概率中的数学思想解题研究

刘金田

(山东省寿光市圣都中学)

随机变量及其分布问题，涉及知识点较多，联系广泛，是高考考查的热点.由于许多问题情形复杂，求解时难度较大，在解决问题时，若能很好地运用数学思想，则往往能化难为易，起到“柳暗花明”的效果.下面举例说明数学思想在求解随机变量及分布问题中的应用.

1 函数方程思想

例1(2021年浙江卷15)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为一红一黄的概率为

解析

由题意，ξ的可能取值为0，1，2，所以

点评

例2(2021年新高考Ⅱ卷21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).

(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X);

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概 率，p是 关 于x的 方 程:p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证:当E(X)≤1时，p＝1;当E(X)＞1时，p＜1;

(3)根据你的理解说明第(2)问结论的实际含义.

解析

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.

(2)设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0，且知

因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，所以f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1＜0＜1≤x2，当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)＞0;当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.

若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)单调递增且f(1)＝0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(0，x2)上单调递减，故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根.

若x2＞1，因为f(1)＝0且f(x)在(0，x2)上单调递减，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根.

综上，若E(X)≤1，则p＝1.

若E(X)＞1，则p1＋2p2＋3p3＞1，故p2＋2p3＞p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0＞0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3＜0＜x4＜1，当x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)＞0;当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减.

而f(1)＝0，故f(x4)＜0，又f(0)＝p0＞0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p′，且p′＜1.p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p＝p′＜1，故当E(X)＞1时，p＜1.

(3)若每一个这种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝;若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1，这种微生物会多代繁殖下去.

点评

本题第(2)问利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)＝0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点，第(3)问利用期望的意义及根的范围可得相应的说明，充分体现了随机变量的数学期望与方差和函数、导数知识的交会及函数方程思想在解题中的运用.

2 分类讨论思想

例3(2019年全国Ⅰ卷理15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________.

解析

前五场中有一场客场输时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108;前五场中有一场主场输时，甲队以4∶1获胜的概率是

综上，甲队以4∶1获胜的概率是

点评

本题运用了分类讨论思想，即对前五场甲队获胜的两种情况进行分类，并运用事件独立性的公式进行求解，注重对基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.

3 数形结合思想

例4(2021年新高考Ⅱ卷6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( ).

A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大

B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等

解析

对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确;

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确;

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确;

对于D，因为该物理量在一次测量中结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以在一次测量中结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误.

综上，选D.

点评

本题利用正态分布密度曲线的特征逐项判断求解，很好地体现了数形结合思想的运用.

4 化归转化思想

例5运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下:按下回车键，等可能地将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作.

(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望;

(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率.

解析

则ξ的概率分布如表1所示.

表1

(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，则

故当0≤n≤k－2时，

所以PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…

点评

先理解“归零”程序，运行该程序得到输出n(0≤n≤k－1)的概率Pn的关系式，然后递推得到Pn＋1的关系式，再通过作差、相乘等方法进行变形转化，最终求得Pn.本题抽象程度较高，解答本题需要有较强的阅读理解能力和变形转化能力.