解析几何优化运算的尝试

饶艳 陈伦全

摘要：解析几何是沟通代数与几何的桥梁，是初等数学到高等数学的纽带。 解析几何是用代数的方法系统研究几何，促进代数几何完美融和及日新月异的发展。抓住解决解析几何问题的核心思想——构建充满联系的知识结构，探究问题背后的本质规律，掌握解决问题的基本策略，优化数学运算的繁琐冗长，对于培养学生的数学能力（逻辑推理能力、运算求解能力、直观想象能力、数学建模能力和创新能力）有着非常重要的作用。

关键词：核心素养;优化运算;立德树人

一，神机妙算

解析几何对运算能力的考查要求较高，学生感受在解析几何中常常“想不到”、“算不出”。 所以如何优化运算，提高运算能力，就显得尤为重要。

1.规范作图，有效识图

规范地作出几何图形能够提供较为准确的研究对象，是研究几何问题的基础。作图的过程既是几何条件的梳理过程，也是运算思路的探究过程，综合考查了信息转化能力、动手操作能力和形象思维能力。借助规范的图形，通过直观想象可以有效猜测几何图形的性质，通过代数运算，验证猜测，充分体现了数形结合思想、化归与转化的思想。

例1 【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线与曲线和都相切，则的方程为（ ）

与圆M相切，同理，（此方程等价于与圆M相切）。要证明直线与圆M相切，即圆点M到直线的距离。

评析：试题将直线与抛物线、直线与圆等内容有机结合，试题重视对称美等数学美的理解和应用，对学生的逻辑推理能力、运算求解能力有较高的要求。本题解答的关键是选择作参数，明确运算方向，合理运用同理可得，优化运算过程。试题能较好地区分不同层次的考生，具有较好的选拔功能，而且试题的设计关注了新课程标准下解析几何这部分内容的要求，试题重基础、重能力、重应用、重创新，对引领中学数学课程教学与改革起到了积极的导向作用。

二、育人价值

高中阶段解析几何板块优化数学运算的策略，主要涉及以下几个方面：理解运算条件，探究运算方向，选择运算公式、设计运算程序和求得运算结果。

1.全面要求，综合考查——以关键能力作为主线

突出理性思维，考查关键能力：比如2021年全国甲卷理科第20题（文科21）对于平面几何中直线与直线、直线与曲线位置关系的判定，会注重考查直观想象能力、逻辑推理能力、作图识图能力、数学运算能力、转化与化归、数形结合思想，会利用式子结构特征简化运算过程，考查学生对于数学的应用意识，应用能力。2020年全国Ⅲ卷理科第20题（文科21题）考查椭圆标准方程、定义、离心率及三角形面积问题，注重考查直观想象能力、逻辑推理能力、作图识图能力、数学运算能力、转化与化归、数形结合思想，考查考生综合与灵活地应用所学数学知识、思想方法，选择有效的方法、途径和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，寻找更优的运算方向，创造性地解决问题的创新能力与创新意识。这类试题在考查理性思维、数学应用和数学探索等学科素养的同时，也在考查学生面对现实的问题情境时应当表现的情感态度和价值观。

2.立足学科，展现思维——以思想方法作为引领

比如2021年全国甲卷理科第15题、2019年全国II卷理科第11题等，试题坚持以学生学习与运用知识解决问题所需要的函数与方程、数形结合、分类整合、化归与转化、特殊与一般等思想方法和归纳推理、类比推理、演绎推理等具体方法为灵魂，立足解析几何学科特点，突出考查考生獨立思考、综合运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力。

3.彰显价值，立德树人——以学科育人为追求

关注学生锲而不舍的钻研精神和科学态度，以及对数学的科学价值、应用价值的认识，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神。

综上，培养和提升学生解析几何中的作图识图能力和直观想象能力，通过分析图形与图形、图形与数量的关系来寻找更优的运算方向。培养学生发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学数学知识、思想方法，选择有效的方法、途径和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的创新意识。 树立战胜困难的信心，培养锲而不舍的精神，为学生的终身学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]李宽珍 .基于核心素养理念下的解题教学初探——以一道高考题为例[J].中学数学，2018.（5）：14-17.

[2]叶长琴.多向思考提升数学运算核心素养—以一道解析几何题为例[G].中学生数学，2020.7，15：17.