合理设置问题 引领知识构建——“利用函数性质判定方程解的存在” 的教学及启示

凡胜富

(安徽省阜阳市第三中学,236000)

问题是数学的心脏,也是引发学生思考和探究的源动力.课堂中有了问题,学生在好奇心驱使下才能真正激发思维,实现知识的逻辑结构向学生的认知结构转化.因此,在教学过程中,我们可依据教学目标将教学内容设计成一系列问题,将这些问题由浅入深、由易到难、合理设计、适时呈现,导引学生通过问题的思考和探究来实现教学目标.本文以“利用函数性质判定方程解的存在” 的教学为例,谈谈笔者的粗浅体会,和同行交流.

一、教学过程实录

1.创设情境,提出问题

师:前面我们已经学习了函数的概念、性质和几个特殊的函数,对函数已经有了初步的了解,这节课我们就来学习函数的一些用途.先看一个和函数关系最密切的方程问题:(多媒体演示)

引例判断下列方程是否有实数解.

(1)x-1=0； (2)x2-3x+2=0.

请大家说说自己是怎么判断出结果来的.

生1:利用公式解方程求得.

生2:也可以画出y=x-1,y=x2-3x+2的图象与x轴的交点得到.

师:好!请继续看下题:(3)2x+x-5=0 (学生不知所措)

师:大家判断不出来这很正常,因为这个方程不是我们所熟悉的方程,没有公式可以用,也画不出图象判断,利用我们目前的知识并不能解决所有方程解的问题.

请大家和我一起了解一下方程求解的发展历程:

在2010年第六期《科学》杂志中有一篇为纪念华罗庚诞辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事.该文介绍了早在16世纪,数学家就已经解决了一次,二次,三次和四次方程的一般性解法,在随后的三百多年里,方程解法的发展停滞了,直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解,这就是方程求解的发展史.

师:这节课就来弥补一下我们目前知识的欠缺.(引入课题)

设计意图由学生熟悉的方程推进到一个本身不能求解的方程,造成学生的认知冲突,同时借助方程发展史极大地吸引学生探究新知的兴趣,激发学生的求知欲望.情境的创设,既自然渗透数学文化,揭示学习本节课的必要性,又有效激活学生的思维,对当前现象达到理解性认识,为下面的探究奠定良好的认知基础.

2.实验探究,解决问题

问题1如何在没有求解公式的背景下判断方程是否有解?

师:在遇到难以解决的问题时,我们通常会回到已经会处理的问题,由此入手去发现新问题的解决办法和一些规律.好,让我们再回到刚才已经解决的两个方程问题.

实验活动1一元一次方程x-1=0和相应的一次函数f(x)=x-1的图象有何关系?

生3:如图1,一元一次方程的根是对应的一次函数图象与x轴交点的横坐标.

实验活动2一元二次方程x2-3x+2=0和相应的二次函数f(x)=x2-3x+2的图象有何关系?

生4:如图2,一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标.

师:请同学们思考对于一般的函数(高次函数,指对数函数等)与对应方程是否也有上述的结论成立呢?我们继续来看引例中第3个方程.

设计意图以问题激发学生思考,学生通过动手实验,体会深刻,自然地得到函数和方程关系的初步认识,通过实验也可以直观感悟概念形成之中隐藏的数学思想,有利于全面、深刻地理解概念的本质.

实验活动3判断方程 2x+x-5=0是否有解?

(师生互动:现场在几何画板下展示函数的图象)

师:经过以上三个实践活动,问题1得到解决方案:通过作出方程所对应函数的图象,根据图象与x轴是否有交点加以判别.看来我们需要引入新的定义来解决这类问题了.

设计意图再一次体会方程的根是对应函数图象与x轴交点的横坐标.将结论推广到一般,为零点概念做好铺垫.

3.抽象概括,形成概念

定义我们把函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点.

师:对于这个定义,我们可以从两个角度来刻画:数和形的角度,你能说说你对方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间关系的理解吗?

生5:它们之间具有如下等价关系:

方程f(x)=0有实数根

⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点

⟺函数y=f(x)有零点

上述关系提供了一个通过函数性质确定方程解的途径,函数的零点就是相应方程的实数解.

设计意图(1)引导学生得出零点的三个重要的等价关系,体现 “化归”和“数形结合”的数学思想;(2)强调求函数零点的方法.

4.合作交流,探究结论

师:大家在计算机的帮助下,可以判断(即使不会画出相应函数的图象)方程有没有解的问题.请继续思考:

问题2没有计算机辅助,如何判断方程是否有解呢?请看下面的几个小问题:

(1)观察f(x)=x-1的图象,此函数在区间[0,2]上有没有零点?计算f(x)=x-1在区间[0,2]的两个端点对应的函数值f(0)和f(2)的乘积,你能发现这个乘积有何特点?

生6:有零点,因为函数图象是不间断的且f(0)f(2)<0.

(3)观察f(x)=2x+x-5的图象,此函数在区间[1,2]上有没有零点?

生8:根据解决前两个问题的经验判断,函数f(x)=2x+x-5的图象也是不间断的,且f(1)f(2)<0,所以函数在[1,2]有零点.

师:通过以上3个小问题的理解,对于连续函数,我们可以人为地选择一个区间,使区间两端点的函数值异号,进而使问题2得以解决.

设计意图先从一个已研究过的、简单的函数入手,引导学生结合函数图象,通过计算、观察、比较可以知道函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有一定的关系，为归纳函数零点存在的条件做好铺垫.

师:综上,我们可以得到如下结论:

零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根.

追问1y=f(x)不是连续函数时结论还成立吗?请举例说明.

追问2若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定有f(a)f(b)<0吗?

生10:也不一定,比如f(x)=x2在区间[-1,1]有零点,但是f(-1)f(1)>0.

追问3若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点吗?

师:很好!同学们对这个定理的理解比较透彻,这也是我们需要注意的地方.下面我们就一起来看它的应用.

设计意图通过追问,使学生准确理解零点存在性定理和三个注意点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.

5.迁移应用,深化理解

例1已知函数f(x)=3x-x2，试问方程f(x)=0在区间[-1,0]有没有实数解?

例2判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且有一个大于5,一个小于2.

设计意图对概念的理解是一个循序渐进的过程,学生要经过一系列练习才能把前面的探究活动中获得的数学知识、数学技能、数学经验与数学方法真正领悟，进一步加强学生对概念的作用和价值的认识，理解知识之间的内部联系,建构良好的数学认知结构.

师:有了以上两个例子对定理的应用和理解,请大家继续思考.

问题3利用零点存在性定理来判断零点问题有没有缺陷?

(学生分析交流讨论,得出结论)

生12:(1)无法判断零点的具体个数;(2)端点的函数值同号时不能判断函数在此区间有没有零点.

师:那么，如何解决此问题呢?留置下节课解决.

设计意图在互相交流、对话合作的数学活动中,学生积极思考、主动理解,同时充分暴露他们理解上的缺陷.教师的适时点拨,又可以引导学生重新思考一些理解不到位的知识,由此加深对概念的认识,同时又为下节课埋下伏笔.

二、教学启示

1.从学生的“最近发展区”出发设计问题

美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动,思维永远是从问题开始.”在课堂教学中,我们要从学生现有的知识水平和经验出发,设计出学生经过努力可以解决的问题.本节课中笔者从学生的最近发展区出发,对问题1与问题2都分层设计了3个小问题,层层递进,问题驱动,较好地完成了教学目标,收到了很好的教学效果.

2.在新旧知识衔接点上设计问题

新知识都是从旧知识发展而来的,新旧知识之间既有相通的地方,又有不同之处,而这种不同点往往正是知识的发展和提高.所以教学要抓住新旧知识间的衔接点,设计出有效的问题,引起学生的认知冲突,激发学生的探究和兴趣.本节课从情境设置到问题1、问题2的提出都引起了学生的认知冲突,学生的主动参与,增添了教学的色彩.

3.依托知识联系和顺序结构设计问题

数学思维的核心是逻辑思维,教师提出的问题也要具有逻辑性,在层层递进中体现出知识的内在联系.设计的问题既要反映知识生成背景,又要符合学生的认识规律和知识的形成规律.只有问题间自然过渡,才能使学生的思维延续,更容易激发学生思维的兴奋点.本节课通过问题的引领发现可以利用函数图象来解决一些方程解的问题,但有些函数图象又画不出来形成认知冲突,自然联想利用电脑软件画图处理,再通过设问避开软件画图如何判断方程的解.问题间过渡自然,易激发学生思考.

4.围绕学生思维发展设计问题

教学实践证明,并不是所有的问题都能引起学生思考,那种僵化的、形式的“呈现式”的问题只能使学生产生应付性的回答,并不能启发学生的思考.问题过大、过难,会造成学生无从下手,教师启而不发；问题过小、过碎,学生思维量小,失去探究发现的意义.所以,要根据具体的教学内容,设计出层次分明的问题,激发学生的思考,使学生通过对问题的探究,揭示问题的本质,领悟问题中蕴含的数学思想方法.