一个填空题的解决与拓展探究

许银伙

(福建省泉州外国语中学 362000)

(1)点M的轨迹方程为____；

(2)若直线l:x-y-2=0上有两个距离恒为2的动点P,Q，对于AB在圆C上的运动，能保持∠PMQ恒为锐角，则线段PQ中点G的横坐标取值范围为____.

解析(1)点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=4.

设线段PQ中点为G(x0,y0)，由∠PMQ恒为锐角，得点M恒在以PQ为直径的圆外，

因为|MG|min=|C1G|-r，

所以|C1G|>3.

结合x0-y0-2=0解得x0<0或x0>3.

所以点G的横坐标取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).

评注解析几何问题首先是几何问题，运用几何性质解题，是快速解题和减少运算量的诀窍，也是高考的素养要求.本题由几何特性得∠PMQ恒为锐角等价于点M恒在以PQ为直径的圆外，是整个问题(2)解答的关键.

思考1 如果题中条件不变，把“∠PMQ恒为锐角”改成“∠PMQ恒小于60°”呢？

解析作如图1，设点G(x0,y0)，过点G(x0,y0)作直线l的垂线l′:y-y0=x0-x，在l′上与圆同C1侧取点T(x1,y1)，使得∠GTQ=60°.

由题意得：以T(x1,y1)为圆心，|TQ|为半径的圆与圆C1相离.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

在Rt△GTQ中，

评注条件不变，仅把所求问题改变，解决的难度陡然提升.仍然利用几何性质解决，利用过点P,Q且PQ所对圆心角为120°的圆与圆C1相离.

思考2 如果题中条件不变，求∠PMQ的最大值呢？

解析在△PMQ中，

由基本不等式，得

2|MP|·|MQ|≤|MP|2+|MQ|2(当且仅当|MP|=|MQ|时取等号).

因为G为线段PQ中点，

又因为

2(|MP|2+|MQ|2)=|PQ|2+(2|MG|)2，

此时|MP|=|MQ|成立，

所以cos∠PMQ最小值为

评注运用余弦定理求三角形内角的最大值，是通常的方法，因为余弦值在三角形的内角范围内单调递减.运用基本不等式求最值，一定要关注能够取等号.本题中|MG|取最小值与前面基本不等式恰好同时成立，保证所得结果正确.

思考3如果题中条件不变，求∠PMQ的最小值呢？

解析连接GC1并延长交圆C1于点M，故有∠PC1Q>∠PMQ.

在△PC1Q中，

cos∠PC1Q→1，∠PC1Q→0°，

所以∠PMQ→0°，∠PMQ的最小值不存在.

评注思考2与3通过作图都是容易直观得到的.

思考4 如果题中条件不变，只是把直线l改成线段l:x-y-2=0(a≤x≤b)，求∠PMQ的最小值呢？

解析设点G(x0,y0)，过点G(x0,y0)作直线l的垂线l′:y-y0=x0-x，在l′上与圆C1同侧取点T(x1,y1)，以T为圆心，|TQ|为半径的圆与圆C1相交于点M.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

记|TQ|=r，则

评注通过以上解析，不容易看出∠PMQ的最小值是否与线段的端点有关.补充剖析如下：

即(r-4m)2=9(2m2-1).

评注利用图形特征：圆与椭圆总在它们切线的同一侧，力图利用两曲线在交点处的公切线解决问题.思路正确，最后也可以化成关于cosθ,sinθ的两个独立方程，但方程过于复杂，无法解出.