山色水声裹游行

段志贵 邹翔如 陈喆

【摘   要】小学阶段是学生数学思维发展的重要阶段。以一道龟兔赛跑题为例，通过对题目由表象到本质的层层剥离，启发和引领小学生逐步深化对数学问题解决的认识和理解，发展解题思维，努力实现解题境界由低级到高级的四重体验。

【关键词】问题解决; 数学思维;小学数学

小学阶段是提高学生数学学习兴趣、激发学生学习内驱力、发展学生数学思维的一个极其重要的阶段。根据皮亚杰认知发展阶段理论，小学生的认知正处于从前运算阶段到形式运算阶段的过渡阶段，思维正处于从形象思维走向抽象思维的过渡时期。解决问题是发展数学思维的重要途径。通过问题解决发展小学生的数学思维，教师既要着力引导学生从具象逐步走向抽象，也要注意为学生提供具体实物的支撑。以一道思维含量较高的龟兔赛跑题为例，分析小学生解题思维由低级到高级的四重体验。

一、逢山遇水：浅读题目，探寻问题

题目：龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟速度的5倍。它们同时从起点出发，乌龟不停地奔跑，兔子跑到某一地点开始睡觉。兔子醒来时，乌龟已经领先兔子5000米。兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。试求兔子睡觉期间乌龟跑了多少米？1

这是一个表述很复杂的问题，刚接触题目时，小学生受自身思维发展阶段的局限，面对冗长的题目，常常不知道如何合理运用条件，寻找突破口。这正是学生解题经历的第一阶段，在这一阶段中，他们往往止步于对题意的表象理解，很难真正读懂题目。也就是他们常常表现出能读懂“故事”，却读不懂故事中蕴含的数量关系。虽然题目中的数据都已明确出现，但此时他们却不知道所给出数据的意义何在，以及该如何运用。

这是学生解题过程中的第一境界——入一座山，见一方水，尚处于解题的迷茫阶段。

二、观山看水：图形表征，分析问题

随着对问题理解的深入，小学生可能会把思维的触角延伸到问题条件的转换上。有的学生可能会尝试着通过观察具象的路程示意图去理解和转换问题。这依旧是一种具象思维的水平，此时学生对于数学题中的数量关系，并不能很好地运用抽象思维去思考。这时教师要引导学生重新分析题意，先用具体的数体现龟兔速度之间的关系，即如果乌龟的速度为1，那么兔子的速度就是5，然后借助具象的圖式来辅助解决问题，以此来弥补他们思维发展的局限性。

借助线段图（如图1）将“故事”再讲一遍，龟兔进行10000米赛跑，即AF=10000米，乌龟的速度是1，兔子的速度是5。它们从A点一起出发，兔子跑到C点时乌龟到达B点，兔子醒来时依然在C点，这时乌龟已到达D点，即CD=5000米，乌龟到达终点F时兔子到达E点，即EF=100米，求兔子睡觉期间乌龟跑了多少米，也就是求BD之间的距离是多少。

这是学生解题经历的第二个阶段。在这一阶段中，学生能够借助图式等辅助手段，将问题初步“数学化”，逐步厘清题目中的条件、问题以及相应的数量关系。这时学生已经能够“见山是山，见水是水”了。

三、跋山涉水：立足发现，解决问题

厘清问题后，学生开始尝试进入问题解决的阶段。

根据对图1的分析，兔子从C点开始以速度5追赶乌龟，此时乌龟在D点以速度1向终点F行进，当乌龟到达终点F时，兔子到达E点，距离终点F还有100米。在兔子追赶乌龟的过程中，乌龟走了路程DF（即DE+EF），兔子走了路程CE（即CD+DE）。

同一时间是解题的一个抓手。据此，可首先求出在后面这一相同时间里兔子比乌龟多走的路程。此时兔子比乌龟多走了CE-DF=CD+DE-（DE+EF）=5000-100=4900（米）。

（1）兔子睡觉前（龟兔同时出发直至兔子睡觉）这段时间里乌龟行进的路程为：ΑΒ=755×1=755（米）。

（2）兔子睡醒后（兔子追赶乌龟直至乌龟到达终点）这段时间里乌龟行进的路程为：DF=1225×1=1225（米）。

所以，兔子睡觉时乌龟行进的路程为：BD=AF-AB-DF=10000-755-1225=8020（米）。

把上述思维梳理一下，实质上就是后面兔子在追赶乌龟的过程中多走了CE-DF=（CD+DE）-（DE+EF）=CD-EF=5000-100=4900（米）。

这时兔子比乌龟多走了BC=3775÷5×5-1=3020（米），所以在兔子睡觉期间，乌龟走了BD=BC+CD=3020+5000=8020（米）。

在这一解法中，借助于直观的线段图，学生破译了题目给出的复杂的数量关系，题目所给的条件都被充分利用，学生感受到题目中的每一个条件都是必须的且重要的。这一解题思维不仅具有形象性，也暗藏着一定的抽象性与逻辑性，显然突破了前两个阶段的层级，给了学生“见山不是山，见水不是水”的解题新体验，即学会变换已知条件，认准解题方向，逐步接近解题目标。

四、显山露水：拓展理解，透视问题

有了前面三重体验，接下来学生迫切想进入第四重体验，这就是深入理解题意，分析各类条件量与量之间的关系，试图从不同角度去理解问题，抓住问题本质，从而捕捉着力点，寻找突破口。

首先，我们看到乌龟跑的路程可分为两个部分，一是兔子跑时乌龟跑的路程，二是兔子睡觉时乌龟跑的路程。在第一部分中，龟兔都跑，按照它们速度的5倍关系，兔子跑9900米，乌龟应跑9900÷5=1980（米）;第二部分为待求路程，即兔子睡觉时乌龟所走的路程。这两部分之和实际上是乌龟跑完的总路程——10000米，所以10000米与1980米的差8020米就是兔子睡觉时乌龟跑的路程了。

我们也可以这样想：如果兔子先不睡觉，一直跑到距离终点还有100米时再睡觉，那么兔子就是跑了10000-100=9900（米）。兔子跑9900米的同时，乌龟跑了9900÷5=1980（米）。当兔子醒来时，乌龟已经跑完了10000米，所以乌龟在兔子睡觉时行进了10000-1980=8020（米）。2

这里将兔子睡觉的过程直接移到最后，避免了因为多了兔子睡觉这一环节使得整个行进过程被分得四分五裂而造成小学生思维混乱的情况。这样一来题目被简化，不用考虑得很复杂，减少了错误产生的可能性并进一步揭露了问题的本质。

同样的思维模式，我们从另一个角度来思考：依然假设兔子不睡觉，那么在乌龟完成了10000米行程的同时，兔子应该走了10000×5=50000（米）。但实际上兔子只走了10000-100=9900（米），所以兔子因为睡觉少走了50000-9900=40100（米）。因此当兔子睡觉时停止行进，乌龟却在继续向前，又因为龟速是兔速的15，所以乌龟在兔子睡觉时行走了40100÷5=8020（米）。

这正是题目待求的里程。以上两种解法均属于同一种解题思路，均将多余条件“兔子醒来时，乌龟已经领先兔子5000米” 抛弃，解法更加简洁、巧妙。两步运算，题目迎刃而解！

此外，我们还可以这样理解题意。由题可知，兔子醒来后跑了CE，在此期间，乌龟跑的路程是DF，且兔子的速度是乌龟的5倍，那么我们就可以得到一个关系式CE=5DF，于是可以分成CD+DE=5DE+5EF。

不妨设DE=x，则关系式又可以写成5000+x=5x+500，DE=1125（米），那么AC=AF-CD-DE-EF=10000-5000-1125-100=3775（米）。此時，乌龟在兔子走到C点时，已经走的路程为：AB=AC÷5=3775÷5=755（米），则乌龟在兔子睡觉时一共走了BD=BC+CD=3775-755+5000=8020（米）。

这种解法的核心采用了解方程的方法。用方程来表示我们在题目中挖掘出来的关系式，利用已知条件，代入方程就很容易求出所需要的DE的距离，那么待求的路程也就迎刃而解了。

最后，我们还可以对题目进行改编：龟兔赛跑，同时同地出发，全程10000米，龟速30米/分，兔速330米/分，跑了10分钟，兔子停下来睡觉4小时，醒来时发现乌龟已经超过，于是立即追赶，问能否在乌龟到达终点前追上？如果能追上，问此时离终点还有多远？

在这一改编中，乌龟跑了30×250=7500（米），和兔子的距离为7500-330×10=4200（米）。兔子追赶的时间为4200÷330-30=14（分钟），离终点10000-7500-30×14=2080（米）。

上述几种巧妙解法以及对问题的深化理解，借助于题目的语言描述，围绕数量关系展开思考，能够透过题目所给条件，分析问题本质，抓住解题关键，从直观具体过渡到联想抽象，显然这已是解题的最高境界——“见山还是山，见水还是水”，即透过给定条件，分析和梳理内在关系，寻找解题制高点。

数学问题的解决，理解题意是前提，抓住问题的本质是关键，发展学生从直观具体到联想抽象的数学思维，是解题教学的终极目标。本题的教学基于小学生的认知规律及潜能外化规则，逐步跃进思维层次，使得问题的解决持续走向深入。在从低到高的每一次解题思维跃进中，可以深刻地感受到数学解题四重体验的不断递进，学生的解题水平不断提升，学习兴趣不断增强，创造性思维能力不断发展。

参考文献：

1谢玉华.一道竞赛题的第四种解法J.小学教学研究，1999（3）：27.

2李会生，刘雪艳.只在深水中航行：把枝节问题撂一边J.小学教学参考，2007（7/8）：74.

（1.盐城师范学院数学与统计学院   224002 2.青海师范大学数学与统计学院   810008）