2+2=22？

陈永明 邵芳芳

最近网传国外一个数学教师因坚持2+2=4而丢了工作的故事。故事说，丹尼上交的数学试卷出现了“2+2=22”的结果，女教师威尔斯耐心地给他讲解，指出正确答案是“2+2=4”，但丹尼坚持认为“2+2=22”。后来孩子的父母竟然到校长那里投诉，说“把偏见硬塞进孩子的脑子里”。再后来，家长们开始在学校外集体游行示威，高喊着“让孩子做主！停止践踏孩子的自信心”的口号，要求老师给孩子道歉，学校对威尔斯作了辞退处理，校长支付给她经济补偿：前期的薪水2000元，这一期的薪水2000元，一共是4000元，“既然2+2=22，那么2000+2000应该等于22000元！”威尔斯老师反驳说，校长顿时哑口无言。

2000+2000应该等于几？究竟是22000，还是4000？这是非常有意思的故事，我们不去讨论其中包含的教育、政治制度等问题，只讨论其中的数学问题。

上面的问题涉及了计数方法，特别是位值的概念。在当今的计数系统中，数字写在不同的位置上表示不同的值是计数法的一个重要特征，人们对这一特征习以为常，不以为然，其实位值是一个很不容易理解的东西。

当今的计数系统有三个特征。

第一个特征是记数符号，也就是数字，现今世界通用的记数符号是阿拉伯数字。历史上曾出现过多种数的表示方法，如古埃及的象形文字、古巴比伦的楔形文字、古希腊的阿提卡数字、古罗马的罗马数字、古印度的婆罗门数字、玛雅文化的贝形符号数字等，当然还有中国的汉字数字。这些文字或者数字，有的由于使用不便，早已被淘汰;而阿拉伯数字通用范围广，使用方便，一直沿用至今。特别需要指出的是，阿拉伯数字是古代印度人发明的。阿拉伯人在古代世界扮演了运输大队长的角色，他们把印度数字带到了欧洲，欧洲人张冠李戴，以为这套数字是阿拉伯人发明的，把它叫作阿拉伯数字。

第二个特征是进位制，我们现在基本上都用十进制，据说，这是因为人有十个手指的缘故。在历史上，曾经出现过五进制、二十进制（法国人、印第安人、中南美土著人、西伯利亚土著人）等，或许他们在数数的时候，只用一只手，或者用十个脚趾一起帮忙。还有六十进制（巴比伦人），现今角度单位度、分、秒还是他们的“遗产”。也有十二进制（英国人、罗马人），如1打=12只，1英尺=12英寸……我国使用过十六进制，在重量计算时，1斤=16两。当然，众所周知，在计算机里用的是二进制。

十进制和人的十个手指有关，在数数的起步阶段使用手指帮忙是很自然的，因此它有其优点。但平心而论，它的缺点也不少，特别在“分”的时候。譬如，要把1件东西分给两个人，十进制、十二进制、六十进制都可以，但是要分给3个人、4个人、6个人，十二进制、六十进制就有它的优势了。六十进制还可以方便地分给5个人，因为60的约数有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，在分的时候特别方便，这就容易体会刻画角度的度分秒制为什么至今不变。至于十六进制，可以对分、对分、对分再对分，这就容易体会我国用十六进制作为斤两换算的依据。

前两个特征比较容易理解。第三个特征，也是最重要的特征是位值制，就是写在不同位置上的数字代表不同的数量。位值制的发明意义非常重大，它是古人摸索了几千年才找到的宝贵财富。古人在计数时，一开始，就是扳手指，或者用实物（譬如小石子）代数。譬如我们原先用1颗小石子代表数1，2颗小石子就代表数2，10颗小石子代表数10，11颗小石子代表数11，18颗小石子代表数18……这真叫“一是一，二是二”。这个阶段只有一个数字“1”，别的数字是把1重叠使用得到的。本文开始故事里的丹尼就是用这种重叠法，不过他是把两个“2”重叠起来。这個阶段的特点有两个：首先是“一是一”（这是基础数字），其次是使用“重叠法”表示大一点的数。

随着物质的丰富，打到的猎物多了，这种计数方法的缺点慢慢地显现出来。有个故事说，某小孩学数，先学了“一”，第二天学了“二”，第三天学了“三”，他说学数很容易，我都会了。既然“一、二、三”是用横条重叠，“四”肯定也是啦！就以为“四”就是四横，“五”就是五横。这个孩子的名字叫万百千，为了写“万”这个姓，一横、两横、三横……把这个孩子折磨得死去活来。

于是，计数法来了一次改进，进入“大数符号”的阶段。

用一种东西代表更大的数，譬如1根小树枝代表10，那么11就用1根小树枝和1颗小石子表示。这根小树枝就是一个大数符号。在这个“以一当十、百、千……”的阶段，除了1这个数字外，创造了新的符号代表较大的数，譬如罗马人用V（大拇指和食指分开呈现的“虎口”状）代表5，X（一正一反的两个虎口）代表10，L代表50，C代表100，M代表1000，把新符号和原先的符号1重叠使用。

现在有的钟表上的刻度还用罗马数字。一、二、三就记为Ⅰ（1根竖棒）、Ⅱ（2根竖棒）、Ⅲ（3根竖棒）。五记为V，六则是虎口Ⅵ（竖棒在右），七、八当然是Ⅶ和Ⅷ（竖棒在右）。我们注意到，几个符号之间还是用重叠的方法。

为什么没有提到四和九？按理九应该是虎口V的右边放4根竖棒，这样做的话，显得有点烦琐。罗马人创造了扣除法，就是把小的数放在大数的左面，表示从大数里扣除这个小数。4就是5-1，他们在V的左边放1根竖棒，即用Ⅳ来表示。同样的，在X左边放1根竖棒，表示10-1=9，这是扣除法。

这个阶段，增加了几个大数的符号，即“以一当十、百”等，再用“重叠法”“扣除法”，的确可以把所有的整数都表示出来。但后来人们发觉还是不方便，首先是太复杂，譬如2021应该怎样表示呢？其次是一会儿左减、一会儿右加，容易混淆。譬如19，记为XⅠX，应该是先把中间一个Ⅰ和最后一个符号X结合“Ⅸ（9=10-1）”，然后再和左边第一个符号X结合 “XⅠX（10+9=19）”。如果一不小心，可能会弄错。

另一拨原始人计数的办法有点别致，他们是这样做的：先在地上挖了个坑（标记为一号坑），在这个坑里放1颗小石子代表1，2颗小石子代表2……等10颗小石子满了，在地上再挖二号坑，在这个二号坑里放1颗小石子，同时把一号坑里的10颗小石子全部撤去，这就表示10了。再在一号坑里放1颗小石子，2颗小石子……满10以后，在二号坑里放入1颗小石子的同时撤去一号坑里的全部石子，这就是20……

同样是1颗小石子，放在一号坑里和放在二号坑里代表的数量是不一样的。这种计数法，就是位值制。前面故事里丹尼认为“2+2=22”，他不知道“22”里的两个“2”在不同的数位上所代表的意义不同。右面的代表2，左面的代表20！

位值制的产生是非常艰难的，罗马人曾经称霸世界，但是他们没有用位值制，和现今的位值制相比，罗马人的计数法是多么麻烦啊！

位值制，最早是由中国人发明的。追溯到商代（约公元前16、17世纪至公元前1045年左右），我国就已经在使用十进位值制计数法了。英国著名科学史家李·约瑟博士曾推断：在“印度数字”的背后，位值制早已在中国存在了两千年，这是中华民族的骄傲。

总结一下，现今的计数法，主流是以阿拉伯数字表示的十进位值制计数法。

本文的最后，顺便谈一下零的问题。零的发明和使用被称为人类伟大的发现之一，也是一个飞跃！

大多数学史家认为0是印度人发明的。古印度人大约在公元前3世纪，掌握了数字符号1到9，但此时还不知道“0”，直到约公元5世纪，也即1到9数字符号发明之后的一千多年后，“0”这个符号才出现。请注意，是一千多年后！

你看，古人知道数字已经几千年，已经会算圆周率，知道[2]，但是今天的几岁小毛孩都知道的0，那时的大学者就是不知道，岂不怪哉！

但据李·约瑟博士的考证，“0”产生于中印文化，是中国人首先使用的位值制促进了零的出现，印度是在中国算筹和位值制的影响下才创造出“0”的。我们老祖宗的数字是用算筹摆放出来的，在要用0表示的场合，用空位来代替（流传到现代的珠算，就是用空位表示0）。但数字中的空位，很容易引发错误，所以很自然地有人把铜钱摆在空位上。从本质上说，我们的祖先已经理解0的意义了。因此，即使说印度人首先使用了0这个符号，也应该是在中国算筹和位值制的影响下才创造出来的，李·约瑟博士的话是有道理的。

（1.上海市徐汇区教育学院   200235 2.上海市田林中学   200233）