多元建模有技巧，教无定法讲数学

福建省光泽县实验小学 陈万林

数学教学是一个启发思维的过程，当课程标准出现在课堂上，就要借助课程标准对教学活动进行重新整理，培养学生的思维与技能，设计科学的数学活动。借助课程标准引领教师开展教学，帮助学生掌握数学模型的构建方法，能够在抽象与直观、几何与数字之间打开新的教学出路，帮助小学生建立并把握有关的数学建模，使之把握数学的根本。现围绕笔者自身的教学经验，分享一些教学策略。

一、数学模型概述

数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或者工程模型，用以解决各种实际问题。其表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但最终必须以定量的方式体现出来。在小学数学教学阶段，数学模型可以描述为针对一个特定的数学目的，对一个特定的对象，根据其特有的内在规律做出必要的简化假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，从而建立数学模型。

数学模型是数学基础知识与数学具体应用之间的桥梁，在建立和处理数学模型的过程中，学生可以从实际情境中学习数学，发展数学能力，从而达到运用知识再创造的水平。通过数学模型的建立和使用，学生可以体会数学与生活、自然的联系，所以数学模型的建立和使用紧密贴合生活实际成为教师的共识。由于小学阶段学生的形象思维特征，教材涉及的数学模型大多和形象图形有关，通过引导学生绘制实物图、线段图、矩形图开始，培养学生建立数学模型解决问题的意识。通过寻找具体问题的数学模型，并根据模型进行求解验证模型解的整个过程，提高学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的数学思维能力。

二、巧设问题情境，诱发建模兴趣

数学模型是具有现实生活背景的，这是构建模型的基础和解决问题的需要。因此，教师应创设直观场景，借助学具帮助学生理解和分析问题，在直观的数学场景当中看见抽象的数学问题，以此培养学生的数学建模能力。如构建“平均数”模型时（北师大版三年级下册第六单元统计与可能性中“比一比”的教学内容），该内容创设了这样的问题场景：“某小组有5名男生，4名女生，进行投篮比赛（提供了男生队和女生队每个人在相同时间内投中情况统计图），哪个小队投篮实力强？”笔者认为可以按以下教学流程引导学生建模。

教师对学生提问：“男生队和女生队哪个队伍的表现更加优秀？”结合所掌握的数学知识，学生可能会提出以下解决方法：（1）对比得分总数，对比综合实力差异；（2）可以比最大得分数之间的差异；（3）对比每个人的平均进球数。学生得出答案之后，要求学生证明有关方法的科学性，学生得出不同的结论：（1）男女生人数不一样，比总数不公平；（2）比最大得分差，结果不具有说服力。故此，方法（3）中的“平均分”成了最佳选择，这时“平均数”的策略应“需”而生。教师继续引出数学问题：“既然平均计算比较公平，那么应该如何解决这一问题？”结合统计图，学生给出不同的数学计算方法：第一，可以通过“移多补少”的方式进行计算；第二，可以列式进行计算：总数除以人数，便是平均数。在学生进行计算的过程中，教师对算式中的各项进行提问，要求学生说明（4+7+5+4+5）、5等部分的含义，让学生在探究发现中自主构建求“平均数”的模型——平均数＝总数量÷总份数。在场景中构建数学模型，帮助学生思考、答题、互动，以“数学思想”引领“数学方法”，同时提示模型存在的背景、适用环境条件等，这样学生对数量关系的理解不再是抽象、单一的知识，而是与学生生活经验相联系的鲜活而丰富的知识。

三、充分体验感知，积累建模基础

培养学生数学建模能力的过程中，教师要善用有趣的数学材料，并引领学生通过自主探究、合作交流，对学习过程、学习材料多侧面、多维度、全方位感知，为数学模型的准确构建提供可能。如“圆锥的体积”计算公式模型构建的过程就是一个不断感知和积累的过程。其教学流程如下：教师与学生进行互动，以圆柱的体积为知识点，帮助学生回忆数学思想方法“转化法”，学生提出问题：“既然几何图形的体积能够转化为平面图形进行计算，那么其他图形是否也能够用这种方法进行计算？”在提问的过程中，学生找到“圆锥”这一对象，围绕圆锥的特点进行猜测：“圆锥能够转化为圆柱，还是能够转化为长方体、正方体？”教师鼓励学生通过实践操作进行探究。

教学环节，教师提供丰富的实验材料，学生通过实践操作对需要解决的问题进行处理。整个流程中学生经历了不断地猜测与验证，并在实践中获取数学学习经验，进而得出数学学习的一般规律，为抽象概括出“圆锥的体积”计算公式这一模型奠定了坚实的基础，做出充分的准备。通过小组合作学习、独立探究等学习模式的搭配使用，学生在搜集新知识的过程中充分体验了数学模型的构造方法，数学学习取得了新的灵感。

四、抽象提炼本质，完善模型构建

在抽象问题中分析客观的数学知识，才能为学生数学建模思想的萌芽创造良好的条件。比如，六年级下册“正比例的意义”，其包含函数思想、数学变量关系等重要知识点，是帮助学生建立数学模型的重要手段。教师可以尝试借助学生熟悉的数量关系，如“单价与总价”“时间与路程”等引入教学，在简单的数学概念中分析数学本质，完成数学建模，其教学过程如下。

出示例1：某汽车的行驶时间与行驶路程。

时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8路程/千米 70 140 210 280 350 420 490 560

出示例2：一些人买同一种苹果，购买苹果的质量和应付的钱数如下表。

数量/斤 10 9 8 7 6 5 4 3应付的钱数/元30 27 24 21 18 15 12 9

学生积极开展讨论活动，从正比例的定义、概念入手，思考单价、总价与数量之间的关系，尝试阐明x、y、k在函数式中的含义。在学生表达的过程中，教师不对学生进行干预，鼓励学生自由探索、发言、纠正，以此优化教学。让学生亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生在获得对数学的理解的同时，思维能力、情感态度与价值观等多方面也能得到进步和发展。

五、代数过渡几何，丰富数学模型

代数和几何不是两部分互相孤立的知识内容，代数和几何之间有大量的相通之处。在小学数学教学中，将代数问题转化为几何问题，用几何的概念解释并解决代数问题，可以充分利用几何图形的直观性特点帮助学生理解问题，进而降低解决数学问题的难度。小学阶段的学生正处于积极向外探索的发展时期，教师可以根据学生天性好奇、喜欢探索的心理发展特点，引导学生观察身边物体的形状，如水杯、可乐瓶、大树、房屋、动物、汽车、天体等。通过教学多媒体设备，将上述物体的色彩和细节的非本质特征提取出来，引导学生观察并分析物体主体部分的形状，结合必要的假设条件分析总结它们的共同特质和属性。例如，一个图形如果沿着一条直线对折，图形的两部分可以完全重合，那么这样的图形就是轴对称图形，从而将“轴对称图形”的数学模型从学生已有的现实物体概念中抽象出来。运用生活教育理念发展数学模型教学，利用学生的探索心理，结合学生身边常见的事物展示数学建模过程，让学生了解数学源自实际生活，只要乐于观察就会发现生活中处处有数学。

在此基础上，教师可以启发学生将在教材中学到的数学知识，运用到具体的生活问题中去。除了抽象生活中已有的图形，还可以在教导学生解决应用题时借助线段图示来分析题目，将题干的文字和数字转化为图形，帮助学生理解题干逻辑和题义。例如，经典的行程问题：“甲和乙两车同时从东、西两地出发，相向而行，甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，甲乙两车在距离中点9千米处相遇，那么请求出东西两地之间的距离。”在该题目当中，通过题干得知甲从东出发，乙从西出发，相向而行，那么将该部分题义转化为线段图形，得到甲乙在东西两个方向各成一点。由于甲车行驶速度比较快，而甲乙两车最终在距离中点9千米处相遇，所以甲乙的相遇点应该在中点的西侧9千米，由此可以将该题目彻底转化成线段图示，如左图所示。

该题目解题的关键点在于需要学生求出甲乙两车的路程差，由于“路程差÷速度差=相遇时间”，学生可以根据图示分析求出路程差，得到相遇时间。通过阅读题意画出上述线段分析图难度不大，大部分学生都可以独立完成题意的分析和图示表达，重要的是通过相关数学题目的训练，培养学生将算数问题转化成几何图示的意识和能力。相遇地点在靠近乙出发地的一侧，学生可以由图示得知，甲比乙多走了18千米，所以根据题意可得算式：9×2÷（36－30）=3（小时），得出甲乙相遇的时间，再根据“速度和×相遇时间=总路程”，得出算式：（36+30）×3=198（千米），即得出甲乙两地相距198千米。小学阶段的学生提取题干信息的能力普遍不足，对于信息的处理能力也比较有限，所以在解决相关问题时，将文字和数字信息转化成图示可以降低学生处理题干信息的难度，帮助学生解决更复杂的数学问题。

总之，在小学数学教材中，模型无处不在。在数学课程标准理念下培养小学生的数学建模能力，教师要从多个角度设计教学模式，可以将学生已经掌握的数学知识进行应用，与学习者进行互动和交流，消除其对数学建模的陌生感，也可以通过实践操作加深学生对于数学知识的理解，在实践的过程中建模，得出数学学习的一般规律。教师要培养学生应用数学知识进行合作和探索的精神，围绕数学建模思想构建数学教学新模式，训练学生的数学思维。