° + 180° + 180° + 180°） - 720° = 360°……可以归纳出，任意多边形的外角和都是 360°. 这个结论不仅概括了所有情形，而且用一个与 n 无关的常数代替与 n 有关的计算公式，显然更具一般性和普遍性. ”听众们这才恍悟惊人之语的话外之音.

陈省身趁热打铁，随手画了张示意图，继续道：“这个静态确定的规律，可以借用图形直观理解. 不妨假想一只蚂蚁沿多边形A1A2A3A4A5（如图1）的边界绕圈爬行，每次经过一个顶点时，它都要改变原本直行的方向，也就是转过一个角度. 比如，开始从点A1出发时角度为α1，到了点A2就变成了α2，到了点A3就变成了α3……转过的角度恰好是这个顶点处的外角度数. 爬了一圈转回到点A1，角度改变量之和（如图2）当然是一个周角360°，因此，多边形的外角和为360°. ”

怎么样？大师就是大师，想象奇特，眼光独到，讲解直白，分析通俗，果然令人耳目一新.

需要指出的是，陈省身一再强调的“外角和为360°”，此规则实际上适用于所有闭合曲线，只不过在表述时，要用“方向改变量”来代替多边形的“外角和”而已. 最简单、最极端的例子当然是圆周.

设想蚂蚁沿着一个圆周爬行. 这时，它爬行的方向随时随地在改变. 譬如，开始时，蚂蚁在点A处逆时针爬行. 它开始时面朝东，然后到点B再到点C，如此渐渐地面朝东北、北、西北……最后回到点A时，蚂蚁又面朝东，所以它的方向改变量为360°（如图3）.

1944年，陈省身找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式，这就是“高斯—比内—陈公式”，并在此基础上发展出“陈氏类”理论. 这个理论在物理领域有极为重要的应用，被称为划时代的贡献，而这个理论始于转换视线——把注意力从内角和转到外角和.

数学家波莱尔说：“数学家的目的往往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题. ”即从众所周知的事实出发，变换角度换向思考，深入挖掘出更具普遍性的深刻规律. 当然，这需要透彻敏锐、独特深刻的数学眼光和对真理穷追不舍、孜孜以求的执着精神，上面的小故事应该算是佐证.

（作者单位：扬州职业大学）