数学建模在疾病传播领域的应用

□徐子豪

数学建模是利用数学工具来解决生活中的实际问题的重要方法之一,而疾病历来是影响人类健康的大敌,它们对人类健康和社会发展产生了重大影响,引起了世界各国专家的普遍关注,若可以借助于数学模型来研究疾病问题,从而建立符合其传播特点的数学模型,对于揭示其传播机理以及对疾病的预防和控制具有重要的现实意义[1]。

一、常见的疾病传播模型

(一)SI模型。这个模型将人群分为两类,易感染者(Susceptible,S)和染病者(Infected,I),并设所考察的地区人群总数K不变,时刻t(单位：天)易感者和患者在人群总数K中所占比例分记为是s(t)和i(t),s(t)+i(t)=1,初始时刻t=0时,各类人数量所占初始比率为s0,i0。设个人单位时间内有效接触率为β,且当易感者被有效接触后马上变为染病者[2],β反映的是这种疾病在所在地区的传播能力,若β越大,则说明疾病传播速度的最大峰值越早到来[3],根据上述假设可以建立SI模型:

I′=βSI

将s(t)=1-i(t)代入，得 I′=βi(1-i)

i(0)=i0

当t趋于无穷时,i趋于1,这样说明所有的易感染者都会变成染病者,但实际上这种情况并不符合现实。事实上,由于患者可以被治愈,SI模型没有考虑到这种情况,而只考虑了易感染者可以被感染。同时,SI模型一般适用于疾病爆发的前期或者尚未进行有效防治措施的阶段。

(二)SIS模型。在SIS模型中,模型与SI模型的假设相同,新增一个假设是患者每天被治愈的人数占人群总数的比例为μ,μ称为日治愈率,则对应的建立SIS方程有:

I′=βSI-μI

定义 C=β/μ

将s(t)=1-i(t)以及μ=β/C代入可得

I′=βi[(1-1/C)-i]

其中,对于该方程分两种情况讨论。若C>1,i(t)呈S形曲线上升,当t趋于无穷时，i趋于1-1/C；若C≤1,则i(t)这条曲线单调递减,于是当i(t)趋于无穷时,i趋于0。由上述讨论可知,C是区分这种疾病在当地能否传播开来的临界值。若C>1,这种疾病最终会在所在地传播开来,成为地方性疾病;若C≤1,则这种疾病最终会消失[2]。SIS模型描述了被感染的个体能被治愈，但治愈后也能被染病者再次感染。有些疾病如伤风、痢疾等,这些疾病虽然可以治愈,但治愈后的个体大致上对这种疾病并没有一定的免疫力,因此患者治愈后又容易再次被感染。

(三)SIR模型。1927年Kermack与Mckendrick为了研究黑死病以及瘟疫的流行规律,构造了著名的SIR仓室模型。所谓的仓室模型就是根据某种疾病的传播性质和根据当地传染的环境状况将该地区的人群(或某一种群)分成若干类[4],例如三类,即三个仓室：

设人群总数始终保持一常数K,且分易感染者、染病者类和移出者三类,数量分别记为S(t),I(t),R(t),设t时刻单位时间内一个染病者感染易感者的数量与此时刻易感者的数量S(t)成正比,记比例系数为β；设t时刻单位时间内从染病者类中移出的成员数与此时刻染病者的数量成正比,记比例系数为γ[4],从而可以建立SIR模型：

S′=-βSI

I′=βSI-γI

R′=γI

且满足S(t)+I(t)+R(t)=K

一般来说,SIR模型适用于康复者具有永久免疫力,且不会在被此疾病所感染的情况。例如通过病毒传播的疾病：流感、水痘等,被治愈的个体康复后对这些疾病具有一定的免疫力,适用于上述SIR模型。而对于一些通过细菌传播的疾病例如脑炎、淋病等,患者康复后可能再次感染,对这种疾病并不具有免疫力。

(四)SARS传播模型。在SARS爆发的初期,由于人们对SARS的传播速度及危害程度认识还不够,未能及时了解这种疾病的一些信息,使得SARS在早期几乎不受制约地传播,但当患者人数上升,政府采取了相应措施对其进行严格控制,以及随着卫生部门防治手段和人们的警觉性不断增强,这种病毒的传播速度逐渐下降。而影响这种病毒传播的因素有很多,不仅有易感染者、染病者、移除者这三个人群,但仍然可以用治愈后获得免疫力的SIR模型来说明,以下介绍在SARS的传播得到严格控制下的模型。

该模型引入了不可控带菌者以及疑似感染者两个人群,在总人群中所占比例分别记为c(t)和e(t),设每个不可控带菌者单位时间内有效感染人数为n,在这些被有效感染的人中,可以进行相应控制的比例记为α,而不可控带菌者单位时间内转化为染病者的比例记为χ,疑似已感染者单位时间内被排除的比例记为β,转化为染病者的比例记为γ[5],通过以上相关参数的相互转化建立微分方程：

s′=βe-ncs

c′=n(1-α)cs-xc

e′=-(β+γ)e+nαcs

i′=xc-μi+γe

r′=μi

s(t)+c(t)+i(t)+r(t)=1

该模型里的各参数可以通过两种方式来估计,一种是利用实际数据来估计,另一种是通过以往经验进行估计初始数值,然后代入该模型进行计算，再将此与以往的实际数据进行对比，对模型作出相应调整。

二、结语

数学建模主要是将现实特定对象的信息加以翻译和归纳,从而进行相应简化的产物。通过对模型的假设、构建、求解、分析得到数学上的解答,再把求解和分析结果翻译回到特定的问题,将此与现实的相关现象、数据进行比较,检验模型是否合理,能否将此应用到该实际问题中。对于数学模型来说,数学模型的特点具有逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非强制性、条理性、技艺性、局限性,对于建模的好处也是显而易见的。从建模的角度来思考问题有助于人们对现实对象的了解与分析更全面,这样来说不管是对问题解决还是对于这类问题更进一步研究也是有利的。但由于模型是现实对象简化以及理想化后的产物,要将建立的模型应用到实际问题中,就应该考虑有些被忽视的因素,因此数学模型是对于实际问题的近似解决[6]。而在疾病研究中,构建相关数学模型,对此进行分析与控制,这对于研究疾病的流行规律是相当重要的,因为通过建立能反映疾病传播特性的数学模型,并对该模型进行定性、定量分析[7],有助于得到相关信息,例如该疾病的发展过程、趋势等,这样对于人们了解疾病流行过程中的一些特点,对其流行规律认识更加全面,能使所得到的防治策略更可靠以及更符合实际,从而有效控制疾病传播。