均匀带电平面折线在空间产生的电场及其可视化*

莫云飞

(长沙学院电子信息与电气工程学院 湖南 长沙 410022)

周群益

(广州理工学院通识教育学院 广东 广州 510540)

周丽丽

(赣南医学院医学信息工程学院 江西 赣州 341000)

侯兆阳

(长安大学理学院应用物理系 陕西 西安 710064)

1 引言

有论文利用直线电荷产生的电势和电势叠加原理推导出带电三角形和四边形在空间的电势公式，利用电场与电势的关系推导了电场的分布公式[1～6]．不过，这些公式都比较复杂，不便于计算．这些论文也没有用图形表示电势和电场．

本文根据点电荷的电势和电势叠加原理推导了直线电荷在二维平面中产生的电势的简要公式，从而推导了直线电荷在三维空间中产生的电势公式，又根据电势叠加原理求带电折线产生的电势．利用电场与电势之间的关系推导了电场强度的公式．将公式无量纲化，利用MATLAB计算了场强的分量，用等势面和电场线直观地反映了电场的分布规律．

2 均匀带电线段的电势

设平面折线有n条边，其电荷线密度为λ(默认λ>0)，放置在xOy平面中．如图1所示，在折线中取一条长为Li的边，端点是Pi和Pi+1．在带电线段上取一个线元，其电荷量dq=λdl，在场点P产生的电势为

图1 带电线段产生的电势

(1)

其中，k是静电力常数．在直角三角形PPiQ中，hi和li是常数，hi=risinθi，li=ricosθi，由于

hi=rsinθl=li-rcosθ

(2)

(3)

(4)

取无穷远处为电势零点，带电线段在点P产生的电势为

(5)

其中，θi和θi+1分别是点P与点Pi和Pi+1连线与横轴之间的夹角．ri和ri+1分别是点P相对于端点Pi和Pi+1的径矢，设连接Pi和Pi+1的矢量为Li，利用矢量点积的公式，两个夹角分别为

(6)

3 带电折线的电势和场强

如图2所示，在三维空间中，端点Pi和Pi+1的矢径为

图2 带电线段在三维空间中的电势

ρi=xii+yijρi+1=xi+1i+yi+1j

(7)

带电的有向线段为

Li=ρi+1-ρi=(xi+1-xi)i+(yi+1-yi)j

(8)

长度为

(9)

点P(x,y,z)相对于端点Pi和Pi+1的矢径分别为

(10)

其大小为

(11)

式(5)中的电势Ui是空间坐标(x,y,z)的函数.带电线段Li产生的场强为

(12)

(13)

式(12)有3个分量，每一个分量的公式都是比较复杂的．由于MATLAB的数值计算功能很强，不必将式(12)的右边展开．

n条边的带电折线在三维空间中产生的总电势为

(14)

当U是常量时，式(14)就是等势面方程．一般情况下，这是关于x，y和z的隐函数方程．

注意：n条边的折线有n+1个端点，如果折线形成闭合多边形，由于首尾相连，当i=n时，下标i+1就是1．

合场强为

(15)

场强的3个分量决定了电场线，不过，电场线的方程很难求得．

4 公式无量纲化

电势和场强公式是一种数学模型，根据模型设计程序，计算工作可用软件MATLAB完成．不过，为了做纯数值计算，需要将公式无量纲化．

取a为坐标单位，则场点P的无量纲坐标为

(16)

无量纲的线段矢量为

(17)

(18)

无量纲的矢径大小分别为

(19)

取U0=kλ为电势的单位，则线段产生的无量纲电势为

(20)

无量纲的合电势为

(21)

设

取E0为电场强度单位，则无量纲的电场强度为

(22)

(23)

将公式无量纲化即可设计MATLAB程序，做纯数值计算并画图．

5 电场的可视化

利用MATLAB的计算功能和循环结构可以计算三维电势，利用函数gradient可以计算电势梯度即电场强度的3个分量，利用isosurface指令可以画三维等势面，利用流线指令streamline可以绘制三维电场线[7]．

(1)等腰折线的坐标为(a,0)，(0,a) 和(-a,0)，带电折线的等势面和电场线如图3所示，等势面本来是上下对称的封闭曲面，这里只取下半部分；电势从外到内依次是2U0，3U0，…，10U0，当电势比较小时，等势面分布在外面；随着电势的增加，等势面向内移，前面的曲面向内弯曲；当电势很高时，等势面就包围了带电线段．电场线从带电线段出发，垂直穿过等势面，呈现排斥的形状延伸到无穷远处．在电荷附近，等势面和电场线都比较密集，离电荷越远，等势面和电场线就越稀疏．等势面和电场线是上下左右对称的，这是因为两段电荷左右对称地分布在水平面上．

图3 带电等腰折线的三维等势面和电场线

(2)如图4所示，等腰三角形的坐标为 (a,0)，(0,a) 和(-a,0)，第3点与第1点封闭起来，电势从外到内依次是3U0，4U0，…，10U0，当电势比较低时，等势面在外包围整个三角形，如同层层相套的“碗”；当电势比较高时，三角形的内部也出现等势面；当电势很高时，等势面如筒状包围三角形．电场线从带电三角形上发出，在中间出现排斥的形状，延伸到无穷远处．电场线垂直穿过等势面，上下左右对称分布．

图4 带电等腰三角形的三维等势面和电场线

(3)正四边形的坐标为(a,a)，(-a,a)，(-a,-a)和(-a,a)，带电正四边的等势面和电场线如图5所示，等势面接近于方形的“碗”， 从外到内的电势依次是5U0，6U0，…，10U0；电场线上下，左右和前后都是对称的．将坐标改为(a,b)，(-a,b)，(-a,-b)和(-a,b)，如果取b= 0.9a，则可形成带电矩形的类似等势面和电场线(图略)．如果取b=1.2a，则等势面和电场线也类似(图略)．

图5 带电正四边形的三维等势面和电场线

图6 带电棱形的三维等势面和电场线

(5)带电正6边形的等势面和电场线如图7所示．用相同的方法也可以绘制其他正多边形的等势面和电场线(图略)．

图7 带电正六边形的三维等势面和电场线

(6)带电正24边形的等势面和电场线如图8所示，等势面接近于半球面．24边形与圆比较接近，其等势面和电场线接近于圆的等势面和电场线．

图8 带电正24边形的三维等势面和电场线

由此可见,利用MATLAB可以画出带电折线和任意多边形的等势面和电场线．

6 结束语

平面折线和多边形只是坐标有所不同．在三维空间中，带电线段电势的公式比较简单，电场强度的公式却十分复杂，折线和多边形的电场强度公式更加复杂．只要建立了数学模型，不论公式多么复杂，都能用MATLAB精确计算，还能绘制等势面和电场线的图形．由此可见,掌握了MATLAB的指令和程序设计方法，可以全面解决这类问题．这种方法还可以解决平面任意多边形电流产生的磁场的计算和可视化问题．