从摸球试验例谈古典概型复习课中例题的选取

李萌

摘  要：古典概型是高考中涉及的两个最基本的概率模型之一，它是二项分布和超几何分布概率计算的重要理论依据，经常与排列组合及概率分布问题结合组成令考生眩晕的概率大题。本文以摸球试验为例，探索古典概型复习课中例题的选取问题。

关键词：摸球;古典概型

数学教学的主要活动是学习模型、应用模型、建立模型、忘记模型的过程，在复习古典概型这一特殊且重要的概率模型时，笔者认为紧紧抓住摸球试验，设计合理的摸球方案，就能将古典概型及其相关知识点的计算讲透彻.其他教辅上的题目大多都可以转化成摸球试验.以下典例是笔者上课时的教学设计：

例：一袋中有质地均匀大小相同的6个黑球，4个白球

（1）不放回的把球随机的一个一个全摸出来，求第1（或者2，3，4，5，6，7，8，9，10）次摸出一个球为黑球的概率.

解：此题是课本上例题的改编，出自北师大版必修三第三章概率的第二节古典概型中建立概率模型一节，教材当中选取的就是摸球问题（可见摸球试验的重要），教材中给了四种建立模型的方法，据此可以得出本题结论，本题也可以用来解释抽奖与顺序无关.

（2）不放回的把球随机的一个一个全摸出来，求第2次才摸出黑球的概率

解：由古典概型的计算公式得

（3）不放回地依次取出7个球，正好有5个黑球的概率.

解：由古典概型的计算公式得，這是超几何分布求概率的模型.

（4）有放回的摸出7个球，正好有5个黑球，2个白球的概率.

解：由古典概型的计算公式得这是二项分布求概率的模型.

（5）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：利用古典概型公式：，条件概率计算的基础也是古典概型的计算公式.

解法二：B为“不放回取球，第一次取出白球” C为“不放回取球，第三次取到黑球”由条件概率：

（6）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：设事件为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”，因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，4个白球，取得黑球的概率为

解法二：只考虑后两次

（7）现逐一不放回地进行摸球，直到4个白球都被摸出为止，求摸球次数为5的概率.

（8）每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到黑球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束，求摸球四次就停止的事件发生的概率.

解：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次黑球，且前三次有两次摸到黑球，第四次又摸到黑球。设事件为“摸球四次即停止摸球”

（9）另一袋内有大小相同的1个黑球和3个白球，现从两个袋内各任取2个球，求取出的4个球中黑球个数的数学期望.（略）

对于摸球问题我们需要关注摸几个和怎么摸的问题，若一次性摸取，特点是一次摸够，元素不重复，无顺序;解决方法：用组合的思想去解决;若逐次不放回摸取：特点是每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序，解决方法：用排列的思想或分步计数原理去解决;若是逐次放回摸取：特点是每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个球每次被摸到的概率都一样，解决方法：独立重复试验某事件恰好发生K次的概率.

若把黑球看成次品，白球看成正品，则摸球可以描述产品抽样.可引出超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*.若将这个问题中的抽取方式变成有放回的，就是我们熟知的二项分布.这两个概率公式计算基础都是古典概型，前面已经举例说明.假如产品分为若干等级一等品、二等品、三等品等，则可用有多种颜色的摸球模型来描述.由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。历史上曾有人把浩翰繁杂的古典概率问题归纳为摸球问题、占房问题及随机取数问题，又有人把其归纳为摸球问题、投球问题及随机取数问题。可见，摸球模型的确是古典概型中的一颗璀璨的明珠。

以上这组变式训练难度适宜，同时将二项分布、超几何分布、条件概率的计算设计其中，用古典概型的计算公式道明其计算原理，从源头上解决了这几个问题的计算难点，综合性较强，充分展示了知识之间的联系，学生只要在对比中找差异，总结规律，就能掌握模型进而达到应用的要求..笔者能力有限，不足之处，欢迎指正，望相互交流与学习.

参考文献：

[1]严士健，王尚志.数学（必修3）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.