理法交融 思维升级

沈瑞华

［摘 要］“笔算多位数乘一位数”是衔接表内乘法和多位数乘法的重要内容。文章先对比分析四个版本的教材和学生的学习起点，重组教学路径后进行课堂教学，归纳出计算教学的主要策略。

［关键词］计算教学；笔算；多位数乘一位数

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0055-03

“笔算多位数乘一位数”是人教版教材第五册第六单元的内容，是在学生学习了表内乘法和两位数乘一位数口算（不进位）的基础上教学的。它是学习多位数乘两位数、除数是两位数的除法的基础，是学生建立和理解位值概念重要的载体。对于三位数乘一位数的笔算教学，很多教师都认为笔算教学就是理解算理、掌握算法，认为三位数乘一位数就是让学生掌握一位数分别与三位数每一位上的数相乘的计算技能。这样的认识背后有没有隐忧？计算教学仅仅是掌握计算程序？在计算教学中如何培养学生灵活的思维能力？

一、隐忧：三位数乘一位数的学习起点

在教学“两位数乘一位数”后，教学“三位数乘一位数”前，笔者对本校三年级（3）班和（4）班共90位学生进行了前测，结果见表1。

分析数据后发现，学生在计算不进位、进一次位或隔位进位的三位数乘一位数时，正确率都超过90%。这说明学生已经具备了从笔算两位数乘一位数迁移到笔算三位数乘一位数的能力。在与学生的交流中发现，学生笔算错误集中在两个方面。

1. 叠加进位易算错

计算385×6时，385的每一位与6相乘都向前一位进位，而且乘法进位过程中又出现了两位数加一位数的加法进位—— 48+3和18+5，这样的乘法与加法的叠加进位，学生心算时感觉非常困难。

2.中间有0会误乘

在计算末尾有0的三位数乘一位数时， 学生能把口算整十、整百数乘一位数的方法迁移过来，末尾的0不参与计算，前两位乘好后再添末尾的0，相当于还是在计算两位数乘一位数。但计算中间有0的三位数乘一位数时，学生会根据“从个位起，依次相乘”的运算程序，让0也参与计算，误把304×6的十位“0×6+2”的得数算成8。

计算三位数乘一位数的乘法时，学生会用哪些运算策略呢？表2是对三（3）班和三（4）班的学生的测试结果。

这两道题的数据特点很明显，都可以通过改变运算顺序进行简算。但在参与测试的90位学生中，只有1%至2.2%的学生用了简算方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的学生都是程序化地在用笔算方法计算。这说明，学生只会像计算机一样，按部就班地从三位数的个位起，依次相乘。积的书写也是从个位起，一位一位挨着去写，不考虑位值。虽然能计算出正确得数，但教师不清楚学生是否已经理解了算理，这会不会给将来的教学埋下巨大的隐患？

怀着这种担心与猜测，笔者访谈了四年级的数学老师，发现部分四年级学生在学习三位数乘两位数的乘法时果然出现了问题：位值概念模糊，第二层积的位置反复写错。四年级学生出现这些问题，源头就在于学习多位数乘一位数时，学生只记住了乘的顺序，但不清楚乘的顺序本质是什么。造成这些问题，也与教材的编排有一定的关系。

二、 分析：多位数乘一位数笔算教材编排对比

1. 对比四个版本的教材内容

对比四个版本的教材后，可以发现三个异同点：一是将三位数乘一位数作为例题的教材有2个版本，占50%；二是将三位数中间或末尾有0的乘法作为新课例题的教材有3个版本，占75%；三是教学笔算乘法采用固定程序“个位算起，依次相乘”的教材有3个版本，占75%。从四个版本的异同点来看，人教版、苏教版、北师大版教材更侧重于三位数乘一位数的程序教学，笔算方法唯一，即从个位算起，依次相乘，学生容易掌握，但挑战性不大。浙教版教材注重三位数乘一位数的算理教学，笔算方法多样，即乘的顺序有多种。这样的编排更有利于学生根据实际情况选择合理的算法，但挑战性较大。

2. 分析人教版教材关于多位数乘一位数笔算的编排

通过表格分析，可以得到两个结论。一是教材默认学生能使用迁移的方法自己学会三位数乘一位数。但从实际教学来看，学生理解程度不够，还是需要正式学习的过程。二是教材在学生掌握计算一般三位数乘一位数后，再安排新授课学习三位数中间有0和末尾有0的乘法，是有必要的，對学生理解位值原理有帮助。即使学生在笔算时掌握了“从个位起，依次相乘”的计算程序，并能熟练计算，也不能说明他们真的会算了，只有理解了任意顺序的笔算，清楚位值原理才是真正懂了笔算本质。

三、重组：笔算教学学习路径设计

根据以上分析，笔者对多位数乘一位数笔算单元的教学进行了重组（如表5）。

笔算两位数乘一位数的教学，首先借助数学教具小棒理解两位数乘一位数，可以看成几个几十和几个几来算，也就是用口算的方法学习笔算；可以从低位乘起，也可从高位乘起，也就是两位数的每一位都要与一位数相乘，和运算的顺序无关。接着，借助小棒依次理解满十进一、叠加进位的算理。将中间或末尾有0的三位数乘一位数的教学提前，挣脱固定的计算程序的束缚，引导学生单纯从算理的角度去思考，学生很容易就发现304×6既可以表示6个304，也可以看成6个300和6个4，用300×6+4×6来算。这样十位的0完全没有参与计算的必要，只用两句口诀“三六十八，四六二十四”就轻松计算出结果。在书写时注意位值原理，明确18表示18个百，即1800，1和8分别记在千位和百位上（如图1）。

有了以上两步的经验，学生在学习一般的三位数乘一位数时，也能从“个位算起，依次相乘”的固定程序中走出来了。例如，计算385×6时可以将原式转化成三层积：300×6+80×6+5×6（从高位算起或从低位算起均可），或转化为两层积：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢个法）或305×6+80×6（踢十法）。经过转化，三位数乘一位数叠加进位的难点被轻松化解。而且，写成两层积或三层积的形式时，学生不再只是按顺序计算，而会去关注位值，思考每部分的积表示的含义。

四、思考：实现从计算教学走向运算教学的策略

运算能力是数学核心素养的主要表现之一，可见运算能力的培养已经得到了极大的重视。那么运算能力的培养如何落地？

1.抓住本质促使理法交融

学习是由外在知识与内在知识结构之间的交互作用实现的，计算的学习亦是如此。比如将三位数乘一位数转化成已经学过的两位数乘一位数与整百数乘一位数的结合（踢百法），或者转化成几百、几十和几分别乘一位数（三层积），通过小棒、人民币等素材帮助学生理解每种算法的算理，也就是多位数的每一位都和一位数相乘是算法的本质，与乘数的位值有关，而与运算的先后顺序无关。在竖式上确定每层积的位置，也就是明确位值概念，将算理和算法合二为一，真正做到知“书”达“理”。在学习新知的过程中，学生还拥有了用转化的思想来解决问题的能力。

笔算三位数乘一位数的新课结束后，笔者对实验班和对照班进行了后测。测试题为：一套数学丛书的价格是67元，王老师买了5套，营业员用计算器计算时，按错了一个数字，结果多收了10元。下面的判断正确的是（      ）。

A.把6按成8      B.把7按成9       C.把5按成7

3个选项，分别是多算了5个20、5个2、2个67。学生需要充分理解两位数乘一位数的算理、明确位值概念，才能找到正确选项。实验班与对照班对比，本题正确率分别是86.3%和25.2%。这说明实验班的学生对笔算多位数乘一位数的算理理解得更深刻、更到位，这对他们后续学习的帮助是比较大的。

2.挑战学习促使思维升级

使学生理解算理、掌握算法，是运算教学的基础目标，而发展思维是高阶目标。运算教学中的练习题，要避免机械操练，多设计一些富有挑战性的学习任务，驱动学生学会分析、学会思考、学会概括、学会推理。

比如，对于两位数乘一位数，可以设计比较开放的挑战题（如图2）。

找出其中一个解并不难，但要准确地找出所有解，光靠计算技能是不够的，还要具备策略意识。首先考虑积的个位是2，由表内乘法得出的积的末尾有2的只有2、12、32、42、72这五个，所以对应的表内乘法分别是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9这六对。再看得数，五百多的得数说明十位上的数乘一位数得四百多或五百多，那么一位数至少是5，只能是6、7、8、9這四种情况，马上排除1×2、3×4这两对。这样，按一定的策略去思考，就能快速而准确地得到8种不同填法。

再如，对于三位数乘一位数，可以设计挑战性练习：用1、3、5、8组成三位数乘一位数的算式，使积最大。如果只是一次次地去试算，那思维是低级又低效的。教师要引导学生分析：首先确定8和5的位置，有500×8和800×5两种可能，它们的积相同；接着看后两位，31×8大于31×5，所以确定把最大数8作为一位数，5、3、1依次放在三位数的百位、十位和个位上。

开放的挑战性学习任务，能促进学生在运算中提升策略意识，提高逻辑推理能力。

总之，教师要根据课程标准的理念，从计算教学走向运算教学时讲究“理”“法”相融。把计算教学作为载体，少一些机械操练，多一些思维卷入，在提升学生的计算技能的同时，培养学生的数学思维能力，促使学生在学习的过程中学会学习。

（责编 金 铃）