重建思维过程，发展数学能力——“正余弦定理”教学中渗透数学方法

◎曾春燕 （广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东 茂名 525200）

一、挖掘蕴含的数学思想方法

高中数学课程标准指出：“在教学中，教师应结合相应的教学内容，落实‘四基’，培养‘四能’，促进学生数学核心素养的形成与发展．”这里面强调的“四基”就包括数学的基本思想方法．数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一．学生只有领悟了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，养成思考问题的习惯．

数学发展的过程就是从实践中发现问题，探究解决问题的思想方法，从而提炼、概括、抽象出数学概念、定理、法则等．高中数学课本呈现的是以概念、定理、法则、公式等为元素的严谨的逻辑体系．教师在教学过程中不应只重视知识的讲解与传授，还应有重建思想方法的过程，展示数学知识的发生发展过程，让学生能体验到数学思想方法的意义和作用．

我们本着这样的理念来重新设计“正余弦定理”的教学，深入挖掘这节课蕴含的数学思想方法，从而发现这节课包含了特殊到一般、数形结合以及化归的思想方法．具体设计思路如图1：

图1

二、重建数学思想的教学过程

（一）知识到方法，提供思想方法模型

数学的新知识产生的方式有两种．一种是以实际为起点．另一种是以已有的数学为起点，即由已有的数学理论推理出新的数学理论．前者运用的是归纳法，后者运用的是逻辑推理．

1．数学的产生

教师提问：数学的新知识怎么来？

随后教师给学生介绍数学新知识的来源：

（1）产生于实际，即以实际例子为起点，通过归纳得出相关的数学知识；

（2）产生于已有的数学知识，即通过用已有的数学知识推理出新的数学知识．

第二种方式是高中生要掌握的主要方式．

2．推理的方法

用已有的数学知识推理出新的数学知识，推理的方法主要有：

（1）特殊与一般；

（2）代数变形；

（3）化归思想．

（设计意图：一般地，当人们明确了学习某一知识的目的性和必要性以后，学习这一知识的热情必将得到极大的提高．然而，如何探究一般三角形中边角关系？ 学生大多缺乏明确的思想认识和有效的思维方法．教师向学生介绍数学思维的方法，有利于激发学生的兴趣和学习的欲望．）

（二）公式到问题，指引新知产生路径

三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．为了更好地体现向量的价值，教科书用向量方法推导了余弦定理和正弦定理，但是这样容易掩盖数学知识产生的过程性．为了让学生更好地体验数学知识产生的过程与数学思想方法的联系，教师可以利用已经学生学习过的勾股定理引导学生进行思考．具体设计如下：

1．回忆勾股定理

引导学生回忆勾股定理：在直角三角形ABC中，有a2＋b2＝c2．教师要引导学生明确这个公式成立的前提是在直角三角形中．

2．指引可思考的方向

教师提问：对这个结论，你有什么想法？

教师引导学生思考，概括出几个思考的方向：

（1）这个公式是对直角三角形来说的，那么对于一般的三角形，三边有什么关系？

（2）平方变成立方，有什么成立？

（3）满足a2＋b2＝c2的数有哪些？

（4）能否推广a2＋b2＋c2＝d2？ 甚至推广到：四个以上数的平方和是一个完全平方数？

（设计意图：通过学生熟悉的勾股定理，引导学生对已有的数学知识进行更加深层次的思考，从而拓展学生的思维，丰富学生的认识，同时为新的数学知识的产生做铺垫．）

（二）特殊到一般，发现余弦定理的部分内容

上面思考的四个方向中的（1）是从特殊到一般的方法．学生在理解勾股定理反映的是直角三角形三边的关系后，提出一般三角形的三边具有的关系．

1．分类讨论

问题1：在锐角三角形ABC（如图2）中，三边有什么样的关系？

图2

分析：可以考虑将其化归为直角三角形．因此可作高BD．

解过顶点B作边AC上的高BD交于AC于D．于是有：

c2＝h2＋AD2

＝h2＋（b-CD）2

＝h2＋b2-2b·CD＋CD2

＝（h2＋CD2）＋b2-2b·CD

＝a2＋b2-2b·CD

＝a2＋b2-2ab·cosC

问题2：在钝角三角形ABC中，三边有什么样的关系？

（证明与问题1 相同，故省略．）

2．余弦定理

结合上面的证明，我们得到余弦定理：在三角形ABC中，c2＝a2＋b2-2ab·cosC．由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

3．拓展思考

教师提问：在三棱锥里，棱长之间有什么关系？ （课外完成）

（设计意图：使用“斜三角形转化成两个直角三角形”这种从一般向特殊、由未知向已知转化的数学思想解决问题，有助于培养学生的思维能力．）

（三）举一到反三，完善余弦定理的全部公式

代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形，即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式．余弦定理是由若干条公式组成的．通过上面的环节，我们得到了“在三角形ABC中，c2＝a2＋b2-2ab·cosC”，那么如何得到其他的公式呢？ 此时我们可以使用类比和代数变形来实现．具体如下：

1．类比写式子

教师提问：类似c2＝a2＋b2-2ab·cosC的式子可以写多少个？ 请通过结合图形观察c2＝a2＋b2-2ab·cosC的规律，尝试写出．

总结：

在三角形ABC中：（1）c2＝a2＋b2-2ab·cosC；

（2）a2＝b2＋c2-2bc·cosA；

（3）b2＝a2＋c2-2ac·cosB．

上面这个式子体现了余弦定理中的边a，b，c可以进行轮换，即可以从余弦定理的一个式子得到其余的两个式子．因为余弦定理中的边具有可轮换的特点，所以余弦定理可以用概括性的文字语言统一叙述，即教科书中给出的文字叙述．教学中教师可以引导学生自行用文字语言叙述余弦定理，以此培养学生的数学表达能力．

2．代数变形

余弦定理的推论指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，并且每一个等式中都含有四个不同的量，即三角形的三条边和一个角．不难看出，若已知其中的三个量，我们就可以求出第四个量．用三角形的三条边表示角的余弦，即可获得余弦定理的推论，有时也说成是余弦定理的第二种形式：

教师提问：已知三角形的三边，能否算出三个内角的度数？ 这时我们应该思考的是在某种情况下三角形哪些要素能算，哪些要素不能算．

（设计意图：引导学生通过类比猜想得出余弦定理的另外两条公式，培养学生的合情推理能力．对余弦定理运用代数变形，有助于加深学生对余弦定理的理解．）

（四）特殊到一般，发现特殊情况下的正弦定理

教师提问：既然有余弦定理，会不会也有正弦定理？

直角三角形ABC中，有：

回顾：

刚才我们得出余弦定理时用到了的思想方法：（1）从特殊到一般的方法；（2）代数变形．

思考：①式对一般的三角形成立吗？

（设计意图：通过对学生熟悉的正弦函数的定义进行代数变形，“从特殊到一般”提出正弦定理的普遍性，有利于训练学生从特殊情况提出一般性结论的思维能力．）

（五）化归与推理，探究一般情况下的正弦定理

分析：可以考虑将其化归为直角三角形．因此可作高BD（如图3）．

图3

解过顶点B作边AC上的高BD交于AC于D．于是有：

教师提问：我们要得到的是①式，此时你们有什么想法？ （代数变形）

教师提问：如果我们说，对于一般的三角形，有②式成立，对不对？ 你们对此有什么想法？

（设计意图：再次使用“斜三角形转化成两个直角三角形”这种从一般向特殊、由未知向已知转化的数学思想来解决问题，有助于培养学生的思维能力．通过引导学生思考为什么要把②式倒过来变成①式，让学生体验到数学公式的严谨性和美观性．）

（六）探幽与入微，深化理解正弦定理

分析：

由②式想到：（1）比值不变；（2）已知A与a，比值就定下来了．

①角A定，边a变，但比值不变．

此时，a边的长度不变，但是a边的位置是可以无法确定的（如图4），观察a边的轨迹是不规则的．

图4

②边a定，角A变，但比值不变．

a边所对的角A大小是不变的，但是位置可变，根据图形的分析，我们可以由同弧所对的圆周角相等想到角A的轨迹是a边为弦的圆．

找一种特殊的情况，角A的一边过圆心（如图5、图6）．

图5

图6

因此，要将②式倒过来写：

这道题我们用到了：代数变形和数形结合的方法．

正弦定理，常用可写成：

a＝2RsinA；

b＝2RsinB；

c＝2RsinC．

教师提问：从中你能发现什么？

推论：在△ABC中，A＞B⇔a＞b．

简证：A＞B⇔sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b．

（设计意图：通过分析角A与边a的几何关系得出正弦定理中的定值的几何意义，学生体会到代数与几何的密切联系．学生在分析讨论中再次体会到代数变形和数形结合的方法的重要性．）

（七）构造与创新，用向量的方法推导正弦定理

教师提问：你还有其他方法推导正弦定理吗？ （向量法）

解作AB的法向量i（如图7），

图7

因此有bsinA＝asinB，即

（设计意图：用向量的方法推导正弦定理，让学生认识到数学知识是相互联系的．）

（八）应用与转化，用正余弦定理解决实际问题

实际问题：某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到的火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向．已知B在A的正东方向10 km处，要确定火场C分别距A及B多远．

图8

数学问题：如图，在△ABC中，已知 ∠CAB＝ 130°，∠CBA＝30°，AB＝10 km．求AC与BC的长．（结果精确到0．1 km）

（设计意图：从实际情境出发，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模素养．利用正弦定理解决课前的引例，体现了正弦定理在实际生活中的应用，进一步反映了学习正弦定理的必要性．）

三、总结

挖掘教学内容中所蕴含的数学思想，有助于发展学生的数学能力．符合学生认知特点的过程性教学，将引导学生由“双基”走向“四基”，由“两能”走向“四能”，彰显数学的特质和意味，促进学生数学素养的发展．