特殊支承连续箱梁弯扭性能分析

魏彦红，张元海

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

实际工程中，薄壁箱梁的受力和变形普遍具有弯扭耦合特点。因此，薄壁结构的挠曲扭转力学性能一直是桥梁工程领域内关注的课题[1-4]。随着交通事业的快速发展，桥梁设计理念也随之改变。为适应道路的走向，克服地理环境的限制，合理跨越河谷和既有线路，斜支承形式的箱梁桥成为桥梁设计者的选择方案之一[5]。因特殊的支承形式，即使在竖向对称荷载作用下，斜支承箱梁的内力和变形也会存在弯扭耦合特点。与常规支承的正交箱梁相比，斜支承箱梁的分析更加复杂。近年来，国内外一些学者也对这种特殊支承形式的箱梁作了不少研究[6-11]。文献[12]提出了一种全面考虑剪力滞效应和约束扭转翘曲变形的10自由度薄壁箱梁单元，编写了用于分析斜支承连续箱梁挠曲扭转力学性能的有限元程序，通过对一斜支承三跨连续箱梁的研究，发现剪力滞和约束扭转效应对箱梁正应力的分布有重要影响。文献[13]在此基础上，推导了用于分析斜支承连续承箱梁约束扭转力学性能的薄壁箱梁单元，对比分析了常规支承和斜支承的连续箱梁在竖向偏心荷载作用下力学性能的差异，研究发现斜支承连续箱梁的扭转特性更加突出。文献[14]给出了竖向对称荷载作用下，计算斜支承连续梁的平面杆系有限元方法，同时还给出了扭矩荷载作用下，计算斜支承连续梁的建议，但未作进一步的具体论述。文献[15]用三维有限元法研究了斜交角的变化对组合桁架连续梁桥内力的影响。文献[16]用解析法分析了剪切变形对单跨斜梁挠度计算的影响，分析结果显示斜交角度的变化与剪切变形对挠度计算的影响呈正相关。当然，文献[17-18]利用有限元商业软件对斜支撑桥梁进行分析。综上所述，现有文献多为用有限元数值方法分析斜支承连续箱梁，而用解析法研究此类箱梁的文献并不多见。

本文按力法原理，以斜支点的约束反力为多余未知力，建立了斜支承两跨连续箱梁的力法方程，给出了多余未知力的解析解。通过对分别按自由扭转和约束扭转理论计算的斜支承连续箱梁的内力、变形和正应力作对比分析，给出了按自由扭转理论分析斜支承连续箱梁挠曲扭转的简化计算方法。

1 简支梁约束扭转微分方程初参数解

若作用在简支梁上的分布扭矩荷载m(z) 沿梁轴线性分布，且力矢指向z轴正向时，约束扭转控制微分方程可表示为扭转角θ(z) 的四阶常系数非齐次线性微分方程[19]为

( 1 )

当简支梁上无荷载作用时，则m(z)=0。式( 1 )的齐次微分方程的初参数解为[19]

( 2 )

( 3 )

( 4 )

T(z)=T0

( 5 )

式中：θ0、β′0、B0、T0为初参数，分别为z坐标起始位置的扭转角、广义翘曲位移、双力矩、扭矩。

1.1 集中扭矩荷载作用下的初参数解

图1 承受集中扭矩荷载的简支梁

简支梁约束扭转控制微分方程的边界条件为：在边界处，扭转角θ和双力矩B皆为0。根据约束扭转齐次微分方程的初参数解和简支约束的边界条件，可得到在集中扭矩荷载作用下，简支梁的初参数解[19]为

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

式中：‖d表示带有此符号的项仅在z>d时才计入。

1.2 均布扭矩荷载作用下的初参数解

图2为承受均布扭矩荷载的简支梁，在梁上取微段dξ，ξ为dξ所在位置到坐标原点的距离。

图2 承受均布扭矩荷载的简支梁

均布扭矩荷载作用下，简支梁初参数解[19]为

(10)

(11)

(12)

T(z)=ml/2-mz

(13)

2 斜支承两跨连续箱梁的力法原理

即使在竖向对称荷载作用下，斜支承箱梁在发生弯曲变形时还会发生扭转变形，见图3。图3为中墩斜置的两跨连续箱梁，承受竖向均布偏载作用，偏心距为e，以x轴正向为正。中墩两支座连线与梁轴线夹角的余角为斜交角φ，两斜支点所在横截面的z坐标值分别为d1和d2。选取图3(c)、图3(d)所示的简支箱梁为基本结构，将斜支点的约束代之以相应的多余未知力r1和r2。按力法原理，原结构和基本体系在斜支点处的变形相同，可建立斜支承两跨连续箱梁的力法方程。

图3 中墩斜置的两跨连续箱梁的原结构及基本体系

本文所提出的方法对钢箱梁和预应力混凝土箱梁都适用，对于预应力混凝土箱梁而言，预应力筋对梁体的作用可以用等效荷载代替，然后按本文提出的方法进行分析，所以本文对预应力效应不再专门进行研究。

2.1 荷载等效及斜支点变形描述

荷载等效及斜支点的变形见图4，由图4(a)可知，竖向均布偏载q可以等效成过截面形心的竖向均布荷载qe和绕截面扭转中心的均布扭矩荷载q·e。δiq(i=1,2)为由q引起的第i个多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由等效荷载qe产生的位移ζiq和q·e产生的位移θiq·ei组成。由图4 (b)可知，多余未知力ri可以等效成过截面形心的竖向集中荷载rie和绕截面扭转中心的集中扭矩荷载ri·ei。δii是由单位多余未知力ri=1引起的第i个多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由单位等效荷载rie=1产生的位移ζii和单位多余未知力等效扭矩1·ei产生的位移θii·ei组成。q、qe、ri和rie以y轴正向为正；q·e和ri·ei以力矢指向z轴正向为正；ei为斜支点到该点所在横截面扭转中心的距离，以使等效后的扭矩荷载力矢指向z轴正向时为正；ζiq和ζii以y轴正向为正；θiq和θii以横截面绕扭转中心逆时针转动为正。

图4 荷载等效及斜支点变形

2.2 力法方程及其解

在原结构中，斜支点位置的竖向位移受到支座约束，所以其竖向位移为0。根据变形协调条件，原结构和基本体系在斜支点的竖向位移相等，可建立的力法方程为

(14)

求解式(14)的方程组可得到其解为

r1=

(15)

r2=

(16)

ζ可以通过图乘法计算，也可按材料力学中的公式求得，即

(17)

(18)

(19)

当不考虑横截面的翘曲变形时，θ可按材料力学的方法计算，即

θ11=-θ22=e1d2d1/(GJdl)

(20)

(21)

θ1q=θ2q=qed1d2/(2GJd)

(22)

当考虑横截面的翘曲变形时，θ可按式( 6 )、式(10)计算，即

(23)

(24)

(25)

3 斜支承两跨连续箱梁算例分析

本文以跨径为(40+40) m、中墩斜置的两跨连续箱梁为例，计算简图见图5。材料选C40混凝土，弹性模量E=34.5 GPa，剪切变形模量G=14.45 GPa，泊松比ν=0.2。箱梁所承受的荷载见图5(a)，可分为两种工况，工况一为作用于箱梁纵向对称面与顶板交线的竖向对称均布荷载P=100 kN/m，工况二为作用于箱梁顶板与左腹板(相对与横截面正面)交线的竖向偏心均布荷载P=100 kN/m。箱梁的横截面尺寸及正应力计算点分布见图5(b)。

图5 斜支承箱梁算例简图(单位：m)

为验证本文方法的可靠性，用Ansys19.1中的Shell63单元建立了斜交角φ为30°的斜支承两跨连续箱梁桥模型。全桥共划分为39 688个单元和39 762个节点；斜支承两跨连续箱梁的约束布置见表1，约束分别施加于节点上。在腹板与顶板的交线上建立表面效应单元Surf156，用于施加均布线荷载。Shell63单元建立的箱梁模型无法直接提取横截面的内力，Ansys中提供了两种计算横截面的内力方法，分别为路径积分法和节点力求和法，本文采用后者来计算在两种工况作用下箱梁各个截面的弯矩和扭矩。

表1 斜支承两跨连续箱梁的约束布置

将用本文方法计算的弯矩和扭矩与Ansys计算值作比较。因篇幅所限，本文仅展示了斜交角为30°时，竖向均布偏载作用下的结果。竖向均布荷载作用下的弯矩值比较见表2。由表2可知，竖向均布荷载作用下，按约束扭转计算得到的弯矩与Ansys计算值相吻合。因本文未考虑剪力滞效应和畸变的影响，且节点力求和法对应力结果作二次处理时存在一定误差，所以两种理论计算的扭矩值与Ansys值的偏差较大。竖向均布偏载作用下的内力见图6，但从图6(b)的扭矩分布曲线可以看出其变化规律完全一致，从而验证了本文方法是可行的。计算结果还表明，竖向均布荷载作用下，按自由扭转和约束扭转计算的弯矩、扭矩的分布曲线几乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

表2 竖向均布荷载作用下的弯矩值比较

图6 竖向偏心均布荷载作用下的内力

斜交角等于30°时，竖向均布偏载作用下，按自由扭转和约束扭转计算的斜支承两跨连续箱梁的变形见图7，由图7可知，两种方法计算的挠度、扭转角的分布曲线几乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

图7 竖向偏心荷载作用下的变形分布

两种荷载工况作用下，按约束扭转理论计算的双力矩分布见图8。由图8可知，双力矩沿梁轴的分布具有明显的局部特征，仅在斜支点截面及附近2倍梁高范围的截面上出现较大值。在竖向对称均布荷载作用下，双力矩绝对值随斜交角的增大而增大，沿梁轴的分布具有反对称性。在竖向偏心均布荷载作用下，随着斜交角的增大，Ⅱ-Ⅱ截面的双力矩绝对值呈现出先减小再增大的趋势，Ⅲ-Ⅲ截面的双力矩绝对值呈现出先增大后减小的变化趋势，沿梁轴的分布不具有对称性。

图8 竖向均布荷载作用下的双力矩

为论证上述结论对不等跨斜支承两跨连续箱梁也成立，本文对跨径(30+50) m的不等跨连续箱梁在竖向均布荷载作用下的力学性能进行了研究，箱梁的截面尺寸及材料的性质见3节。斜交角为30°时，分别按约束扭转与自由扭转计算得到的弯矩、双力矩随斜交角度的变化规律见图9。通过对不等跨连续箱梁的计算可看出，对等跨斜支承连续箱梁所得出的结论可以推广到不等跨箱梁。

图9 竖向均布偏载作用下不等跨连续箱梁的弯矩、双力矩

按自由扭转理论计算斜支承连续箱梁横截面的正应力时，没有考虑横截面翘曲变形的影响。为计入双力矩对横截面正应力的贡献，本文引入正应力修正系数λ，λ表示按约束扭转理论计算出的某个横截面上指定计算点的正应力值与按自由扭转理论计算出的该点的正应力值之比。

当斜交角为30°时，两种荷载工况作用下各计算点的正应力修正系数沿梁轴的变化曲线见图10。

图10 正应力修正系数沿梁轴的变化规律

由图10可知，正应力修正系数在斜支点截面出会现极值，但其影响范围很小；在反弯点附近截面的修正系数也会出现极值，弯矩为零的截面甚至会出现无穷间断点，但此时的弯矩很小不作为设计的控制截面。所以在计算斜支承两跨连续箱梁横截面正应力时，可先按自由扭转计算，再乘以相应的修正系数。由图10(a)可知，在竖向对称均布荷载作用下，斜支点截面及附近2倍梁高范围内截面的正应力修正系数可取1.22，其它梁段内截面的正应力修正系数取1.02；由图10(b)可知，在竖向偏心均布荷载作用下，斜支点截面及附近2倍梁高范围内截面的正应力修正系数可取1.31，其它梁段内截面的正应力修正系数取1.10。

为了研究斜交角变化对正应力修正系数的影响，将两种荷载工况作用下，控制截面上各计算点的正应力修正系数随斜交角的变化见表3～表8。

表3 竖向对称均布荷载作用下箱梁截面 a点的修正系数λ值

表4 竖向对称均布荷载作用下箱梁截面 b点的修正系数λ值

表5 竖向对称均布荷载作用下箱梁截面 c点的修正系数λ值

由表3～表5可知，在竖向对称均布荷载作用下，斜交角的变化对Ⅱ-Ⅱ截面上a点，Ⅲ-Ⅲ截面上b、c两点的正应力修正系数影响较大，对其它截面上各计算点的正应力修正系数影响很小。对同一斜交角，a点的正应力修正系数在Ⅱ-Ⅱ截面达到最大值，b、c两点正应力修正系数均在Ⅲ-Ⅲ截面达到最大值。

表6 竖向均布偏载作用下箱梁截面 a点的修正系数λ值

表7 竖向均布偏载作用下箱梁截面 b点的修正系数λ值

表8 竖向均布偏载作用下箱梁截面 c点的修正系数λ值

由表6～表8可知，在竖向偏心均布荷载作用下，斜交角的变化对跨中截面和斜支点截面上各计算点的正应力修正系数影响较大，对其它截面上各计算点的正应力修正系数影响很小。对同一斜交角，b、c两点正应力修正系数均在偏载作用一侧斜支点截面达到最大值。随着斜交角的增大Ⅱ-Ⅱ截面的双力矩从负值变为正值，所以Ⅱ-Ⅱ截面内各计算点的正应力修正系数会出现小于1和大于1两种情况。

4 结论

本文利用力法原理建立了斜支承两跨连续箱梁的力法方程，分别按自由扭转理论和约束扭转理论计算了一斜支承两跨连续箱梁的内力、变形和横截面正应力，并用Ansys软件对所计算的内力进行了校核，通过本文的研究，得出如下结论：

(1) 对比用本文方法和Ansys软件计算的斜支承两跨连续箱梁的弯矩和扭矩分布图，可以发现二者计算的结果相吻合，验证了用本文方法的可靠性。

(2) 分析斜支承两跨连续箱梁时，按自由扭转理论计算的弯矩、扭矩、挠度和扭转角与按约束扭转理论计算的结果相差甚小，因此在工程计算时可直接按自由扭转理论计算弯矩、扭矩、挠度和扭转角，避免按约束扭转计算时的复杂性。

(3) 斜支承两跨连续箱梁的双力矩沿梁轴线的分布具有明显的局部特征，仅在斜支点截面出现较大峰值后便快速衰减。因此，双力矩对箱梁截面正应力的影响也具有局部特征，本文中双力矩较大的截面主要集中在斜支点及附近2倍梁高范围的梁段。

(4) 竖向均布荷载作用下，计算斜支承两跨连续箱梁横截面正应力时，可先按自由扭转计算，再乘以相应的修正系数。