加权迭代最小二乘法在线估计锂电池容量研究

崔一凡，郑岳久

（上海理工大学 机械工程学院，上海 200093）

0 引言

面对日趋严重的能源短缺与环境污染问题，环境友好的电动汽车应用越来越广泛。锂离子动力电池作为电动汽车的核心部件，具有比能量高、功率密度大、质量轻等优点。车辆运行时，电池管理系统（Battery Management System，BMS）中的电池状态估计影响车辆的整体控制，尤其是关乎电池的安全性与耐久性。容量作为电池的重要性能参数，是BMS 中所有管理算法的重要输入。然而，电动汽车使用过程中的充放电循环会使锂离子电池老化、性能逐渐降低，电池容量的在线精准估计成为一项难题。

目前关于电池容量估计的研究比较丰富，估计方法分为基于经验模型的容量预测方法与基于数据驱动的容量估计方法两种。基于经验模型的容量预测方法利用电池的使用循环历史实现容量的估计与预测，例如Song 等研究了动态工况下电池的寿命衰减情况，但由于经验模型为开环模型，精度难以保证；韩雪冰对容量衰减模型进行在线校正，但考虑到实际工况的复杂性、电池的一致性以及经验模型参数的失配问题，电池容量的在线估计仍难以实现。基于数据驱动的容量估计方法主要利用充放电数据实现电池容量的预测与估计，根据原理可分为基于电池的某种特征和基于充放电电量变化与对应荷电状态（State of Charge，SOC）变化之比两大类。基于电池特征的容量估计方法一般适用于恒流充电工况，常用特征包括电池差分电压（Differential Voltage，DV）、充放电曲线以及增量容量（Incremental Capacity，IC）曲线等。但该类方法的电池特征参数多从完整的充放电曲线中提取，耗时长且不符合实车运行状况。基于充放电电量变化与对应SOC 变化之比的方法又称为SOC-电量增益法，适用于动态工况下的电池容量估计。常用SOC-电量增益法为两点间累计电量法，简称为“两点法”，即选择两个不同时刻点，根据两点间的SOC 变化值与电量变化值求得电池容量。但该法中两点的选择多基于经验，有很大随意性。基于此，本文在SOC-电量增益法的基础上提出一种基于全SOC 区间内的电池容量估计方法，降低了随机选择导致的误差，有效提高了在线估计精度。

1 SOC-电量增益法研究现状

SOC-电量增益法的原理如式（1）所示，SOC 与电池容量的关系可表示为：

式中，

C

为电池总容量，

ΔQ

为电量变化量，

ΔSOC

为SOC 变化量，

SOC

(

t

)为

t

时刻电池的荷电状态，

SOC

(

t

)为

t

时刻电池的荷电状态，

I

(

t

)为

t

时刻的电池电流，

η

为库伦效率（一般

η

≈1），3 600 为将秒换算成小时的因数。

作为一个间接量，SOC 不能直接被测量，通常通过对状态参数的计算得到。目前主流的SOC 估计算法包括开路电压法、基于现代控制理论的最优估计方法等。开路电压法是一种直接且复杂度较低的方法，然而获得准确的开路电压（Open Circuit Voltage，OCV）值需要满足长时间静置的条件，因此在车辆行驶过程中并不能保证容量估计的准确度。基于现代控制理论的最优估计方法是目前常用方法，其通过最优估计算法直接或间接地进行SOC 估计，进而预测电池容量。常用最优估计算法包括最小二乘法（Least Squares，LS）、卡尔曼滤波法（Kalman Filter，KF）以及粒子滤波法（Particle Filter，PF），复杂度均较高。

SOC-电量增益法本质上是一个线性回归问题。基于此，Plett提出一种加权总最小二乘（Weighted Total Least Squares，WTLS）法，将电流传感器噪声与SOC 误差噪声纳入考虑，以实现电池容量的精确估计。使用线性回归的方法不仅可以避免两点法存在的缺点，还可以通过添加权重减少电量积分精度和SOC 估计精度对电池容量估计的影响。

根据以上研究结果，本文提出一种基于OCV 的容量在线估计方法，使用加权迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，IRLS）提高在线估计的精度和鲁棒性，实现全SOC 区间的电池容量估计。该法首先基于一阶RC 模型，采用带遗忘因子的最小二乘法（Forgetting Factor Recursive Least Square，FFRLS），在不同电池寿命条件下进行OCV 在线辨识；其次利用OCV 在线估计结果间接获得SOC 值，基于SOC-电量增益法的思路，使用IRLS算法估计电池容量。该法能克服两点法存在的随意性，在动态工况下具有较高的容量估计精度和较小的计算量。

2 容量在线估计方法

2.1 基于FFRLS算法的OCV 在线辨识

等效电路模型简单实用、精度可靠，在BMS 系统中广泛使用。常用的电池等效电路模型为

n

-RC 模型，该模型包含描述电池OCV 的电压源部分和描述电池内部各种扩散与活化极化过程的RC 并联元件。理论上，RC 元件的个数越多，模型精度越高，但也增加了计算的复杂程度。一阶和二阶RC 模型能较为准确地描述电池动态特性，且计算量适中，因此成为三元锂离子电池（LiNiCOMnO，NCM）的首选。考虑到一阶RC 模型已经可以达到足够高的端电压估计精度，且模型结构更简单，计算量更小，因此选取该模型进行OCV 的在线辨识。如图1 所示，一阶RC 模型包括理想电源（用OCV 表示）、欧姆内阻

R

以及一个RC 并联元件。模型的外特性方程可表示为：

式中，

U

为极化内阻两端电压，

U

为输出端电压，

I

为电流，

R

为极化内阻，

τ

为时间常数，

τ

=

R

C

。

Fig.1 First-order RC model图1 一阶RC 模型

带遗忘因子

λ

的FFRLS算法能消除时变参数系统中旧数据对新数据辨识结果的影响，提高算法的收敛速度以及辨识时变参数的能力，适用于动态工况下的参数辨识。标准的最小二乘形式为

y

=

φθ

+

e

，带遗忘因子

λ

的FFRLS算法递归方程如表1 所示。一般情况下

λ

=0.95

～

1，经过参数调整，发现

λ

=0.98 时，辨识结果具有良好的稳定性与收敛速度。根据一阶RC 模型的外特性方程，确定算法的输出向量、输入向量以及待辨识参数的具体表达式，并代入表1 中的递归公式，即实现了FFRLS算法的参数辨识。

Table 1 Parameter identification process of FFRLS algorithm表1 FFRLS 参数辨识过程

2.2 一阶RC 模型的参数辨识方案

一阶RC 模型中包含OCV、欧姆内阻

R

、极化内阻

R

和时间常数

τ

4个参数，随着电池的老化，模型参数也随之发生变化，因此需要进行在线辨识。理论上以上4个参数均需要辨识，但由于观测量只有电压、电流信号，若待辨识参数数量较多，实际应用时可能会出现结果波动的情况。因此，为提高算法的可靠性且降低计算复杂度，可以简化待辨识参数，只辨识对模型输出精度影响较大的部分参数，将其他参数当作与SOC 相关的已知参数。模型中不同参数对输出精度的影响程度不同，可用模型参数的敏感性描述。文献［9］对电池整个SOC 范围和生命周期内的模型精度进行分析，考察各参数的敏感性，最终确定欧姆内阻

R

为敏感性最高的关键参数。因此可以认为，本文采用的一阶RC 模型输出精度受欧姆内阻

R

的影响较大，受极化内阻

R

和时间常数

τ

的影响较小。即随着电池的老化，欧姆内阻

R

作为影响模型精度的关键参数，应不断进行辨识与更新，而极化内阻

R

和时间常数

τ

则可作为已知参数。通过以上分析，确定待辨识参数为OCV 和欧姆内阻

R

。

根据一阶RC 模型确定FFRLS算法的输出与输入向量，将式（3）变形为式（4），得到算法的输出向量、输入向量及待辨识参数分别如式（5）、式（6）、式（7）所示。

式中，

U

为实测端电压值；极化电压

U

由式（8）迭代计算得到，其中

R

、

τ

、

R

均由当前SOC 查表得到。基于新鲜电池25℃条件下的新标欧洲循环测试（New European Driving Cycle，NEDC）测试数据和遗传算法得到极化内阻

R

和时间常数

τ

的初始值，以此作为参考值。

2.3 采用加权迭代最小二乘法的容量估计

最小二乘线性回归问题的本质是求(

y

-

Δy

)=

kx

的解，该式假设在因变量

y

上存在噪声。将式（1）变形为：

式中，

x

表示一段时间间隔内电量的变化，

y

表示对应时间间隔内SOC 的变化；

β

为常数值，

β

为系数值，均属于待估值；

ν

包含SOC 估计过程中的各类误差噪声。

电池总容量值的计算公式为：

SOC 由OCV 在线估计值查表得到，因变量

y

易出现异常值或随机误差项

ν

，从而产生异方差性，此时再采用最小二乘法估计模型会使参数精度降低且不具有渐近有效性。因此，引入迭代加权最小二乘回归系数，采用IRLS 代替最小二乘法进行参数量估计。根据前一次回归残差大小确定因变量

y

中各观测值的权重，将SOC 存在的误差或异常值情况考虑在内。

将式（10）转换为矩阵形式，表示为：

式中，

Y

为

n

*1 观测向量；

X

为

n

*2 已知矩阵；

H

为参数估计量，

H

=[

β

,

β

]；

V

表示随机误差向量。利用最小二乘法解得参数

H

的估计值为：

3 耐久性实验

选用同一批次的4个18650 电池进行循环寿命实验，实验参数如表2 所示。将温度、充放电倍率和放电深度作为影响电池老化的因素，设计如表3 所示的实验方案。实验在45℃、25℃和10℃温度下交替进行，分别代表夏季高温、常规温度以及冬季低温的工作条件；电池充放电循环过程中的SOC 范围分别为0%～100%和30%～80%，放电深度（DOD）为100%和50%；以标准充电电流0.9A 进行充电，选择6A、3A 的大倍率电流进行放电以加速电池老化。

Table 2 Basic parameters of the tested batteries表2 电池基本性能参数

Table 3 Experimental scheme表3 实验方案

图2 为实验流程，包括一个循环周期的电池衰减、基本性能测试以及对应的NEDC 动态工况测试，其中基本性能测试包括标准容量测试和电池混合脉冲功率性能测试（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）。

Fig.2 Experiment procedure图2 实验流程

首先进行25℃下的基本性能测试与NEDC 动态工况实验，随后调节温度至某一衰减环境温度并以0.9A 的标准充电电流将电池SOC 调至实验所需状态，最后按所设放电电流进行一个循环周期的充放电循环。当电池在某一衰减环境温度下完成一个充放电循环周期后，调节温度至25℃进行基本性能与NEDC 测试。在每个衰减环境温度下重复以上过程2次，整个实验周期以电池容量衰减至20%为结束点。

4 实验结果与分析

4.1 电池衰减特性

共获得4 块电池包括初始状态在内的14 次标准容量测试数据。实验结果表明，4 块电池的容量逐渐减少，容量保持率逐渐下降，具体如图3 所示。虽然电池还未衰减至电池寿命终止值，但通过已有数据足够验证算法的估计效果。

Fig.3 Measured capacity results图3 容量测试结果

25℃下的HPPC 测试可以获得电池OCV 和内阻数据。以Cell2 电池为例，初始状态下标定的OCV-SOC 曲线如图4 所示。一般研究中默认锂离子电池的OCV-SOC 曲线随电池衰减变化不明显，在算法的开发过程中统一采用电池初始状态下的OCV-SOC 曲线作为标定参数。但在由OCV辨识结果间接估计SOC 的过程中，因OCV 与SOC 的对应关系随寿命变化而导致的SOC 估计误差是本文需要考虑的因素。

Fig.4 OCV-SOC curve of cell 2 in initial state图4 Cell 2 初始状态下OCV-SOC 曲线

采用遗传算法，根据NEDC 实验数据可以实现一阶RC模型参数的线下辨识。图5 为基于Cell2 电池NEDC 数据的模型参数辨识结果，可以看出随着实验的进行，模型参数均有增大趋势。

Fig.5 Model parameter identification results at different aging levels of Cell 2图5 Cell 2 不同衰减程度下参数辨识结果

4.2 OCV 在线辨识结果

以Cell2 电池为例，基于新鲜电池25℃下NEDC 动态工况数据得到的OCV 和欧姆内阻参数辨识结果如图6 所示。图中OCV 的参考值为根据当前SOC 值插值查表得到，

R

参考值为根据HPPC 测试计算出的

R

值查表得到。可以看出，参数在线辨识结果整体上与参考值基本吻合。以第32次循环和第224次循环的Cell 2为例，图7（a）为电池在不同老化程度下的OCV辨识结果；图7（b）为根据图7（a）的OCV辨识结果，由SOC-OCV标定曲线间接估计出的SOC估计值。

Fig.6 Parameter online identification results based on NEDC operating conditions of fresh batteries图6 新鲜电池NEDC 工况参数在线辨识结果

4.3 容量估计结果

基于Cell2 电池的SOC 估计结果和NEDC 数据，两点法与本文提出的IRLS算法在不同衰减程度下的电池容量估计结果和精度对比如图8 所示。从图中可以看出，两点法估计误差大且稳定性较低，而IRLS算法在整个SOC 范围内能够保证较高的估计精度，且误差稳定在一定范围内。图9 为使用IRLS算法得到的Cell1、Cell3、Cell4 3 块电池在不同衰减程度下的容量估计结果，图中容量实测值由耐久性实验环节中的标准容量测试得到。可以看出，IRLS算法的容量估计精度较高，误差均在2%以内。

Fig.7 Identification results under different cycles图7 不同衰减程度下参数辨识结果

Fig.8 Capacity estimation results of Cell 2图8 Cell 2 容量估计结果

Fig.9 Capacity estimation result of Cell 1，3，4图9 Cell 1、3、4 容量估计结果

5 结论

本文基于SOC-电量增益法的容量估计思路，采用IRLS 法计算

ΔQ

与

ΔSOC

之间的线性关系，在全SOC 区间实现了容量的在线估计。首先利用FFRLS算法实现包含OCV 和

R

的一阶RC 模型参数在线辨识，然后通过OCV 辨识结果查表间接得到SOC 估计值。在容量估计过程中，IRLS算法采用的迭代加权避免了两点法选点的随机性以及SOC 估计存在的误差，确保了容量估算精度。通过模拟实车运行条件进行不同老化条件下的电池耐久性实验以及相应的NEDC 动态工况测试，结果表明，与两点法相比，IRLS算法具有更高的估计精度和更好的鲁棒性。本文采用的是18650 电池，在后续研究中，会考虑其他电池的衰减特性，对模型的选择以及对应的参数辨识方案进行改进，提高算法的普适性。此外，亦会考虑将本文方法与适用于恒流工况的容量在线估计方法相结合，以实现对全工况的容量估计。