叠加法在绘制弯矩图中的应用

◇四川建筑职业技术学院土木工程系 王妍

土木工程专业设置的力学课程都是专业基础课，该课程在整个课程体系中处于承上启下的作用。本课程中讲解的弯曲变形是四种基本变形之一也是工程中最常见的一种变形。平面弯曲的内力是弯矩和剪力，内力对杆件的材料选择起决定性的作用，因而绘制出正确的弯矩图和剪力图尤为重要。常见的绘制弯矩图的方法有方程法、规律法和叠加法，其中利用叠加法是一种实用、快捷的方法，在力学计算中被广泛采用。本文主要讨论利用叠加法如何绘制杆系结构的弯矩图，概述了叠加法绘制内力图的适用条件及其原理、叠加法绘制弯矩图的做题步骤及做题过程中需要注意的事项，并解释了如何求解弯矩图中的极值问题。

土木工程专业设置的力学课程都是专业基础课，这类课程既与工程实践有紧密的联系，又为后续专业课学习奠定良好的基础，具有不可替代的作用。力学课程中一个重要内容就是求解结构的内力图。对于杆式构件来说，受弯构件较多，其中弯矩是重要的内力，弯矩图能直观地反应内力的变化规律，对构件的材料选择起决定性的作用，因而弯矩图的正确绘制也显得尤为重要。一般教材中介绍绘制静定梁内力图的方法有内力方程法,规律法,叠加法等[1]。有些材料力学教材中叠加法的讲述并不系统，但是到了结构力学的学习中会直接使用叠加法绘制弯矩图。这样就会使学生产生很多疑惑，甚至觉得这种方法使用麻烦。现结合自己对材料力学课程的理解，将叠加法绘制弯矩图的适用条件及其原理、做题步骤以及做题过程中需要注意的事项进行详细的讲解，使学生全面了解和掌握叠加法绘制弯矩图,可大大提高作弯矩图的速度和正确性，同时培养学生学习力学的兴趣和提高教学效果。

1 叠加法适用条件

在小变形、材料服从胡克定律的情况下，多个荷载作用在结构上所产生的效应（变形、内力、支座反力）等于每个荷载单独作用时产生的效应的叠加，这就是叠加原理[1]。同时叠加原理要求变形固体是均匀的、连续的、各向同性的前提下才成立的。叠加法绘制弯矩图就是基于叠加原理。即认为多个荷载作用在结构上时，结构的弯矩图等于该结构在单个荷载作用下弯矩图的叠加。此处的叠加并不是将单个荷载作用下的弯矩图进行拼凑起来，而是将对应截面上的弯矩值进行代数求和。对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的、定向联结的、还是铰联结的，弯矩叠加法均适用。

2 叠加法绘制弯矩图具体步骤

叠加法绘制弯矩图根据结构的受力情况可以分成两种情况[2]：①整体叠加；②区段叠加。

2.1 整体叠加

例如绘制简支梁AB在满跨均布荷载和力偶作用下的弯矩图。根据叠加原理可以理解为原结构分为在力偶和均布荷载分别作用下的叠加，如下图所示。

图1 荷载分解过程图

因此，（a）图的弯矩图等于（b）图与（c）图弯矩图的叠加，也就是只需绘制出单跨静定梁AB在每个荷载单独作用下的弯矩图，然后再将对应截面上的弯矩值进行代数求和后，得到（a）图的弯矩图。将（b）图弯矩图记为，（c）图弯矩图记为。图与图如下图所示。

图2 单一荷载作用下简支梁弯矩图

图3 整体叠加弯矩图

通过这个例题可以看出，对于结构上的荷载比较简单时，我们利用叠加法绘制弯矩图时，可以先绘制出其中一种荷载单独作用下的弯矩图，然后在此弯矩图的基础上叠加另外一种荷载的弯矩图。这时需要注意的是叠加过程是将每个单一荷载作用时弯矩图中相应的纵坐标进行代数求和。即两个弯矩图的叠加并不是两个图形的简单拼和，而是指将两图中对应的纵坐标相叠加，同侧的纵坐标相加，异侧的纵坐标相减。当纵坐标正负号不同时，叠加后图形重叠部分表示两个纵坐标值互相抵消，不重叠部分即为所求的弯矩图。为了方便描述，将结构上的荷载分为两类，一类称为“优先荷载”：绘制出的弯矩图某区段是直线图形的荷载，这是因为宜先作直线形的弯矩图，再以直线边为基线叠加曲线形或折线形的弯矩图；另一类称为“叠加荷载”：某区段的均布荷载或者集中力。因此，利用叠加法绘制弯矩图的作图步骤为：

（1）荷载分类，判断“优先荷载”和“叠加荷载”。

（2）作“优先荷载”单独作用下的弯矩图。

（3）叠加：若“叠加荷载”为均布荷载，则均布荷载作用区段的中间处沿均布荷载方向叠加确定出第三点；若“叠加荷载”为集中力荷载，则在集中力作用处沿集中力方向叠加确定出第三点。

（4）根据绘图规律将控制截面上的弯矩值用相应的线连起来，即为最终的弯矩图。

2.2 区段叠加

区段叠加也可称为分段叠加，即在结构中某个区段内可以利用叠加法绘制弯矩图，此种方法也是利用叠加原理分析结构受力的一种便捷方法，能够将复杂的问题分解为若干简单问题，降低计算分析工作量。区段叠加法适用于任意直梁段，该梁段的杆端弯矩可求、梁上荷载已知。比如下面的求简支梁在下列荷载作用的弯矩图。

该梁段AD段和DB都可以利用区段叠加绘制弯矩图，取DB段为例来介绍弯矩图的绘制。设D截面弯矩为，B截面弯矩为。先求出该结构的支座反力：。利用截面法将DB段从整个结构中取出后进行受力分析，假设B、D截面上所有内力均为正方向，受力分析如下图所示。

通过观察可以看出，图5的受力分析与图6（b）的受力分析一样，即表示图6（b）的内力图与图5的内力图完全一致。图6的内力图即可利用前面介绍的整体叠加法绘制出来。根据整体叠加法绘图步骤可知，要想绘制出DB段弯矩图，需要利用前面求出的，再按照前面的步骤完成叠加过程即可。

图5 DB区段受力分析

图6 与DB区段对应的简支梁

因此区段叠加绘制弯矩图的作图过程可以归纳为以下几个步骤：

（1）确定区段叠加段。区分结构中哪一区段可以利用叠加法绘制弯矩图，结构中某区段内有均布荷载作用或某区段内有一集中力作用，例如图4中A右到D截面区段、DB区段可以利用区段叠加法。

图4 在多个荷载作用的简支梁

（2）求控制截面弯矩[3]。结构中荷载作用处及荷载发生变化处为控制截面，此时需要求的控制截面弯矩不包括各均布荷载段跨中及集中力作用截面处的弯矩值。

（3）分段画弯矩图。当控制截面间无荷载时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图。当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值作出直线弯矩图形后，还应叠加这一段按简支梁求得的弯矩图。

2.3 叠加法绘制弯矩注意事项

（1）满足胡克定律、小变形条件。

（2）先绘制直线图形再叠加简支梁求得弯矩图；先绘制出的弯矩图的直线作为辅助线，应用虚线表示。

（3）叠加的方向应与“叠加荷载”作用的方向一致。

3 关于弯矩图中的极值问题

叠加法绘制弯矩图也是需要借助规律法来完成最终的弯矩图。但是当梁在复杂受力状况下，利用叠加法绘制弯矩图可以使绘制弯矩图变得求解便易，节约计算工作量，提高作图效率。求解出弯矩图后，剪力图和轴力图的问题也就随之解决了[4]。但叠加法做弯矩图也有不足的地方，不能直接计算出弯矩极值(在极值存在情况下)。由于未能判断出此段弯矩是否存在极值，在连接两端点及中点绘出的弯矩图时，具有很大的随意性、盲目性情况存在，导致弯矩图出现不够准确[6]。如果确实需要求出极值的话，可以利用弯矩图先求出剪力图，然后再借助剪力图，确定弯矩图是否存在极值。若存在极值，可以根据剪力图确定出极值所在的截面，然后再利用截面法求得该截面上的弯矩值，即为该曲线的极值。

4 结束语

叠加法是力学学习中的重要方法，利用其基本理念和分析方法来解决问题，可以将复杂问题简单化，同时还能培养我们深入分析问题继而用更合适的方法来解决问题的能力，这种方法不仅仅用在绘制弯矩图中，而且在求支座反力、变形、应力和应变等问题中都可以利用叠加法[5]，甚至在我们的工作中也可以利用叠加的原理思考问题。若要灵活运用叠加法作结构弯矩图就要熟练掌握有关力学概念和适当的定性分析方法，多做多练，达到融会贯通。