解读分类讨论思想在高中数学解题中的应用

杜佳星

（甘肃省靖远县第一中学，甘肃 靖远）

数学思想是数学教育中的重点，能否掌握数学思想对于学生在数学领域的成长和未来发展有重要的影响。分类讨论思想是解决高中数学各类数列、函数题目时应用频率较高的一种数学思想，是学生解决数学问题的有力手段，应用分类讨论思想可以为高中生解决数学问题提供一些思路和帮助。

相较于小学、初中阶段的数学而言，高中阶段的数学因为参数的增多、抽象性提高而表现出复杂的情况，如果还进行统一分析，很多学生很难理清复杂的题干关系。而分类讨论思想之所以在高中数学教学和解题中受欢迎，是因为这种数学思想能够帮助学生简化题干关系，将一个问题分割成几个小问题，这些小问题更容易理解和解决。

一、分类讨论思想概述

分类讨论思想是一种先分后合的数学分析思想，也是一种解决数学题目、完整回答问题的思路。在应用分类讨论方法解决抽象的数学问题时，将一个复杂的大问题按照统一的标准划分为几个小问题，逐一解决这些小问题可有效化简大问题，提高问题的解决质量和效率。

二、分类讨论思想在高中数学中的举例说明

（一）数列部分应用分类讨论思想

数列部分是高中数学的重点之一，在数学考试中占据一定的分数比例。分类讨论思想是高质量、高效率解决数列部分问题的有力方法，应用分类讨论思想能够帮助学生减小丢分的可能性。

例1.现有一等比数列，此数列中首项于题干中明确，但公比不确定设为系数a，求前N项的数值总和[1]。

这样一个数列问题可以作为母本出N个数列题目，而学生可以从解决这个母本问题入手。现在，在没有具体数列、首项的干扰下，分析这道数列问题。因题干中公比不确定，所以公比有两种情况：一种是公比数值为1，另一种是公比数值不为1。当公比数值为1时，那么所求的前N项的数值总和就是前N项的乘积；当公比数值不为1时，那么所求的前N项的数值总和就是（首项+第N项）×N/2。数列问题本来并不困难，但很多学生在解题过程中会忽视第一种公比数值为1的情况，导致解题过程和答案不完整。如果学生能够掌握分类讨论的思想，将所遇到的问题按照统一的标准进行分类处理，就能够有效降低回答不完整情况的概率。

（二）函数部分应用分类讨论思想

函数是高中数学的一个大类别，也是很多高中生很头疼的一部分。单纯的函数最值、极值、单调性等问题的解决已经让很多学生感到困难，如果函数中能够有参数问题参与，那函数问题就会出现更加复杂的情况。关于这类问题，很多学生会运用分类讨论思想对变化的因素进行分类讨论，但对于“以谁为对象进行分类”“怎么分类”则把握不住，整个解题过程思路非常混乱，解题错误或不完整几乎成为必然。学生在这样混乱的解题中并未感受到解决数学问题的快乐，反而觉得处处都是陷阱，又怎么会喜欢学习数学呢。

解决这道函数题目，首先需要从f（x）=l n x-ax+得到函数m（x）=ax2-x-（a-1）与f′（x）在符号上是相反的[2]。现在需要分析函数m（x）的特殊情况。函数m（x）的二次项系数内含有参数，这里学生需要做分类讨论。这一层次的分类讨论所讨论的是二次项系数a在不同情况下函数的零点，然后做符号判断确定单调性。首先，当二次项系数a=0时，函数被简化为一次函数，零点、符号、单调性都迎刃而解；其次，当二次项系数a≠0时，需要进行二次项因式分解，从而出现两个零点，学生需要考虑两个零点的变化。到了这里学生遇到了第二层需要分类讨论的情况，那就是二次函数的开口方向。这一层次的分类讨论所需要讨论的是a>0和a<0的两种情况。然后，当两个零点的大小关系不能确定的时候，学生还需要针对两个零点的位置开展第三层分类讨论，直至将这个函数的单调性问题讨论清楚。在讲解这类函数问题时，教师应将分类讨论的思想和分类讨论的过程讲解清楚，让学生明白这里为什么要进行分类讨论，按照怎样的标准进行分类，对哪个讨论对象进行分类讨论，让学生明白我们是在逐层讨论问题。

本人与不少高中阶段数学学习困难的学生进行过深入的交谈和分析，发现这些学生并不是对数学不感兴趣，也不是上课不听讲，而是缺少正确的解题思路。当学生没有具备分类讨论的思想时，讲再多试题，学生还是不明白。高中数学解题的突破关键在于让学生明白，为什么在这里我们要用这种方法和这个公式。