浅谈边际分析在经济数学中的应用

李沛毅

（广州市机电技师学院 广东·广州 510000）

0 前言

导数知识是高等教育数学领域中的一个重要概念，它在经济分析、经济决策、经济管理等等领域中的应用有着十分广泛的意义和价值，因此，利用这些导数知识我们就可以针对一些实际的经济问题进行开展一定的边际性的分析和研究。

1 导数的概念

在讨论导数在专业课程中的应用之前，我们先来介绍一下数学中导数的概念。

2 成本函数、收入函数和利润函数

商人在生产某产品的过程中一定是要耗费一些资源的，如果把这些使用的或者耗费的资源用货币表示出来就是成本。产品的成本，包含生产此产品的固定成本如厂房，机器等，和可变成本，如生产产品使用的材料费、电费等等。因此，成本由固定成本和可变成本两部分组成。我们把固定成本记为，那么固定成本与销售量x之间没有直接关系。我们把可变成本记为，那么可变成本是销售量x的函数，因此成本函数也是销售量的函数，即。

收入，即商品出售后所得到的收益，很明显收入是销售量的函数，我们把它记为。

利润，是收入与成本的差，即收入减去成本，显然利润也是销售量的函数，我们把它记为，即

3 边际成本、边际收入和边际利润

在经济学中，用来描述一个经济量对另一个经济量的瞬时变化率的，我们把它叫做边际。结合数学微分学中导数的定义，某个经济量函数的导数即为边际某某。记作。

一般情况下，利润和销售产品的产量、产品的销售价格和产品的成本等因素都有着密切的关系。大部分的情况下，提高产品的售价会减少市场对该产品的需求量，因此，不能简单的只通过提高产品的售价来获取更多利润。那么，我们到底应该通过什么方式来提高企业（产品）的利润呢？

下面我们从几个个实际的例子中，具体来看看数学方法是怎么运用的。

分析：在生产4件产品的基础上，再多生产1件，需成本1.25千元；在生产9件产品的基础上，再多生产一件，需成本0.8千元。

由此可知，在实际的企业生产中，由于固定成本的存在，随着生产产品件数的增加，产品的总成本虽然也在不断的增加，但是每增加一个单位产品所带来的成本增加量是不同的，一般是在逐步下降的。一般情况下，利润和销售产品的产量、产品的销售价格和产品的成本等因素都有着密切的关系。大部分的情况下，提高产品的售价会减少市场对该产品的需求量，因此，不能简单的只通过提高产品的售价来获取更多利润。那我们到底要这样才能提高企业的利润呢？我们是可以适当的增加产量，这样可以减少单位产品的成本，以便获得更多的利润。但是可不可以通过无限的增加产量这种方式来获得更多利润呢？下面这个例子将告诉大家这种方法是否可行。

例：某企业生产一种产品，当每天的产量为x吨时，每天的利润为：Lx=160x4x2万元，求产量为15吨、20吨、25吨时的边际利润，并作出经济学分析。

解：∵每天生产该产品 x吨时的边际利润为：L′x=1608x故L′15=40L′20=0L′25= 40

分析：在生产15吨的基础上，再多生产1吨，利润增加40万元；在生产20吨的基础上，再多生产1吨，利润增加0万元；在生产25吨的基础上，再多生产1吨，利润减少40万元，即亏本40万元。

由此可知，在一些实际的经济活动中，因为边际利润的存在，并不是产量越高，利润就越大。当产量到一定程度时，因为边际利润可能就等于零了，这个时候如果企业再增加产量，不仅不会导致利润增加，反而会导致利润下降。因此企业主一定要找到临界点，也就是边际利润等于零的位置，在这个位置以前，可以通过增加产量的方式来减少单位产品的成本，以便获得更多的利润。但是在这个位置之后，企业一定不能再增加产量了，否则会导致利润下降。因此，作为一家企业，是不能单纯的只依靠提高产品的产量来提高利润，搞不好，会造成生产越多越亏钱的局面。

由此可知，随着客户所吃包子个数的逐步增加，消费者的总效用在不断的增加；但是每多吃一个包子带给客户的满足程度是不相同的，是不断直线下降的；当客户吃三个包子以后，因为客户已经吃饱，因此再吃下去，不仅不会给客户带来满足，反而会带来痛苦。

4 小结

当前，我们国家的高等职业教育学历属于专科，和本科教育的要求和目的均不同。因此我们高职学生的数学基础呢相对来说非常薄弱。在日常的教学过程中，我发现我们的大多数学生不知道为什么要学习数学，他们中的很大一部分学生认为高职是不需要学数学的，用他们的话来说，就是不想学数学才来读高职的。因此他们的学习标不明确。在他们的眼里，即使学校开设数学课程，数学也只是一门只需要期末考试考及格的课程，仅此而已。对于数学在他们专业课中的应用以及运用数学知识来解决实际生活中的问题他们更是难以接受，他们普遍觉得数学离他们的日常生活特别遥远。他们会问买菜需要函数吗，我的个人日常生活需要导数吗。所以我们的课程要尽量做到理论联系实际，让学生在课堂中亲身体会到数学确实和我们的生活息息相关。

综上，导数在经济数学中的应用非常广泛，它不仅仅可以用来进行各种边际函数的分析，也可以用来进行后续的各种弹性分析。如何结合专业背景问题开展讨论学习，帮助学生掌握相关专业问题的分析，值得我们教师在教学过程中进行深入的探讨和研究。