几何直观——让数学思考“看得见”

■文/方 婷

数学家克莱因指出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”在小学数学教学中，教师应借助几何直观，为学生创造自主思考、体验和感受数学发现的过程，培养学生理解数概念的能力。几何直观是指利用图形描述和分析数学问题，主要有两层含义：一是对直观图形赋予代数意义，即用数代形；二是对抽象的数学问题赋予直观图形的意义，即以形助数。本文探讨了教师如何借助几何直观培养学生理解数概念的能力，以期增强学生理解算理的能力和解决问题的能力。

一、借助直观图，培养数感

数感是学生理解数、理解抽象和具象之间关系的能力。《义务教育数学课程标准（2022版）》指出，建立数感有助于理解数的意义和数量关系。数的认识和计算在小学数学教学中占了很大的比重，虽然不少学生在幼儿阶段已经学会数数，会进行简单的计算，但大多数学生并未形成良好的数感。小学阶段的数学知识，如整数、分数、小数和负数等的认识需要运用大量的直观图形作为支撑，如数轴、点子图、长方形等数学图形，这些直观的“形”在帮助学生认识数、比较数的大小等方面发挥了巨大的作用。

例如，在教学“小数的初步认识”时，教师从生活中的1角出发，让学生思考1角可以怎样表示。有的学生认为可以用10分表示，还有的学生认为可以用0.1元表示。接着，教师提问：“如果下面图形（见图1）都表示1元，你会选择在哪个图来表示0.1元？”大部分学生选择了第三个图形，并涂满了一个格子，以表示0.1元。教师追问：“为什么大家都选择第3幅图呢？”让学生明白了将格子平均分成10份，每一份就是0.1元。教师借助图形直观揭示一位小数的本质属性，让学生对一位小数与十分之几分数的内在联系有了充分的理解，帮助学生构建了对小数的认知，为后续的数学学习打好了基础。

图1

二、借助直观图，理解算理

算理是计算的原理和依据，解决的是“为什么这样算”的问题；算法是计算的程序和方法，解决的是“怎样算”的问题。教师进行计算教学的重点是让学生理解算理，掌握算法，使运算学习从技能习得向思维发展转变。

（一）直观感知，算理相融

康德认为：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。”理解算理、掌握算法是运算教学的目标之一，算理是内隐的、抽象的。小学生的思维以形象思维为主，他们难以理解抽象的算理。对此，教师可借助点子图、长方形图等直观图形，帮助学生理解算理、掌握算法。

例如，在苏教版六年级上册“分数乘分数”这节课中，教师可借助折纸涂色活动让学生掌握的计算方法。具体来说，活动可以分三个步骤展开。首先，教师要让学生明确分数乘分数的意义，既要考虑分数乘法的意义，也要考虑分数的意义。根据分数乘法的意义，教师要让学生明确表示是多少；根据分数的意义，教师要让学生明白表示把正方形纸平均分成2份，取其中的1份；表示把纸平均分成4份，取其中的1份。其次，观察感知，直观表示。在明晰意义的基础上，教师可让学生先将正方形纸对折，取其中的一半涂色，然后将涂色的一半对折再对折，平均分成四份，取出其中的一份涂色。最后，借助直观，解释算理。教师可让学生根据折纸过程（见图2），说一说算理。学生通过交流能够明白：把半张纸平均分成4份，取其中的1份，相当于把一张纸平均分成了8份，取其中的1份，所以用2×4的积作为分母，1×1的积作为分子。

图2

（二）沟通联系，感悟算理

在计算教学中，由于思考方式不同，同一算式往往会出现不同的计算方法。教师应重视创造机会，让学生观察不同算法之间的相同之处，帮助学生在对比联系中理解算理。

例如，在北师大版三下“两位数乘两位数的笔算”中，教材设计了三个层次，第一层次是尝试用竖式计算14×12；第二层次是结合点子图解释竖式每一步的含义；第三层次是计算三道两位数乘两位数的题目，总结竖式乘法的计算方法。其中，第二层次最为重要，要求学生能够分别指出竖式的两个计算步骤所对应的点子图（见图3），直观理解竖式笔算的算理。如果把两种算法进行联系，让学生观察其相同之处，学生就会发现，这些方法看着不一样，其实本质上都是一样的，每一种方法都需要把这两个两位数中的每一位上的数进行相乘，然后把乘得的结果相加。这种发现可以帮助学生掌握两位数乘两位数不同算法之间的相通之处，促进学生对方法的深度思考，从而使学生对算理的理解更加深入。

图3

三、借助直观图，解决问题

解决数学实际问题的关键在于正确分析数量之间的关系，如果学生找不到数量关系，就难以解决实际问题。在实际教学过程中，部分学生在解决实际问题时无从下手，不能根据文字表达和分析数量关系。对此，教师应在教学过程中，培养学生画图、用图的能力。

（一）学会画图，清晰表达

在解决数学问题时，部分学生无从下手，这可能是因为学生读题时没有理解题意，不能快速地找到数量关系。由此可见，培养学生的阅读能力非常重要。教师应指导学生学会画直观图，将文字语言转化为图形语言，将抽象的文字变为半抽象的图形，让学生更容易理解题意。

比如，在教学六上“解决问题的策略”时，习题题目为：“张宁和王晓星一共有画片108张。张宁给王晓星18张后，两人画片的张数同样多。两人原来各有多少张？”学生读完这道题，面露难色，不知该如何思考。教师提问：“你能尝试着画线段图来表示这道题目的意思吗？”学生运用已有经验画出了线段图，如图4所示。

图4

展示学生的图画后，教师追问：“对于三个同学画的线段图，你有什么想说的吗？”并鼓励学生讨论交流，让学生在交流讨论中明确第一幅图已知条件和问题没有标，第二幅图两人画片的数量关系混淆。在讨论交流结束后，教师让学生结合完善后的线段图表达题目的意思。在这个教学过程中，教师围绕学生画图的“半成品”资源，引领学生交流、分析，将“半成品”加工成完整的线段图，再让学生通过语言将线段图转换成文字表达，使抽象的问题“可视化”，化难为易、化隐为显，从而帮助学生理解题意、分析数量关系。

（二）借助图形，学会分析

《义务教育数学课程标准（2022版）》强调培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。在教学中，教师要善于培养学生画直观图表达问题的能力，增强学生根据直观图分析数量关系的能力，以帮助学生找到解决问题的关键。

比如，在前面的数学习题中，如果学生已经完善好线段图（见图5），教师就可以让学生借助线段图分析数量关系，寻求解决办法。

图5

在这一教学中，学生借助线段图，能够直观看出“张宁画片的张数比王晓星多36张”这一隐含条件，从而想到三种不同的解题方法。由此可见，学生借助直观图，可以明确解题思路，找到题目中的隐含条件，这有助于提高学生分析问题、解决问题的效率，促进学生分析和解决问题能力的提高。

四、学会反思，感悟价值

《义务教育数学课程标准（2022版）》提出：“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。”基于此，教师不仅要让学生学会运用几何直观分析问题、解决问题，还要让学生深刻认识几何直观运用的重要作用。在教学中，教师可通过对比、沟通，让学生加深认识，养成运用直观图的习惯。

在教学环节中，教师可让学生对比文字和线段图进行交流。例如，在某次教学结束后，教师询问学生：“请大家回顾刚才的解题过程，你有哪些体会和收获呢？”有的学生回答：“刚开始我不会解决，但是通过画线段图，能够很轻松地解决。”有的学生回答：“线段图可以帮助我们找到解决问题的方法。”有的学生回答：“我们今后在遇到不会解决的问题的时候，可以尝试画线段图，寻求解决思路。”……从学生的答案中可以感受到，画图、用图的方法已经在他们的心中扎下了根，他们能够在之后的数学学习中运用图形解决问题。

总之，几何直观具有双重性，它既是一种思维形式，也是一种解决问题的重要方式。教师借助几何直观，可以使抽象的问题形象化、具体化，化繁为简、化难为易，帮助学生更好地理解和记忆数学概念；可以将计算中的思维路径以图形的手段表现出来，帮助学生理解算理，促进算理与算法的融合；可以把复杂的数学问题变得简单，有助于学生探索解决问题的思路，推算问题的结果。