翟子璇,李 琪*,段求员,林清芳
(1.东华理工大学理学院,330013,南昌;2.抚州职业技术学院基础教学部,344000,江西,抚州)
非线性科学是继相对论、量子力学之后自然科学界又一次新的大革命。而孤子理论作为应用数学和数学物理的重要组成部分,已然成为非线性科学中的一个重大研究课题。其中,寻求孤子方程的精确解是孤子理论中的一个重要专题,并已发展出诸多可行的方法,如齐次平衡原则[1]、反散射法[2-3]、Darboux变换[4]、Wronskian技巧[5-7]等。
本文将考虑耦合Gerdjikov-Ivanov(GI)方程
(1a)
(1b)
其所对应的谱问题:
联系广义Kaup-Newell谱问题[8]
(2a)
时间发展式:
(2b)
其中,q=q(t,x),r=r(t,x)是位势函数,λ是x与无关的谱参数。
首先,对方程(1)作分式变换
(3)
则有方程(1)的双线性导数方程
(4a)
(4b)
(4c)
(4d)
定理1:双线性导数方程(4)有双Wronskian解
(5)
其中φj,ψj满足
(6a)
φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx
(6b)
证明:
1)考虑谱问题(2a)与时间发展式(2b)。
令式(2a)中q=r=0,则
(7a)
即
φ1,x=-iλ2φ1,φ2,x=iλ2φ2
(7b)
再令(2b)中q=r=0,则
(8a)
也即
φ1,t=-2λ4φ1,φ2,t=2λ4φ2
(8b)
取k=-2iλ2,φ1=φ,φ2=ψ,则由式(7)与式(8)可知
(9a)
(9b)
2)计算双Wronskian行列式f,g,s与h对x的导数,得
又由式(9b)得f,g,s与h对t的导数,
将f,g及其关于x,t的各阶导数代入(4a)左端,根据恒等式:
以及行列式的性质:
① 设M为N×(N-2)矩阵,a,b,c与d都是N维列向量,则
|M,a,b||M,c,d|-|M,a,c||M,b,d|+
|M,a,d||M,b,c|=0
(10)
② 设aj,(j=1,2,…,N)是N维列向量,γj≠0,(j=1,2,…,N)是N个实常数,则
(11)
其中,γaj=(γ1a1j,γ2a2j,…,γNaNj)T。
可得:
=0。
故双Wronskian行列式(5)满足方程(4a)。同理可证,行列式(5)也满足式(4b)。
类似地,将f,g,s与h对x的各阶导数代入式(4c),根据恒等式:
以及行列式的性质(10)与(11)。
得到:
=0。
故双Wronskian行列式(5)满足方程(4c)。同理可证,行列式(5)也满足式(4d)。
因此,方程(1)存在双Wronskian解
(12)
推论:双线性导数方程(4)有广义双Wronskian解
(13)
其中,φj,ψj满足
φj,x=Aφj,ψj,x=-Aψj
(14a)
φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx
(14b)
其中,A=(aij)(N+M)×(N+M)是与t,x无关的任意实矩阵。而方程(1)的广义双Wronskian解为
(15)
方程(14)有通解
φ=e2A2t+AxC,ψ=e-2A2t-AxD
(16)
其中,C=(c1,c2,…,cN+M)T,D=(d1,d2,…,dN+M)T是与t,x无关的任意常向量。
将式(16)展开成级数形式得
(17a)
(17b)
若A为对角阵,
(18)
将式(18)代入式(17)得
(19)
当N=M时,由式(19)构成的双Wronskian行列式f,g,s与h所确定的式(3)为方程(1)的N-孤子解。
若A为简单的Jordan阵,
(20)
且AN+M=0,故式(17)截断为
(21a)
(21b)
此时,φ与ψ的分量表达式分别为
(22a)
(22b)
由式(22)所确定的式(13)即为双线性导数方程(4)的有理解。
特别地,令c1=d1=1,ck=dk=0,(k=2,3,…,N+M),由式(22)有
(23)
取j=1,2,3,4,得
当N=M=1;N=2,M=1;N=1,M=2;N=M=2时,双线性导数方程(4)的多项式解分别为
f=-1,g=1,s=-2x,h=4i;
f=2x,g=1,s=2(x2-2t),h=8i(x2+2t);
f=-1,g=2x,s=-2(x2+2t),h=4i;
因此,方程(1)的有理解分别为
本文由广义Kaup-Newell谱问题得到耦合GI方程,并给出对应的双线性导数方程,进而利用Wronskian技巧求得耦合GI方程的广义双Wronskian解,包括孤子解及有理解,在后续的研究工作中,将继续探讨双Wronskian解的约化与Matveev解、Complexiton解以及混合解等更多精确解的导出。