时间尺度上二阶Lagrange系统Mei对称性及守恒量

赵淑琼，朱建青

(苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009)

1988 年，Hilger[1]将离散和连续系统相统一提出了时间尺度理论.对于一些较为复杂的动力学问题，由时间尺度理论建立相应的数学模型予以解决[2-4].在时间尺度变分问题方面也有了一定进展.2004 年，时间尺度变分问题及时间尺度上Euler-Lagrange 方程由Bohner[5]所提出.随后，Ferreira[6]将其推广到时间尺度上高阶变分问题并建立了相应的高阶Lagrange 方程.2013 年，Cai 等[7]研究了时间尺度上非保守和非完整系统的Noether 对称性.Song 等[8-9]研究了时间尺度上Birkhoff 系统的Noether 对称性以及非迁移Birkhoff 系统的Noether 对称性，分别推导出相应Birkhoff 方程，进一步得到守恒量.张毅[10]研究了时间尺度上Hamilton 系统Noether 对称性.2019 年，季晓慧等[11]得到了时间尺度上弱非完整系统Noether 对称性及守恒量.2020 年，彭姣等[12]基于微分方程在无限小变换下不变性原理得到了时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie 对称性.

1848—1858 年间，含有广义坐标对时间作高阶导数运算的Lagrange 函数所构成的广义经典力系统是由Ostrogradsky 和Jacobi 所提出.1987 年，中国在梅凤翔指导下开展了广义经典力学研究.自提出以来到21 世纪初，它在理论研究[13-14]、物理学场论中带有二阶导数的电磁理论[15]以及数学[16]方面微积分几何学中的应用引起广泛的研究热潮.2000 年，由Mei[17]提出了系统中动力学函数在无限小变换下仍满足原方程的一种不变性叫作形式不变性，也称之为Mei 对称性.在广义经典力学系统中，国内学者已经在Mei对称性方面有了一定研究成果，2003 年，乔永芬等[18]给出了广义经典力学中Lagrang 方程的Mei 对称性.同年，Zhang[19]给出了广义经典力学系统正则方程的Mei 对称性，乔永芬等[20]将其推广到广义经典力学中完整非保守系统中.关于时间尺度上Mei 对称性研究方面也取得了一定进展，例如2017 年，时间尺度上Delta 导数下Lagrange 系统的Mei 对称性由孔楠等[21]给出，2018 年，孙晨等[22]得到了时间尺度上Delta 导数下Hamilton 系统Mei 对称性，2020 年，Zhai[23]研究了时间尺度上Birkhoff 系统下的Mei 对称性及守恒量及正则方程的Mei 对称性，目前关于时间尺度上高阶Lagrange 函数的动力学系统对称性与守恒量方面的研究是一个较为新颖的课题，研究甚少.因此本文以时间尺度上二阶Lagrange 系统Mei 对称性定义及判据为基础，系统Mei 对称性导致守恒量的条件被建立，文末举例说明结果的应用.

1 时间尺度上二阶Lagrange 系统运动微分方程

设系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...,n)来表示，那么该系统Lagrange 量

2 时间尺度上二阶Lagrange 系统的Mei 对称性及判据

引入无限小变换群

类似于文献[17]中的定义，时间尺度上二阶Lagrange 系统Mei 对称性定义如下：

定义 1在无限小变换（3）式下，若时间尺度上二阶Lagrange 系统中的动力学函数L∗

仍满足方程（2），即存在

那么称这种对称性为该系统的Mei 对称性.

根据时间尺度上Taylor 公式，对L∗进行展开有

3 时间尺度上二阶Lagrange 系统Mei 对称性导致的守恒量

4 算例

研究系统的对称性与守恒量.

首先，计算本题给出时间尺度的前跳算子以及步差函数

5 结论

本文研究了时间尺度上二阶Lagrange 力学系统的Mei 对称性问题，可有效地将连续系统与离散系统相统一.文章首先给出了系统的Mei 对称性定义及判定方程，其次建立了由Mei 对称性导致Noether 守恒量的条件以及相应的守恒量表达式，最后当时间尺度取T=R，T=hZ时，分别得到经典系统下及离散系统下相应守恒量的形式，并通过例子说明结果的有效性.由于时间尺度是具有任意性的特征，因而本文的思想方法和结果更具有普遍性，可进一步拓展到时间尺度上二阶Lagrange 系统Lie 对称性等的研究.