“以学为中心”的高等数学在线教学设计与实践

王 静, 方晓峰， 李应岐

(火箭军工程大学 基础部, 西安 710025)

1 引 言

2019年中共中央、国务院印发《中国教育现代化2035》，部署了加快信息化时代教育变革，推动教育现代化的十大战略任务.2020年2月12日，在国务院联防联控机制新闻发布会上，教育部高教司司长吴岩答记者问时指出[1]，“高等学校的在线教学不仅在疫情期间可以起到救急的作用，而且这也是中国高等学校这几年来一直致力推动的教育教学领域的一场学校革命.”

疫情期间，各大高校积极投入“停课不停学”的战斗，根据各门课程的特点，展开了基于SPOC、腾讯会议、雨课堂、超星学习通等学习平台的在线教学模式探索与实践，并且在此基础上取得了一定的研究成果.郁悦等探析了后疫情时代高校在线教学与传统教学融合发展的路径[2]；蒋惠芬等研究了在线教育方式下高校教学改革的行为选择、动因与对策[3]；蔡宝来等研究了在线教学环境下大学生学习方式转型的相关问题、趋势与发展路径[4]等，这些研究表明：互联网和通信技术对教育改革有着巨大的潜力，线上教学能够有力地推动“学”为中心理念的落地落实.另外，杨翊等基于疫情期间超星智慧教学系统的数据分析了我国高校在线教学运行状况[5],结果表明，在线教学还没有充分发挥出其优势,建议未来在线教学应从自身特点出发进行教学质量评价等.

本文作者在疫情期间高等数学课程教学中，针对课程特点和存在的问题积极探索，寻找对策，不断改进.通过对比，发现教学效果不低于学校课堂教学，而且明显优于其他并行班.本文主要介绍在线教学设计的理念和具体的举措，以期对今后混合式教学的开展有所借鉴.

2 在线教学的设计理念

俗话说，百事得其道者成，要利用信息技术开展有效的教与学，必须对在线学习的有效性、在线学习环境中学生的学习过程、学习特征和规律、如何评价在线教学的效果等有一定的认识，这就需要首先建立在线教学的设计理念.

理念源于实践，在长达三个多月的实践中，教师关注的重点已经悄然地从“知识、内容”的教转向了“学生”的学，是真正的以学为中心！广大教师都很快意识到：技术是基础，但最大的挑战不是技术，而是“教育”，是教学生“学”.学生的自主性、自律性和自学能力，对于保障在线教学质量至关重要[6].但光有这些还不够，还需要教师的辅助.要保证学习有效发生，不是靠把课堂搬到直播就能解决的，这里还必须有一个前提：教师要提供“有指导的在线自主学习”的设计和支持.包括：在线学习活动的设计、在线学习过程的设计、学习支持/在线导学的设计.通过精细的教学设计实现这样三大转变[7]：

(i)把教从知识传授为主逐步转向以能力提升、价值观引领为主；

(ii)把学从模仿仿效为主转向探究/实践/合作式学习为主；

(iii)把被动学习转变为学生的主动学习.

也就是常说的把“要我学”转变为“我要学、我想学、我会学”，这是教育追求的目标，而对于在线教学这个新型学习共同体中来说，它显得更为迫切.当然，要利用好信息化的工具、方法和手段，来助力该目标的实现，还要遵循一定的规律和原则.清华大学于歆杰教授总结了四点：成效为道、数据为器、交互为体、直播为用[8].这是一个整体的设计原则，具体到课程教学中，由于课程特点和教学目标不同，相应的教学设计也会有所侧重.

以高等数学为例，它的特点是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，学生自学有一定难度，所以我们在教学中秉持了一贯的 “激发兴趣、重建信心、学会学习、主动建构、积极应用” 的教改理念，把激发学生的学习兴趣和潜能作为标准研制的出发点和着力点，引导学生在问题探究和应用中主动建构知识，关注互动性，关注学生的思维训练和核心素养的提升[9].

同时，结合在线教学的特点和优势，揉入了新的设计元素，主要考虑以下几个方面：

(i)注重让学生获得“量身定做”的优质体验，能够按照自己的方式和节奏进行学习；

(ii)教学内容精、简，同时要有全局意识；

(iii)重视教师的“时时监督”和“有效引导”；

(iv)持续关注学生自学能力的培养.

总结起来，就是要牢固树立以学为中心的教育教学理念，充分利用移动互联时代带来的红利，深入挖掘课程内容，精心设计各个教学环节，对学生进行有效的“导学、帮学、督学”.

3 在线教学设计

教学采用 “先学后教，以学定教”的方式，直播是用“腾讯课堂+雨课堂”，腾讯课堂的优点是延时短，基本顺畅无卡顿，雨课堂主要用于通过手机参与互动.这是前后试验了多种直播平台和教学模式(包括不直播，或者直播在前，MOOC自学在后等)的各种试水、磨合后学生和老师共同的选择.具体教学流程如图1所示.

图1 教学过程

课前深度自学阶段，教师通过微信群给学生推送电子教材(按教学进度推送章节内容，而不是一整本书)、教学计划(包括周计划、节计划)、作业、辅助资料等，通过雨课堂推送语音课件，里面穿插4-5个客观题用于督促和检测学习效果.学生通过观看MOOC视频、学习课件、完成检测题等活动进行自主学习，作业通过微信小程序“每日交作业”提交.

学生学习采用小组合作制(6-8人一组)，为了让学生真正地投入到学习中，我们会及时关注、询问各小组尤其是基础薄弱、意志力不强的学生，鼓励他们提问，或者主动提问部分学生，做好导学工作.

直播之前，由课委(多个)批改作业并通过课委群反馈情况，小组组长收集反馈学习情况，包括哪些内容学懂了，哪些还掌握不好，有哪些细节问题等，教师通过查看雨课堂的学情数据、学生提交的作业和群交流情况，准确把握学生的学习情况后，确定直播的内容和时机.

直播之后，学生要作业改错并提交，完成雨课堂后测、上传听课笔记，画思维导图，完成小组视频录制等.教师再次检查学生的完成情况，了解学生的掌握程度.整个教学过程形成一个“学习→反馈→学习”的闭环，同时，学习内容由浅入深，螺旋式反复，每周末会以章节为单位，就该章学习过的内容进行测试，不断加深难度和广度，通过反复练习，加深学生对知识的认知.

整个教学采用BOPPPS策略，如图2所示.旨在通过激发学生的自主性、加强课前引导的高效性和实时检测评估来达到提高课堂教学质量的目的.

图2 教学策略

4 在线教学实践与策略

下面以问题的形式，介绍具体的举措.

问题1如何抓住学生的注意力，激发学习兴趣和潜能？

(i)内容情境化、问题化

激发学习兴趣，对在线教学来说尤为重要.尤其是理工类课程，如果就内容讲内容，很容易让云端那头无人约束的“他”心猿意马.事实上，任何一个简单的概念都有它引人入胜的一面!知识概念怎么来的？ 知识的原创，知识的左邻右舍，经历了怎样的历程？怎么变成了这薄薄的几页纸了呢？这是学生想知道的！所以，将内容问题化、情境化，产生需要解决的问题或认知冲突，可以有效吸引学生的注意力.

具体做法是将问题情境在上一次课的课尾或者课前抛给学生，课后学生就可以通过便捷的网络等多种平台和资源去寻找问题的解决方案，主动构建知识.知识的迁移与内化，更多地靠学生自己的实践.比如，三重积分的计算，以土豆质量作类比，从学生会的技能——“土豆条”“土豆片”的质量出发，转化到空间立体，让学生体会“积分”的本质.再比如，讲方向导数与梯度时，让学生根据地形图设计行军路线；对于多元积分学中的三大定理，先引导学生研究旋度、散度等物理概念，然后从散度的定义和微元分析就可以得到向量的散度的区域积分和向量区域表面通量的数值关系即高斯公式；由旋度的定义和微元分析得到曲面上旋度的通量和其边界上的环流量关系即斯托克斯公式等.这个过程，既是培养学生思辨能力、批判性思维和应用能力的过程，同时也是提升快速获取、甄别、处理、评价等信息时代核心素养的过程.

当滚动轴承发生复合故障时,由于不同部位故障信号之间的相互干扰及耦合效应,复合故障信号表现得非常复杂,基于信号处理特征提取的滚动轴承复合故障难以取得好的效果.当前，大多采用智能诊断方法对滚动轴承复合故障类型进行分类[1-5].智能诊断中最关键的一步是特征提取,有效的故障输入特征不仅能提高分类正确率,而且还能提高计算效率.本文尝试将图像处理中的常用方法即非负矩阵分解方法用于滚动轴承复合故障的特征提取，进而实现滚动轴承的复合故障诊断.

(ii)直播内容要“精”“简”

通过MOOC自学，“是什么”学生已经知道了，“为什么”他们也了解一些，直播时就不必面面俱到，而是要详略有别，把重心放在了对内容的理解上，让学生更多地展示思维过程、互动与交流、探究与生成.教师只需要做到“难点要讲透”，“要点要让学生参透”，“疑点要坦诚与学生交流”，例题少讲甚至不讲，注重问题的阐述、思维引导和逻辑推演.讲解时尽可能手写板书，更有代入感.当然这需要教师对教学内容、对学生的课前学习情况有更深入的了解和精准的把握.比如 “偏导数”一节，学生基本上能看懂概念，也会计算，但并不是很理解为什么要研究偏导数，所以兴致缺缺.直播时，我讲个故事：某小学五年级教师设计了一个研究课题：“什么因素决定了蜜蜂采蜜”，孩子们经过积极的观察研究，给出了他们的答案：颜色，气味，……，那么正确答案是什么呢？如果是你，你采用什么方法来验证？五年级的孩子想到了办法，让气味等不变，只变换颜色，就可以说明是否与颜色有关……此时向学生说明这种控制变量的方法是科学研究中的重要方法,因为一个因素引起的结果一定是一一对应的，偏导数就是控制变量法的数学体现.之后再借助于几何直观解释偏导数，学生的认知和兴趣有了明显的变化.

(iii)视频直播要“精准”

解决学生当下面临的问题，既有实用价值，同时也是引起学生注意的手段，让学生愿意亲近教师和接受教师的影响，这样，才有机会将学生带领到在他当下还感知不到，但是还能够去到的地方，这是教育的魅力所在.恰当出现在学员需要的时间里，你讲的内容，就是学员需要的，自然会有吸引力！那么如何做到精准？学情数据和与学生的直接交流是掌握学习节奏、决定直播内容和时长的主要依据.

对于新课内容，可主要通过学生的雨课堂前测数据、完成作业情况和小组群、课委群里的交流，把控学生的掌握情况.复习时，还可以通过问卷、私聊等方式调查了解学生的心声，从他们的需求出发设计内容.这也是线上教学的优点，能让笔者快速了解学生的起点在哪里.

(iv)充分发挥学生主观能动性

小组合作学习是在线学习的重要学习方式.互动和合作学习更适合用来获取高阶的学习成效，而且互联网和通信技术在连接学习者方面有着很大的潜力.以“小组合作”与“学生展示”为特征，通过小组互评作业、小组竞争、小组协作每日一题讲解、小组讨论等活动，激发其学习热情，锻炼反思、批判、沟通和表达的能力.以每日一题讲解为例，题目设置有一定难度和代表性，让各组成员轮流制作视频讲解，发送到班级群.比如说以往讲二重积分的对称性时，总是有不少学生搞不清楚，这次放手让学生思考，问题是：定积分有对称性，你觉得二重积分有没有？如果有会是什么情况？事实表明，学生会完成的特别认真，而且常常会有一些奇思妙想，让教师惊喜不已！而越是受到表扬，学生的热情就越高涨，群里的气氛也热闹起来了，师生深度互动乐在其中.

问题2 如何做好课前的有效引导？

有了基于视频的课前学习，因材施教才成为可能.而要保证课前学习能够高效发生，教师的有效引导非常重要.研究表明：帮助学生设定适当的学习目标，并为绩效提供一定的挑战；创造一个情感支持和无威胁的学习环境，让学习者感到安全和有价值；支持他们的控制感和自主权；帮助他们识别、监控和制定学习进度，培养他们的能力，可以帮助学习者提升动机水平[10].

首先，按时给学生下达周计划，这是学生学习的脚手架，明确视频学什么？作业是什么？何时交，直播何时开始，虽然目前还没有实现“个性化”的资源，但至少让学生有自己的计划和节奏.

当学生开始学习视频时，是学生与新内容的直接交互，此时，教师除了发布教学资料以外，还要对学生提出明确的学习要求、学习目标，要提供学习路径的指导、需要掌握的技能，必要时提供相关参考资料.MOOC自学时，每个小视频都是按知识点划分的，预习课件也配套的进行了知识点分割，并重新设计，以严密合理的逻辑进行呈现，以文字、音频等的形式引入必要的提示，明确了每个知识点学习的目标，需要的知识准备、学习方法、重难点、一些关键点的提示等等，以方便学生自学，保障学习效果.这些指导工作做的越细，学生的自主学习效率越高.

事实上，课前专业的思维方法分享，教师自己的体悟，其实是一种价值观的塑造，是课程思政，是金课必不可少的内涵，它比认知能力提升更重要.往往课上内容按照遗忘规律，很快就淡出了，但一门课程主讲老师分享的方法，观念，尤其是人生态度，却能深深刻入脑海.

当然，学生的自学能力也需要培养，教师要经常辅导.包括：介绍、推送常用的自学策略，如边听边做笔记，画思维导图，标记疑问和困惑，写反思日记等；并通过树立榜样(在群里展示、表扬做的好的小组和个人)、建立机制(作为平时成绩的一项指标)等方式让学生不断努力内化自学策略.教师还可以根据网络课程的内容，设计导学案让学生在学习过程中填写.

总之，课前学生自学时教师千万不能袖手旁观，让学生有站在“你”的肩膀上学习的感觉.当然，自学任务一旦布置，就必须有检查、评价的跟进，仅仅依靠学生的自律是不现实的.

问题3 如何做到“时时监督”？

课前有没有认真学，可以通过雨课堂前测情况，MOOC中每小节视频后的测试，作业群里的听课笔记等查看.如果要了解学员课前学习MOOC的情况，还可以申请同步或异步SPOC，课堂上在不在位，有没有认真听，通过互动和查看学情数据，包括学习任务完成度、视频观看分析、自动学习预警等可以全盘掌握课程教学，及时洞察学生学情，适时进行干预补救.

当然，学情数据中也可能存在空挂的情况，在课堂上通过雨课堂不定时随机点名提问、参与答题、随时抽查让学生展示笔记、典型错误让学生挑刺等的方式，既防止了学生空挂机的现象，同时也提升了学生的参与度.

课后的监测可以通过雨课堂后测题，画思维导图等方式.学习是一个不断建构知识体系的过程，需要抓住重点，设法把散落的知识以各种方式有机串联，这也是让学生绘制思维导图的用意所在.每章结束时，教师也可以和学生一起做一张总结卡片，一学期下来，就几张卡片，这就可以给课堂留出很大的研讨空间，实在没必要满堂灌，这也是培养学生总结凝练能力的一种有效方式，帮助学生理清思路，把书读薄，而且帮助老师大胆取舍.

问题4 如何做到有效互动？

“有效的互动更有利于激发有意义学习”，这可能是当代学校教育教学变革中最重要的潮流和趋势.国内外相关研究也发现，积极的师生交互能较好防止学习者在线学习过程中徘徊于低水平识记信息、程序记忆，及应付评价等细节上，使之得以将注意力转入对教学内容的深入理解上.

直播时，因为学生面对的是电脑或手机，必须采用比校内课堂更丰富的交互式手段才能吸引学生注意力.腾讯课堂可同时选择6名举手学生上台，一起语音交流，让学生更多地展示思维过程、互动与交流、探究与生成.互动面板可进行实时互动，课堂投票偶尔可以穿插一下，比如询问学生的喜好、想法等，效果也是不错的！雨课堂可以发弹幕，还可以答题，问题一般穿插在知识点之间或重难点前后，形式有填空题、选择题、判断题等，可以直接看到每个学生的答题情况和整体的正确率，还有随机点名、投稿功能，这两个功能通常用来回答主观题，对于发现和纠正学生的错误非常有效.

其实还有很多互动方式，比如提前进入直播课堂与学生聊聊天，询问哪里学的不好，哪种学习方式更适合自己，都是怎么学的，自己的优势是什么等等，甚至可以聊其他的，还可以每周组织十几个学生视频会议，先破冰，再聊学习等等，只要你愿意走近学生，方法其实很多.

需要说明的是，直播的重心仍然是教学内容本身，教师不必执念于每次都要通过点名、测试和让学生开摄像头等方式对学生的关注度进行测试，少干预、多问候学生，用自嗨带动课堂的活跃度.换句话说，互动问题的设计，不是为互动而互动，是精心设计，为了促进学习动力和学习效率的一种手段.

5 教学效果

在授课过程中，我们利用腾讯课堂和雨课堂的投票等功能，不定期地进行问卷调查并及时根据学生反馈进行调整，涉及的内容非常丰富，小到某个知识点的掌握程度，大到教学方法手段、教学效果、考试的诚信度等.以下问卷是在最后一周进行的，全班75名学生全部参与，具体的数据分析如下：

5.1 对教学的满意度

用于统计学生对在线教学整体的感受，以及确定在将来的学习中学生是否更喜欢线上学习.图3和图4显示：学生对本门课程的在线教学满意度达到100%，而91%的学生表示已经很适应甚至喜欢现在的学习方式.

图3 对在线教学的感受 图4 对在线教学的满意度

5.2 在线教学的优势和不足

在授课过程中，多次以问答方式了解学生关于在线教学优缺点的真实感受，收集的主要观点如下：

优势：

(i)现在的上课方式比光看MOOC要好很多，看一遍MOOC有大体思路，老师把细节和重点深化理解加强记忆；

(ii)可以自主学习，学习时间充足，有老师串讲，问题能及时得到解决，互动也多，非常好；

(iii)看不懂的可以回放，老师的互动也让我们不得不认真对待；老师的直播更清晰易懂；

(iv)网上学习给人一种很新奇的感觉，还是会配合老师回答问题，陌生又熟悉的感觉；

(v)课上答题环节，很激动；

…………

不足和建议：

(i)个人喜好录播的方式，缺点是不能互动答题；

(ii)在线学习其实跟学校差不多，能跟老师互动，不懂可以询问，但是直播时间不要超过30分钟；

(iii)容易忘，建议讲题时突出方法，归类整理题型，单独罗列讲解加深印象；

(iv)因为没有实体的教材，线上学习的笔记显得格外重要；

(v)虽然可回放，但容易抓不住重点，白白浪费时间，建议画上思维导图，提醒重点，再讲题型；

…………

为了解持各种观点的学生所占比例，总结了主要的观点让学生投票，投票结果见图5和图6.

图5 在线教学中喜欢的环节和因素

图6 影响学习效果的因素

5.3 直播的效果

图7显示了学生自主观看MOOC视频和教师直播后的学习效果对比，可以看出：直播前，60%的学生学习MOOC视频只能达到50%-70%的理解程度，而且有10%的学生处于50%以下.直播后，74%的学生达到70%-90%的理解程度，而且都达到50%以上了，说明直播非常有必要.这说明光靠MOOC视频效果不佳，但没有课前的MOOC视频学习，直播效果会受影响，图5中42个学生选择喜欢“先MOOC自学，再直播学习”就说明了这一点.

图7 MOOC学习和直播学习的效果对比

5.4 学习效果

虽然在教学过程中常有效果诊断和单元测试，但在没有监督情况下，结果的真实性会大打折扣，所以在最后设计了两个问题：

(i)你认为你的学习成绩较之前课堂学习有什么变化？

(ii)经过这段时间的在线学习，你的学习能力是否提高了？调查结果如图8和图9所示，学生自我反映成绩没有明显下滑，且有34%的学生反映反而提高了，而84%的学生反映学习能力有提高.

图8 学习成绩变化情况 图9 学习能力变化情况

5.5 学习负担

学习负担是教学改革关心的问题之一，通过调查，确实有48%的学生反映负担加重了，36%的学生反映变化不大，但也有16%的学生反映负担反而减轻了(图10).

图10 与在校学习相比的学习负担情况

综合来看，上述数据虽然具有一定的片面性，但也能说明一些问题.发现先学后教的方式，对于提高听课效率，特别是学困生，还是非常有效的.小组合作学习有很多优越性，比如通过各种小组活动，学生的角色逐渐从“观众”变成了“主角”，在网络空间中找到存在感，有了更多的责任感和团队荣誉感.及时的评价和鼓励对于提高学生的主动性和自信心非常重要等.

同时，也发现了很多需要改进的地方.比如，通过多次交流和问卷调查，学生反映在线教学中，存在内容接受过程生涩、知识体系难以建立、缺乏一张评价自己的明镜等问题，提出还需要在提供查询资料、同伴互动、知识的整体性和系统性、学生的注意力集中等方面加强关注！这与2016-2017年“中国在线教育调查研究”的研究结果——不同形式的在线学习都令学习者在概念陈述、观点理解和问题阐释上有了新的认识.然而，相较之下，对于帮助学习者进行逻辑推理、建立逻辑关联，探索和创新，以及对本门课的价值理解等问题上，在线学习者的学习体验相较逊色是一致的.

另外，如何有效利用学情数据，真正利用技术分析出学习者学习的有效性，深度，学生的学习动力可能是比我们的教学内容设计更加重要的关注点.而学习资源的吸引力不够，优质资源的校本化也是一个突出问题.

6 结 论

通过疫情期间的在线教学实践，看到仅仅把技术潜能叠加到传统方法上是不够的，信念的改变才能产生行为的改变，只有牢记我们的使命：帮助学生学习，加强学习体验，培养能力，才能收获良好的学习效果.笔者在整个在线教学中坚持由“教学范式”向“学习范式”的整体变革，强化学生中心，紧紧围绕学生需求和能力培养，构建了高等数学课程的在线教学模式和流程，摸索出了一些有效的策略，实现由了“教”向“学”的转变，取得了较好的教学效果.

面对人工智能时代的教育革命，我们更需要本着开放理性的态度，从教育本身出发，冷静思考，坚持让自己“从信息传达者变成学习帮助者”，让教学从教师引导变成“学习共同体”，给知识的同时滋养心灵，努力培养学生独立的人格和批判性思维能力.同时，要依靠团队的力量积极进行课程建设，通过教学手段、组织形式、教学内容、内容呈现形式、教与学的创新来实现信息技术与课程的深度融合，用丰富的手段和多样的活动去激活学生的思维，最终实现成人、成就人的目标.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.