古典概率的计算与应用实例的探究

◇宿迁学院 王 莉

本文主要介绍了古典试验中如何运用计数方法计算古典概率,以几种模型为例展开讨论,并利用乘法公式和全概率公式结合古典概率的计算方法分析解决了一类与生活相关的手机密码解锁的新问题,旨在说明古典概率在实际问题上的应用价值.

古典试验作为概率论发展早期的一类重要试验,在实际生活中无处不在,因此探讨古典概率的计算尤为重要.它始于德·梅耳[1]的“赌本分配”的问题,后来伽利略在一篇名为《有关骰子游戏的研究》的论述中[2]提到的“点数问题”对古典概率日后的发展有着极大地影响.而后荷兰数学家惠更斯也继续了这方面的研究,他的工作主要是推广了帕斯卡和费马关于赌金分配的计算,最早提出了“数学期望[3]”这个概念.到了1812年,拉普拉斯作为古典概率研究的集大成者,全面总结了古典概率的一般定义和有关基本原理,著有《概率的分析理论》一书,这标志着古典概率理论的成熟.

近年来,在国内关于古典概率问题的研究也比较广泛,其中张大国[4]、李荣江[5]、谢滟馨[6]等专家学者都在不同程度上对古典概率的计算方法进行了一定的探讨,值得我们去细细品读.

本文在此基础上将古典概率的计算方法进行了全方位、多层次、更深入的细致剖析,并且将这些方法进行综合的归纳和总结,并与全概率公式进行结合提出了手机密码解锁问题,进一步解决了生活中的一些难题.

1 古典概率

若试验的样本空间有限且.试验中出现每个结果的可能性均等,则这样的试验称为古典试验或古典概型.

此概率称为古典概率.

它在实际生活中有着重要且广泛的应用,比如从普通的游戏到惊险的赌博,从各种彩票到人身保险,从人口统计到国家选举,都能够显示出古典概率在现实中广泛的应用价值[7].

2 常用的计数方法

运用乘法原理、加法原理和排列组合公式来计数.

有次序时用排列数.

无次序时用组合数.

3 模型分析

3.1 投球模型（分房问题）

例1 将3个人分入4个不同的屋子中,每个人被分入每个屋子的可能性均等,屋子的容量不限,求以下事件的概率:

（1）指定某屋子是空的；

（2）恰好有2个空屋子；

（3）指定某3个屋子中各有一个人；

（4）恰好有3个屋子中各有一个人.

（1）指定有一个屋子是空的,即其他的三个屋子里必定有人,相当于将3个人分入3个不同的屋子,总数有,那么

（3）因为3个屋子是指定的,所以不需要选屋子,只需将3个人分别分入3个屋子中,有种分法,此时

（4）3个屋子并不指定,在4个屋子中任意取出其中3个屋子有种取法,再将3个人分别分入3个屋子中,有种放法,此时

对于这些问题的处理上要准确把握题干的含义,注意到“指定”与“恰好”之间的关系.“指定”是指已经确定了的,不需要考虑其他情况,而“恰好”则需要考虑到其他的存在情况,涉及到是否需要用排列组合数来考虑问题.

3.2 抽球模型（抽样模型）

取球问题可以看作为投球问题的逆过程,例如从 个球中取出 个球,可以看作为将 个球放到 个不同的盒子中.但取球的问题也有其独特的思路与方法,其中的球有可能是有不同的编号,可能是有不同的颜色,也有可能是放回或者不放回的取球.对于具体的问题要仔细判断是用排列还是组合去计数,还是综合使用,是解决这类问题的关键.

（1）有放回.

a、有放回按序摸球.

若存在有 个球,从这些球中任意取 次（可以大于 ）,一次取一只,每次取球后放回,这样每次取球都记录球的编号和次序,那么像这样从 个球中任取 次共有种取法,因此总数为.

b、有放回不按序摸球.

若存在有 个球,从这些球中任取 次,一次取一只,每次取球后放回,只需要记录下球的编号,不需要考虑次序,为重复组合的情况,事件总数为.

（2）无放回.

a、无放回按序摸球.

若存在有 只球,要从中任意取出 只,每次取出球后不放回,记录下球的编号和次序,那么第一次摸球时有 种取法,第二次摸球时有种取法,以此下去每一次的取法总比上一次的少1,当取到第 次时取法就有种,所以取法总数共有:

b、无放回不按序摸球.

若存在有 个球,要从中任意取出 只,每次取出球后不放回,每次记录下球的编号,不考虑的次序,这就好像一次性从 个球中取出 个球一样,可知基本事件总数为.

例2 若口袋中有两种不同颜色的球,有3只蓝球,7只红球,问:

（1）从中任意取出3只球,取出1只红球,2只蓝球的概率；

（2）从中不放回的任意取3次,一次一只球,求取出1只是红球,2只是蓝球的概率；

（3）从中有放回的任意取3次,一次一只球,求取出1只是红球,2只是蓝球的概率.

（2）在这种情况下取了3次,为不重复排列,所以样本点总数为.所取的红球有可能是3次中的其中一次,有种可能,然后取出1只是红球,2只是蓝球,且蓝球需要排序,有种可能,那么事件的样本点个数为,这样有

（3）因为是有放回的取球,一共取了3次,可以得知样本点总数为103.这种情况下存在先取出红球后取出蓝球和先取出蓝球后取出红球这两种情况,可知事件的样本点个数为,那么

注意本题分析了三种不同的抽取情况下如何求概率,对三种情况要注意计数策略的不同,第一种情况与取球的次序无关,故用组合计数；而在不放回取球时,取出的球是有先后顺序的,故应该按照排列计数；而在无放回的情况下,每次取球与下一次的取球无关,要用重复排列计数.对于这三种情况需要严格的区分辨别.

例3（彩票问题）如果在盒子里有111张彩票,其中只有一张为有奖彩票,求:

（1）每张彩票试过后不放回,第5次中奖的概率；

（2）每张彩票试过后放回,第5次中奖的概率.

由此可见,无论是有放回还是无放回抽取,每次中奖的概率是一样的,中奖的概率与抽奖的次序无关,同时也就是与第几个人第几次抽奖无关,中奖的概率只与有奖奖券的数量以及所有奖券的总数有关.因此,无论是否放回取样,每次取到其中一种元素的可能性是都是相同的,在遇到类似的问题时,可以利用这种原理来解题.

3.3 全概率公式在古典概率中的应用

例5（手机解锁问题）若某人忘记了自己的手机密码,手机密码可由6位数字组成.当他错误输入密码5次后手机将锁定10分钟,在此期间内无法输入密码,而后再错误输入5次后手机将锁定20分钟,再次错误输入5次后手机将锁定30分钟,那么此人在1小时内解锁手机的概率有多大？（输入密码的时间忽略不计）

本题与抽签模型类似,即每一次解开锁的概率都是相同的,但是解锁的概率与解锁的次数有关,即次数越多解锁的可能就越大,实际上是乘法公式与全概率公式的综合使用,如此看来问题就简单多了.

本文针对古典试验对古典概率的计算和应用做了相关的讨论与研究.分别给出了投球问题、抽球问题、数字问题、手机密码解锁问题等几个模型,通过具体实例对模型中各种情况下计算古典概率进行了详细的分析,并总结了每种模型计算的规律和注意点.文中尤其提出古典概率在手机密码解锁问题中的实际应用,并进行了计算.通过本文的讨论提供了一些在计算古典概率的技巧,可以在一定程度上降低问题的复杂程度,大大简化计算量,是问题简单明了,并且对生活应用领域进行了拓展,提高研究者在这方面继续深入研究的兴趣.