突破《几何》难教难学的几点思考与探索

郭海英 王元恒

摘 要：针对中学《几何》课程的难教难学，进行了几点思考与探索，引导学生规范几何语言和识图来培养学生思辨与创新能力，结合初中平面几何内容挖掘中国古代成就提高学生学习兴趣，运用动点动图的运动观点发掘教材中辩证因素，坚持理论联系实际进行一些几何测量与实验，讲授一些高等数学知识和难题去激发学生的兴趣和创造力，从而在中学平面几何的教学中自然而然地提高学生们学习《几何》的兴趣和语言能力、思辨能力以及创新能力。

关键词：平面几何;几何语言;思辨能力;创新能力

人们普遍认为，《几何》课程内容在整个中学数学中是老师难教、学生难学的内容之一[1]，也是初中数学的重要内容之一，是大部分初中生学习数学好与坏的“分界岭”。所以，关于平面几何的教学与改革一直是热点问题之一，人们在理论方法和实践教学上对初中《几何》的教学和内容体系上也多有研究[25]。针对中学《几何》课程的教学，如何提高教学质量，促进教育教学研究，加强几何基础知识的教学，发掘教材中辩证因素，克服学生学习几何的“抽象、难学”倾向，提高学生的几何素质和识图能力、思辨能力以及创新能力，我们进行了如下几点思考与探索，供大家商榷。

一、引导学生规范几何语言和识图，培养学生思辨与创新能力

在平面几何的学习过程中，推理论证是培养学生思维能力的基本训练形式。推理论证的困难就在于学生识图不准、几何语言表达不清，几何中的定义、法则、公理、定理、条件、结论等都要求用严格规范的几何语言来叙述，而且有叙述上的特点和方式，不同于学生们生活语言和习惯性语言，语言之间有着较大的差异和特殊性。教师要循序引导，对几何语言的文字表达要准确简练，排除一些日常生活口语的影响。例如，“点P在直线L外”，或者说“点P不在直线L上”都可以，而有些学生说成“点P在直线L的上面（上边、下面、下边、一边）”就不够准确。用文字叙述反映图形时，不能产生歧义，提高语言表达能力，点必须指明在什么地方，线必须说明在什么位置，对于“任取一点”“取定一点”“存在一点”“存在有”“有且只有”等几何语言描述必须透彻理解，消除几何语言与生活语言的差距。教师在教学过程中必须先要求自己几何语言规范准确，对学生起到示范和潜移默化的熏陶作用，对学生的不规范语言要及时纠正，要求学生仔细听课，先学会模仿老师的几何语言，再达到掌握和会用几何语言，这对几何课程思政教学中解决推论论证难、提高学生的思维能力有着重要作用。

识别并画准几何图形，是证题的基础和前提。在《几何图形》的教学中，画图可以使学生正确理解概念、提高学生的思辨创新能力，是学好几何的至关重要的一环。培养学生识图作图能力，提高学生几何素养要从易到难、从简单到复杂，画好基本图形是培养学生观察认识能力、学习几何的基本功。识图能力提高了，解题创新能力必然增高，因此，引导学生从不同角度观察分析教材中的基本图形并进行适当的演变，从而掌握这些基本图形及其相对应的性质结论。

学生会不会进行正确的推理几何命题，很大程度在于会不会分析图形，而图形的准确、规范，对于学生们的思维思考起着不可估量的作用。几何图形千变万化，每种图形的性质在教材中不可能一一列出，给出的定理、公式也只是最基本的，只能作为几何题目推理、论证的基础。例如，有时候一个几何图形的线条纵横交错，局部图形重叠，给学生识别基本图形造成困难，进而给推导论证命题造成困难，这时候图形准确对于观察图形更显得重要，这就需要老师引导学生将复杂图形进行分析，构造出有用的简单图形，应用它们的性质和联系，给出推理论证打开新局面，找出正确的解题方法和答案。因此，培养学生的识图能力，是学好平面几何、形成良好的逻辑思维能力的重要前提。例如，在平面几何图形中有一些特殊点（中点、切点、起点、终点、对称点等）、特殊线（三角形中位线、中线、高线、角平分线、高线、圆的弦线、切线连心线等），要注意观察应用这些点和线的特殊性质及其在几何证明题中所起到的重要作用，通过反复练习，使得学生掌握这些图形的特征，培养学生的识图能力、解题能力、推理能力、逻辑思维能力和创新能力。

二、结合平面几何内容挖掘中国古代成就，提高学生学习兴趣

在平面几何教学中，结合传授知识技能，把爱国主义教育融于教学之中，让学生了解中华民族在数学创造和几何图形应用上的光辉历史[6]。在《圆的有关性质》教学中，通过对求拱桥半径的讲授，向学生介绍了我国隋代著名的能工巧匠李春设计并参加建筑赵州桥的光辉业绩，告诉学生在当时技术设备低劣的情况下，能够建造这样宏大壮观的桥梁，在世界上任何一个国家都是无法比拟的。借此培养学生的爱国主义热情和自豪感，提高学习兴趣。

在《正多边形和圆》教学中，向学生讲述了在圆与正多边形的研究上，中国在世界数学发展史上有过重要地位。1800年前的著名数学家刘徽，首先发明了“割圆术”，为圆周率的计算奠定了基础，借助于内接正多边形和极限的概念，计算圆的面积和圆周率，推导得出圆周率约等于3927/1250≈3.1416这个重要数字，比起阿基米德的工作，事半功倍;同时，“割圆术”的思想，也正是现代数学《微积分》的思想，“割得越细，差距越小，割了又割……”，为了证明这一理论、更加精確地计算圆周率，刘徽将切割工作进行得十分仔细，最后他计算到了3072正多边形的面积。南北朝时伟大的数学家祖冲之，继承了刘徽的思想，计算到了内切和外切24576正多边形的面积，得到了圆周率更精确的值，是大于3.1415926而小于3.1415927，这个结果比西方国家领先了1100多年;祖冲之还是第一人用分数22/7（约率，或者祖率）和355/113（密率，七位精确数字）表示圆周率，这两个分数的结果直到现在人们还在应用。还有我国西周时期“商高论矩”“勾三股四玄五”，说明我们祖先的“勾股定理”比西方的毕达哥拉斯学派发现的“毕达哥拉斯定理”早了500多年，但是到现在为止，西方学者还继续称我们中国的“勾股定理”为“毕达哥拉斯定理”。通过多多挖掘平面几何课程中的中国古典发明创造和历史文化背景知识，借助于我们祖先的伟大数学成就，激发学生们爱科学、爱民族的热情，振奋学生们自强不息的奋斗精神。

三、运用动点动图的运动观点，发掘教材中辩证因素

在平面几何教学中，坚持运用辩证法的观点进行教学，注意发掘教材中的辩证因素，引导学生弄清概念与概念、命题与命题、概念与命题之间的区别和联系，认识几何中的矛盾和本质，贯穿事物运动和变化的观念，从具体事物的分析中总结数学规律，培养学生的辩证唯物主义世界观。在《相似形》的教学中，反映“互逆关系”的相应性质与判定，突出“知识联系、思想迁移”，围绕一系列知识点展开探究，运用类比的方法，揭示相似三角形和全等三角形判定之间的一般与特殊的辩证关系。通过对实物的模型、图片的观察，运用相似变换的数学思想，揭示几何图形在变换过程中的不变量和不变性，说明相似三角形的对应角相等对应边成比例是本质，全等三角形通过移动和转动可以使他们完全重合在一起，并通过比例规的制作与图形的绘制，培养们的运动与静止、变与不变的辩证思想。

在讲授《轨迹》时，通过对某一事物的投掷和运动，让学生观察事物的运动路线，使得学生理解轨迹是点运动留下的痕迹、明白轨迹图形的来源。例如，直线可以看成一个动点沿着一个方向前后运动的轨迹;射线可以看成一个动点沿着一个方向一直向前运动的轨迹;线段就是一个动点从起始点运动到终点的轨迹;平面可以看成一条直线上下运动的轨迹，也可以看为一条直线按照直线一个定点旋转一周而形成的轨迹。圆周就是一个动点到一个定点的距离等于一个定常数的动点轨迹，定点就是圆心、定常数就是半径。在判断轨迹时告诉学生，不是先有图形再判断点是如何运动的轨迹，而是根据运动规律判断点的运动轨迹，再找到它所形成的图形，从而加深了学生们对轨迹本身的本质理解。

四、坚持理论联系实际，进行一些几何测量与实验

在教学过程中，要注意从实际问题出发，进行科学的抽象和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，然后把这些知识应用到实际中去，让学生明白数学知识的重要性。例如在学习平面几何时，先介绍几何学的发生、发展的历史，使学生明白几何学是来源于社会生产、生活实践，又服务于社会生产和生活实践的一门学科，再通过一些活生生的事例加以说明，把理论与实际统一起来，沟通学科与学生之间的情感，逐步培养学生们解题和证明题的能力。

注意通过生活中学生熟悉的实例，讲解平面几何的抽象知识，激发学生们学习几何的积极性和浓厚兴趣，让逐步感受数学美。例如，当讲授《黄金分割法》时指出，0.618正是最美最巧妙的比例，中国的故宫、法国的巴黎圣母院的设计中都融进有“黄金分割”比例，古埃及的胡夫金字塔、米罗的维纳斯塑像和美丽的五角星中的一些长度比例也都是0.618，甚至一个人的身材匀称美的数学表示可以应用“黄金分割”：肚脐之上身体与肚脐之下身体的长度之比以0.618为标准，等等。在对教材中一些符合或者间接符合实际情况的例题和习题的处理中，告诉学生几何知识可以解决工业农业生产实践中一些度量、计算、检验、划线等问题，都是几何知识的实际应用，也可带领学生进行实际实地测量。例如，学习过相似三角形后，可以带领学生们拿一根木棒、尺子去太阳底下，通过测量木棒的长度和影子的长度，以及树的影子或者某一建筑物的影子长度，就可以计算出树高或者某一建筑物的高度。也可以带领学生们拿着尺子去河边，不用过河就可以测量出河宽：确定河对岸两个目标，在河本岸这边选定一点，与对岸两目标一起在本岸这边做出两个相似三角形，通过本岸的三角形的测量就可以计算出河宽（另一相似三角形的一条边）了。这些实例使得学生好像漫步在山花烂漫的幽境之中，产生对数学美的执着追求，启迪思维，扩大视野，丰富强化了对数学几何学的良好情感。

五、讲授一些高等数学知识和难题，激发学生的兴趣和创造力

由于兴趣对于未来活动具有准备性的作用，所以在平面几何的教学过程中，若能结合教材给学生讲授一些他们没有学到、或者不知道的高等数学知识和世界难题，可以使得他们对于将来所要学习的知识粗略了解一点，尽早引起数学兴趣，促进现在的几何学习，对将来的学习活动起到积极的定势作用。也可以给学生介绍一些世界难题，特别是学生们既能够懂得又喜欢知道的数学难题，可使得学生们的大脑有问题思考、常处在积极思维状态，这样既可以开发他们的智力和创造力，又可以使得他们能够为自己知道一些世界难题而感到自豪，并在幼小的心灵中树立起进一步渴望学习，或许可以解决世界数学难题的冲动目标。例如，在讲授几何图形面积后，可以提问学生：“长方形面积、三角形、圆的面积都有公式可以求得了，那么由任意曲线围成的图形面积怎么求呢？”这样顺势就给学生说明了《微积分》知识的一些重要应用和一些简单性质，使他们对将来学习《微积分》知识早产生求知欲和轻松愉快感觉。在讲到圆周率时，可以提问学生：“圆周率是有理数是无理数？现在人们是怎么计算的？”这样可以简单地给学生介绍了圆周率的性质和大学《计算数学》课程，也可以让学生们背诵圆周率小数点后许多位：3.1415926535897932384626…，使得学生产生自豪感和愉快感。在给学生讲“平行线”时，有定理（公理）：“过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”可以顺便启发学生：“为什么只有一条直线与已知直线平行？有两条行不行？没有一条行不行？”接着可以告诉学生们，“有且只有一条直线与已知直线平行”是我们初中平面几何（也称为欧几里得几何）五大公理之一等价的定理，否定了这个定理，也是否定了欧几里得几何的公理体系;俄国数学家罗巴切夫斯基从“过已知直线外一点，有2条直线与已知直线平行”出发，建立了《双曲几何》（也称为罗巴切夫斯基几何），这种几何中“三角形的内角和小于180度”;德国数学家黎曼从“过已知直线外一点，没有直线与已知直线平行”出发，建立了《椭圆几何》（也称为黎曼几何），这种几何中“三角形的内角和大于180度”，其实在我们的地球上航海航行用的就是黎曼几何，爱因斯坦的相对论的数学基础也应用了黎曼几何;在我们大家社会生活中的较小范围内，才可以把曲面看成平面，才能应用《平面几何》（即欧几里得几何），《双曲几何》和《椭圆几何》统称为《非欧氏几何》。在讲授初中数学平面几何的《勾股定理》后，顺势给学生介绍一道曾是300余年、悬赏最高100万马克（钱）的世界难题“费马大定理：任何一个大于2幂次的数，都无法表示为两个同幂次的数之和”。学生们听后群情激昂，大有跃跃欲试之势，甚至连过去不太努力学习的学生都会因这样的问题而产生遐想……这样自然而然地进行中学平面几何课程的教学，大大开阔了学生视野，培养了学生们的学习兴趣和创新思维能力。

参考文献：

[1]刘梅芳.如何解决农村初中七年级几何“入门难”的问题[J].新课程·上旬，2014，（7）：122.

[2]王海青，曹广福.从《原本》谈中学平面几何课题式教學研究[J].数学教育学报，2021，30（05）：3946.

[3]张昆.一种平面几何入门教学模型的应用[J].通化师范学院学报，2020，41（02）：8994.

[4]邱冬，王光明.平面几何教学的新视角—“示以思维”——基于章建跃先生对“研究三角形”的过程分析[J].数学通报，2018，57（08）：2730.

[5]李亚兰.培养学生的数学兴趣，推行素质教育[J].学周刊A版，2013，（8）：110.

[6]陈丽萍.数学教材中的中国古典数学教学研究[D].辽宁师范大学，硕士（专业：学科教学（数学），2020.

基金项目：浙江省杭州市高层次人才资助项目（2021.11.29）;国家自然科学基金面上项目“几类非扩张变分系统问题的迭代算法”（No.12171435）

作者简介：郭海英（1973— ），女，浙江东阳人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学与研究。

*通讯作者：王元恒（1961— ），男，河南南阳人，博士，教授，博导，主要从事数学非线性泛函分析研究。