聚焦问题解决过程 指向数学能力发展

2022-01-25 06:00曹冠军
教学月刊·小学数学 2022年2期
关键词:能力发展问题解决

曹冠军

【摘   要】聚焦问题解决过程,引导学生采用“四自评价”的学习方式,明白所要解决的问题,找到解决问题的策略,反思解决问题的结果,总结解决问题的经验,提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力,让学生真正成为学习的主人,学会学习。

【关键词】问题解决;四自评价;能力发展

在数学教学中教师要引导学生学会自问,学会自我评价,组织学生经历自理、自探、自省、自悟的“四自评价”学习过程,逐渐提升学生的数学素养。

一、“理”题意

能否正确理解题意是问题解决的关键,教师应引导学生自问:我知道了什么?通过自我评价学会简化、提炼题目信息,对关键信息展开联想,实现信息的延伸。

(一)我会简化

【案例1】分段收费

某市出租车计费方法如下:3km以内10元;超过3km的部分,1km1.5元(不足1km的按1km计算)。妈妈打出租车行驶的里程是8km,需要付多少钱?

层次一:我会用列表法和图示法简化题目信息(如图1)。

层次二:基价费+超量计价费=总金额,分段收费和“部分+部分=总数”的结构相似(如图2)。

层次三:生活中的电费、水费、停车费也会用到这样的数学結构。

学生用直观的数学语言来理解和表述题意,还原知识的本意,概括出数学知识的结构,实现实际问题与数学问题模型的转化。

(二)我能联想

【案例2】圆柱与圆锥的练习

一个圆柱的体积和底面积分别于一个圆锥的体积和底面积相等,圆柱的高是9cm,圆锥的高是(    )。

层次一:等底等高的圆柱和圆锥体积比是3∶1,圆锥的底面积不变,体积要扩大3倍,只能高扩大3倍(如图3)。

层次二:我能用列表法(如图4)解题,圆柱和圆锥的体积和底面积都相等,所以我用等号把它们连接起来,假设圆柱的底面积是1cm2,通过它们的关系可以求出其他未知的量。

通过梳理,将文字转化成图形和表格等形式,学生就能很快厘清图形间的数量关系,很好地将关注点由“如何通过计算去求得未知数”转向“相关信息之间的关系分析”。这样通过信息间的联想,培养学生计算前“想图形”的意识,发展空间观念。

二、“探”策略

学生理解题意后,教师应引导学生自问:我会怎么解答?通过自我评价把题目中的关系用线段图等可视化工具表征出来,把内隐的关系外显化,厘清数量关系。

(一)我会用图示表征

【案例3】小数加减法

有一筐苹果,连筐重76千克,卖出一半后,连筐重38.8千克,原来苹果和筐各重多少千克?

层次一:我知道76÷2表示什么。把一筐苹果“劈”成两半,76÷2表示半筐苹果和半个筐的重量之和(如图5)。

层次二:我会用图示表征找到其中的数量关系(如图6),我发现卖出的苹果是原来苹果的一半,剩下的苹果也是原来的一半,卖出的苹果的数量等于剩下的苹果的数量。

层次三:我能借助图式的有序变化发现新的数量关系,比较两个数量关系,通过相互抵消求出另一个量(如图7)。

层次四:我会创编题目(如图8),倒出前后的质量差就是倒出的几份,可以求出倒出的一份是多少。

学生通过自探,分析产生错误的原因,强化对单位“1”的理解。借助直观图式,厘清数量关系,从具体形象思维慢慢向抽象逻辑思维发展。

(二)我能多元表征

【案例4】分数乘法的意义

3/4×1/3表示什么意思?

各层次表述如表1所示。

矩形图、线段图是常见的数量关系多元化的表征方法,教师需要引导学生围绕相关概念的本质,对不同的表征进行合理、科学的分类和归纳,实现深度学习。

三、省“结果”

学生解决问题后,教师应引导学生自问:我解答得正确吗?通过自我评价不断强化学生自我检验和反思的能力,从而积累大量的学习经验,逐渐形成严谨的学习态度。

(一)我会一题多解

【案例5】组合图形的面积

老师计划在客厅(如图9)铺地板。请帮老师计算需要多少平方米的地板。

层次一:我知道求组合图形面积的一般方法——割和补。我能找到转化后图形的条件,并利用面积公式求出其面积(如图10)。

层次二:我还能利用倍积变形方法来求组合图形的面积(如图11)。

层次三:我能利用分割后两个图形的宽相等,把两个图形转化成一个大长方形(如图12)。

学生通过自省,不仅能够检验答案的合理性,也可以发现解题策略的多样性。学生不仅掌握了求组合图形面积一般的方法,还想到了倍积变形,充分利用条件,进行转化。最后完成对思路的整合:不规则图形转化为规则图形。

(二)我能解释答案

【案例6】用字母表示数

三个连续的自然数,最小的是N,最大的是(    ),这三个数的和是(    ),它们的平均数是(    )。

第三个填空学生利用平均数=总数÷个数,列出了算式(3N+3)÷3,教师引导学生自问:还能继续化简(3N+3)÷3吗?

层次一:我能够利用图示法,移多补少,求平均数(如图13)。

层次二:我把3N和3看作两部分:字母和数字,结合图式,先把3N平均分成3份是N,再把3平均分成3份是1(如图14)。

层次三:结合图式,3N+3相当于3个N+1,相当于利用乘法分配律提取公因数3(如图15)。

学生能够借助求平均数最原始的方法——移多补少,直观形象地展示出结果,借助图示表征,把抽象的数学知识、运算定律和直观的图形结合起来,实现多角度分析数学知识,从不同层次进行数学理解,验证结果的合理性。

四、“悟”思想

学生解决问题后,教师应引导学生自问:我解决了什么问题?帮助学生认识到知识背后的数学实质,感悟知识所蕴含的数学思想和方法,让知识变薄,让思维变厚。

(一)我会举三反一

【案例7】列方程解决问题(如图16)

层次一:我可以将①②题转化成类似④⑤题中的矩形图和线段图来进行表征。

层次二:我把①②④⑤归为一类,可以用ax+bx=c的模型表示,x表示a和b两者之间相同的量。

层次三:我认为它们的数量关系都是“部分+部分=總量”,可以用ax+by=c的模型表示,只是有些x和y相等,有些x和y不相等。

学生通过自悟,加强知识和方法间的联系,将知识和方法进行分类,实现知识和方法整体性的建构,完成了从特殊到一般模型ax+by=c的归一,很好地揭示了知识的本质,有效地锻炼了学生整体把握知识和方法的能力。

(二)我能举一反三

【案例8】组合

甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛,每两人之间只比一场,一共要进行多少场比赛?

层次一:我能用连线、枚举、搭配等方法(如图17)计算出3+2+1=6(场),发现总场次数等于每人比的场次数依次连加(如表2)。

层次二:如果有32人进行比赛,计算过于麻烦。用表格法记录比赛场次(如表3),我发现其中有一半是重复的,所以4×3÷2=6(场),我可以归纳出简洁的方法:总场次=人数×场次÷2(如表4),4个量中只要知道其中1个量就能推导出其他3个量。

层次三:这个规律与打电话问题、握手问题以及“图形与几何”中有几个顶点可以连几条线的现象是一样的(如图18)。

层次四:数线段、数角、等差数列等问题也可以用这种方法解决(如图19)。

链接1:数线段问题  链接2:排列问题  链接3:等差数列

借助“同构关系”的算式,让隐性的计算方法显性化。借助直观的列表法,通过观察、分析,归纳出简洁的方法:总场次=人数×场次÷2,并发现4个量之间的关系,深化对规律的理解。激活链接,体会知识方法、策略中的不变,实现旧认知到新认知的自然贯通,帮助学生及时总结学习经验。

总之,在问题解决的过程中,教师要培养学生自主学习的能力,引导学生学会自问,学会自我评价自己的思维过程和结果,及时地进行反思和总结,不断地提高数学素养。学生学会自问、学会自我评价是一个循序渐进的过程,只要教师在教学中足够重视,并不断地总结经验,完善策略,学生自主学习的能力一定会得到长足的发展。

(浙江省杭州市萧山区临江新城实验小学   311200)

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