直面“粗心” 追踪错因——以“长方体和正方体表面积和体积”为例

徐磊（江苏省南京市金陵小学 210000）

在学习“长方体和正方体的表面积和体积”时，家长和学生常常将错误归咎于“粗心”，似乎错误原因仅是没有看清楚，仿佛会用公式进行计算便是理解透了，但是这“粗心”背后的错因并没有被真的抓出来。

学生总是会将自己的一知半解当作已经掌握本质，家长也常被学生的时对时错弄晕脑袋，以至于简单粗暴地归为“粗心”。

一、心理接纳

出于回避心理，对于学生和家长来说，“粗心”往往比“不会”更容易接受，心理负担也会相对较小。

当学生承认“不会”的时候，是在将自己的弱点、错误暴露出来，这是一个很艰难的过程。而且，其背后隐藏着很多风险，可能因为上课没听讲而被责骂，可能大家都懂了而“我”没懂会丢人、会挫败，可能爸爸妈妈又要给“我”加习题等。

从家长角度来看，当孩子承认不会的时候，承担的压力、要考虑到的因素远比“粗心”多得多，是老师没讲还是孩子没听？是孩子没听懂，变个花样就不会了？是不是得多练一练拓展一下？

由此可见，“粗心”是最好的掩饰，也是双方不再刨根问底的好借口。

二、挖掘资源，追踪错因

在学生和家长极力用“粗心”掩盖问题的时候，教师绝不能和他们一起避重就轻，而是要抓住学生展现出来的各种错误，引导学生对其进行全面分析、归纳总结。

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中就指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”在“长方体和正方体表面积和体积”中出现错误，根本原因也是空间观念仍有不足。下面笔者将结合“长方体和正方体表面积和体积”的教学实例，谈谈如何帮助学生追踪错因、掌握本质，从而解决问题。

1.溯源概念

在教学“长方体和正方体表面积和体积”时，学生经常出现表面积和体积概念混淆的情况。有一个典型的迷惑性判断题：棱长是6的正方体，它的表面积和体积相等。题目中的数据很巧妙，学生根据公式，算体积和表面积结果都是216，所以这句话是没有问题的。在这一类题目中，笔者认为，其根本原因是学生没有充分认识到表面积和体积间的区别和联系。这种情况下，要让学生通过动手摸一摸长方体和正方体，充分感知面积和体积的区别和联系。

皮亚杰说过：“空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程。”培养空间观念需要大量的实践活动，学生要有充分的时间和空间观察、测量、动手操作，对周围环境和实物产生直接感知，这些活动不仅需要自主探索、亲身实践，更离不开大家一起动手，共同参与。观察、操作、归纳、类比、猜测、变换、直观思考等对形成空间观念有重要作用的手段，只有在大家共同探讨，合作解决问题的过程中才能不断生成、发展。

在这样一个题目中出现问题，还是要追溯对表面积和体积的理解。在执教“长方体和正方体的展开图”一课时，教师要有层次地安排学生活动中操作、想象的顺序，使学生实现二维与三维之间的切换，积累丰富空间思维的表象。教师要留出足够的时间给学生，使其能够在课堂上现场观察、想象、尝试正方体表面展开的不同方法。学生必须亲身经历了由立体实物到二维展开图形的变化过程，在观察、展开、再观察、再复原中体会到正方体与其表面展开图之间的联系。

【教学实例1】

师：（手拿正方体）这个正方体的表面积是哪几个部分﹐你能用手摸一摸吗？

学生上台演示。

师：那这个正方体的体积呢，你能表示吗？

学生上台演示。

师：（将正方体和正方体表面展开贴在黑板上）

这个正方体的表面积就是6个边长6厘米的正方形的面积之和，共216平方厘米，体积是大小为216立方厘米的空间。“面积”等于“体积”？

生：不相等，面积和体积的维度不同，一个二维，一个三维，面积和体积不可能相等。

师：那周长和面积可能相等吗！

生：（坚定）周长和面积永远不可能相等！

学生在新授课中初步建立了数学概念，但是对其进一步的加深巩固则需要教师利用多种课堂教学策略，教师要让学生从中理解并区分不同的概念，尤其要注重培养学生的空间观念，逐步完善认知结构。

2.关联实际

陶行知先生主张教育要与社会生活相联系，与生产实践相结合，按社会生活的前进的需要实施教育，打破学校与社会之间的藩篱，使教育回归生活。在《数学课程标准（2011年版）》中图形与几何部分对体积单位提出的要求是“通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），能进行单位之间的换算，感受1立方米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义”。虽然体积不能直接进行测量，但是在数学题和生活实际中常有对体积估测的要求，学生应该能在会估测长度、面积的基础上，估测体积、空间大小。

【教学实例2】

在教学单位时，经常会有“在括号里填写合适的单位”的题目，当教师提问冰箱体积、教室空间用什么单位比较合适时，绝大多数学生都认同是用立方米做单位，但是当题目变成“冰箱的体积是1.2( )”“教室容积大约是150 ( )”时，有部分学生就觉得1.2立方米和150立方米也太大了，便填写了立方分米或升。也就是说学生理解较大的空间应该使用立方米，一旦加上具体的数值就会犹疑不定，于是笔者启发学生利用身边的实物建立参考模型，从而自主反思、纠错。

师：老师想请同学上来给大家合作演示出1立方分米的大小，请四人小组商量一下，你们打算怎样表示。

学生小组交流，全班交流，确定方法。

学生三人演示，一人讲解，并用1立方分米大小的正方体作为参考对照。

师：用棱长1分米的正方体模型为参照，找一找教室里哪些物体的体积大约是1立方分米呢？

生1：粉笔盒的体积差不多是1立方分米。

生2：讲台上的正方体笔筒的体积也很接近1立方分米。

师：一个粉笔盒或者笔筒的体积大约是1立方分米，而一个冰箱的体积大约是1.2立方分米？

生：这怎么可能，冰箱里放得下好多个1立方分米，我家冰箱的说明书上说它的容积都有六百多升呢，体积肯定比容积大，1.2立方米还差不多。

师：那我们教室的容积只有150升？

生：教室里能放下好多个冰箱，一个冰箱的体积就比一立方米大了，所以教室的体积大约是150立方米。

在上述教学片段中，学生已经对体积单位初步建立了表象认知，但是并不能与生活实际情境达成双向转化，所以要将学生对体积单位的认知与具体事物相关联，以实物为参照，从对比中进行体积估测。在笔者看来，日常教学中一定要利用身边的资源，勾连数学概念、理论与生活实际，从而帮助学生抽象、构建数学模型，同时也能体会学习数学的乐趣，感受到数学来源于生活，又回归生活、服务于生活。

3.迁移上升

学习迁移理论中，桑代克的共同因素说和贾德的概括化理论都认为教育的过程中离不开迁移，教师则需要利用好学习迁移，让学生将已有学习上的进步转移到新的学习中去。

【教学实例3】

在苏教版六年级上册数学书第24页，有这样一道思考题：一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积就比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

很多空间发展较弱的学生面对这样的问题的时候会无从下手，这时候，教师就要勾连平面几何的知识，帮助学生先理解题意，再解决问题。

师：请同学们回想长方形和正方形的面积学习，有没有遇见过类似的面积增加的题目？

生：长方形的长不变，宽增加了，面积也增加了，求原来图形的面积。

师：上来画出你的图。

生（边画边说题目）：有一个长方形，我们不知道它的长和宽，但是它的宽增加2厘米后，就变成了一个正方形，这时候面积增加了14平方厘米，求原来长方形的面积。

生（边指边讲）：图中虚线增加的部分是一个长方形，宽2厘米，面积14平方厘米，所以长是7厘米，这也是原来长方形的长。题目说“它的宽增加2厘米后，就变成了一个正方形”，所以用正方形的边长减2就是原来长方形的宽，正方形的边长也等于长方形的长是7厘米，所以原来宽就是5厘米，原来长方形的面积是7×5=35（平方厘米）。

师：请你对比一下这两题的图，有什么相似的地方吗？

生：都是一条边长度增加了，所以面积也增加。

生：我觉得长方形的图就是长方体的一个面。

师：请你上来指着再给大家详细说一说。

生：长方体如果高增加2厘米，就变成一个正方体。说明这个长方体的长和宽是一样长的，只有高不一样，四周的这四个面都是长得完全一样的长方形，变化前后只有前后左右的面积增加了，所以只要分析其中的一个面就可以了。4个面增加的面积是一样的，一共增加56平方厘米，一个面就增加14平方厘米。看前面，这里的宽是长方体增加的高2厘米，就按刚刚的方法分析出长方形长7厘米，宽5厘米，对应长方体的长7厘米，高5厘米。前面分析过出长方体的长和宽一样长，那宽也是7厘米，体积就是7×7×5=245（立方厘米）。

部分学生由于空间感知和发展仍不完善，所以分析、想象立体图形是较为困难的，但是他们对于长方形、正方形等平面图形已经有了充分、完善的认识，数形结合也基本掌握，那把题目中的增加的4个面的表面积分割转化为一个长方形增加的面积，对于学生而言更熟悉，也更容易理解。长方体和正方体与长方形和正方有着千丝万缕的联系，那么空间想象能力不高的学生，就可以借助长方形和正方形面积相关的知识实现迁移，再借助数形结合的思想方法，也可以借助多媒体设备或实物，把需要三维空间想象的问题转化成二维平面问题，引导学生展开有效的思考。

三、结语

在学习的过程中遇见错误并不可怕，这是正常的，是符合学生理心理发展规律的，但是出现错误不能一味地用“粗心”二字掩盖，直面“粗心”，追踪错因才是解决问题的根本之道。教师要有足够的敏锐度去察觉学生是真“粗心”还是假“粗心”，用艺术的、风趣的方式化解其中“难言之隐”，让学生在轻松、愉悦的氛围中接纳自己的错误，拥抱更好的自己。