精选题目提高复习效益——谈中考创新压轴题的分类把握

翟崇满（江苏省盐城市滨海县第一初级中学，江苏 滨海 224500）

一、初中期末数学题的发展状况

在初中阶段，数学考试题的设计方法在新课程概念的影响下变得更加灵活.具体而言，初中数学的具体发展趋势如下：使用坐标系提供数字和图形的组合，通过链接数字和点之间的坐标将数字与几何形状相连接，进而找到了一种解决该问题的有效方法.

二、新形势下中考数学压轴题的解题思路

（一）动中求静，图形运动问题

动态问题主要是点运动、线运动和整体图形运动，但是在表达的过程中要理解的最重要的事情是运动.回答运动问题的核心是：①要仔细地阅读问题，分析在给定条件下什么量不会移动，并考虑移动过程如何逐段移动（按类别讨论），运动与运动之间可能有什么关系.②分析图形，在运动过程中，研究静态时刻变量之间的关系，并建立所研究变量之间的功能关系.③在提出问题的过程中，无论问题是否根据情况产生其他结果，都必须注意分类讨论.

例题在直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，那么称点T是点A，B的融合点.

例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满是时，则点T（1，2）是点A，B的融合点.

（1）已知点A（-1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

（2）如图1，点D（3，0），点E（t，2t＋3）是直线l上的任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.

图1

①试确定x与y的关系式；

②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.

［分析］

（1）根据题中融合点的定义便可得到答案.

（2）①由题中融合点的定义可以得到y＝2x-1.

②所以根据定义可分为三种情况讨论：

当∠THD＝90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E的坐标.

当∠TDH＝90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E的坐标.

当∠HTD＝90°时，由题意知此种情况不存在.

经过分析可以求得最后结果.

①当∠THD＝90°时，如图2 所示.

图2

设T（m，2m-1），则点E为（m，2m＋3）.

由点T是点D，E的融合点，

②∠TDH＝90°时，如图3 所示.

图3

则点T为（3，5），由点T为点D，E得融合点，

可得点E2（6，15）.

③当∠HTD＝90°时，该情况不存在.

这道题中不仅出现了新的知识点，还运用了很多数学思想，比如：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想.

（二）数形结合问题

中学数学的知识内容大致可分为形状和数字两种.每个“形状”，即每个几何形状都具有一定的定量关系，可以将数量“制成”一个几何形状，进行直观的解释和考虑.许多中考数学压轴题是要充分利用重要的知识点.

例题在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，连接BD′，CE′，如图4.

图4

（1）求证：BD′＝CE′；

（2）如图5，当α＝60°时，设AB与D′E′交于点F，求BF FA的值.

图5

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，

∴AD＝BD＝AE＝EC.

三是对活动的计划进行拟定。活动时间拟定为2017年3月-2018年3月,活动内容主要有确定主题、拟定计划、把握现状、目标设定、分析原因、提出对策、对策实施、效果确认、检讨改进等。

由旋转的性质可知：∠DAD′＝∠EAE′＝α，AD′＝AD，AE′＝AE.

（2）解：连接DD′.

图6

（三）模型应用问题

这些类型的问题通常向学生展示整个过程，而不是研究“理解模型探索扩展”中的三级问题所设置的常见问题.提供最初熟悉的数学知识或数学模型后，我们将继续“通用方式”的扩展，转换和应用强调了其深刻的意义和普遍性.回答此类问题的秘诀在于：通过利用模型的特征来查找现有模型的结构及其在新情况下的含义，以充分利用问题中提供的数学模型来解决问题.

在中考数学压轴题中，涉及的模型大多是从学生比较熟悉的数学基本图形入手，对其进行相应的几何拓展、变式应用，学生在解题过程中最重要的就是要充分把握数学模型的基本内涵、外延，通过类比、一般性方法来完成解题.

三、数学思维

1.数形结合

数形结合是通过数字和形状的转换使代数问题更直观，并通过代数推理使几何问题更加精确.解决的问题通常如下：

（1）构建功能模型，结合其形象，研究数量与数量的关系；

（2）构建函数模型并结合模型的几何含义来研究函数的最大值、最小值问题；

（3）研究图形的形状、位置关系和性质.

解决这类问题需要根据感觉将数和式子通过几何的意义转化成所需要的图形，通过观察图形的变化得出正确结论，这便很好地将数学思想与题目相结合.

2.函数思想

函数思想是在解决数学问题时可以把在某个变化的过程中几个相互制约的变量用函数的关系表达出来（如一次函数、二次函数），并研究这些变量间的相互制约关系，最后解决问题.比如，函数与方程思想在几何中最能体现，在解决几何题目时，我们常常会应用它将已知条件用代数的方法表示.又如，在直线与圆的位置关系方面的例题就能很好地体现，在解决这类题目时，我们常常会将方程式联立求解.

3.分类讨论

分类讨论是一种重要的解决数学问题的思想方法，将一个比较复杂的数学问题分成若干个基础性或者是已经解决了的问题，通过解决基础问题和已经掌握的知识找到解决复杂的数学问题的过程.分类讨论思想就是将复杂问题简单化，降低数学问题的难度.初中数学的教学通过借助分类和讨论思想的方法，可以促进学生的数学思想更加完善，培养学生的逻辑思维，从而使学生可以更好地应对数学问题.

四、先练后教，分层引导

中考数学压轴题综合性比较强，考查的知识面比较广，涉及诸多数学思想，而学生在有限的时间内完成解题难度相对比较大.一些基础比较差的学生会由于自身的能力不强，对压轴题产生畏惧心理，出现直接放弃的情况，而基础相对比较好的学生却会由于自信心不强，出现半途而废的情况.在数学复习教学中，教师应该面对全体学生，针对不同层次的学生，采取多样化的引导方式，让学生能更加高效率地完成压轴题.

（一）独立思考

教师在给出学生问题后，要注意不能急于讲解，给学生留出独立思考的时间及空间.在中考压轴题中，第一个问题一般都属于基础性问题，问题难度相对比较小，学生经过独立思考是可以完成的，只是学生的基础、思维存在一定差异，在解决问题所费时间上有所差别.在此阶段，教师不能引导学生讨论，保证学生能独立解决基础性问题，提高学生的自信心.

（二）师生交流

在中考压轴题的后续问题中，有一部分学生是无法独立完成的，这时教师就要对学生进行引导.不同的学生在问题解决出发点上存在差异，有的学生会在解题中产生一些不成熟的想法，这些想法很有可能是教师没有想过的，这时教师应该耐心地倾听学生意见，对学生正确的解题思路进行鼓励，如果是错误的想法则要对学生进行纠正.教师在与学生进行交流时，需要将注意力放在指导方法上，不需要太过于看重学生最后的结论，关注学生解题思维、解题思路的拓展.初中数学教师需要意识到，每个层次的学生在解题时都有独特的方法，教师可以指引学生对各种解题方法进行比较，一方面拓展学生解题思维，另一方面让学生在对比中提高自身的解题能力.先练后教可以很好地改变以往的教师课堂教学行为，教师需要与不同学生交流意见，不断鼓励、引导学生产生新的发现.

（三）生生交流

生生交流是对师生交流的补充，有的学生不敢与教师交流想法，却愿意和同学交流，教师可以引导学生在相互交流中提高自身的学习效果.从课程理论看，先练后教可以彻底改变学生模仿式练习的局面，学生的能力会在自主学习、合作探究中得到提升.无论是基础比较差的学生，还是基础较好的学生，都可以在合作交流中提升能力.特别是在解题中，学生相互交流解题思维，能很好地拓展学生的解题思路，让学生在面对中考压轴题时更加具有解决信心.

总之，中考数学的压轴题很可能是数形结合的问题，而最后一个小问的困难反映在数字和形式的组合的相互转换中.回答时多加注意陷阱有助于厘清讨论.由于当前的课程改革更多地集中在思想的培养上，为了具有直接解决各种问题的效果，有必要在组织、分析和灵活运用上有所作为.同时，学生需要善于学习和培养各种数学思维，以便也解决其他类型的最终问题并获得更好的数学解决能力.