构建模型法巧解高考计算题

郭婉婷

摘要：千变万化的物理习题都是根据一定的物理模型，结合某些物理关系，给出一定的条件，提出需要求的物理量的。而我们解题的过程，就是将题目隐含的物理模型还原、求结果的过程。构建物理模型法在解题中具有决定性的作用，从而达到快速解题的目的。

关键词：解题方法  构建物理模型法 磁聚焦和磁发散

中图分类号：G4 文献标识码：A

在高考场上，做选择题只能平均每个题用时90秒，做计算题也要每个题用时尽量不要超过8分钟，要想能尽最大限度的节省时间解出一个题目，那么我们碰到一个题目，要能尽快建起物理模型，找到规律，就能达到又快又准地解出答案，得到高分的目的，才能在考试中取得胜利。下面我以2021年湖南卷第13题为例，很多学生得到的分数与所花的时间不成正比。因此，对于如何建构物理模型，从而快速巧解此题，得到高分。我撰写此文以飨读者。

例题：（2021年湖南省高考卷第13题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为 、电荷量为 ）以初速度 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在 平面内的粒子，求解以下问题。

（1）如图（a），宽度为  的带电粒子流沿 轴正方向射入圆心为 、半径为  的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 ，求该磁场磁感应强度  的大小;

（2）如图（a），虚线框为边长等于  的正方形，其几何中心位于 。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为  ，并沿 轴正方向射出。求该磁场磁感应强度  的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）;

（3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于  的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于  的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为  的带电粒子流沿 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点 ，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为  ，并沿 轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。

此题模型构建：是指速率相同的同种带电粒子，在经过圆形匀强磁场运动的过程中，当粒子运动轨迹半径与磁场区域半径相等时所引起的一类会聚与发散现象。

磁发散：圆形匀强磁场区域，带电粒子从圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场。

2.磁聚焦：若带电粒子以平行的速度射入磁场，这些带电粒子在磁场中做圆周运动将会聚通过平行速度方向的圆形区域切线与圆的切点。

【考点】带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，牛顿第二定律

【解析】【分析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，利用圆形磁场的半径可以求出粒子轨道半径的大小，结合牛顿第二定律可以求出磁感应强度的大小;

（2）画出粒子经过O点后从下方圆形区域的最大轨迹，利用轨道半径的大小结合牛顿第二定律可以求出磁感應强度B2的大小和方向;利用左手定则可以判别磁场的方向，利用运动轨迹结合几何关系可以求出磁场面积的大小;

（3）画出粒子在磁场中的运动轨迹，结合轨迹半径及牛顿第二定律可以求出磁感应强度的大小;利用阴影面积为四分之一圆面积和三角形面积之差，利用几何关系可以求出匀强磁场面积的大小。

【答案】 （1）解：粒子垂直 y轴 进入圆形磁场，在坐标原点 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径  ，粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力 ，解得

（2）解：粒子从 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的 点飞入然后平行 轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域

磁场半径为  ，根据 可知磁感应强度为

根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为

（3）解：粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周

根据可知I和III中的磁感应强度为，

图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图

图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周  与三角形  之差，所以阴影部分的面积为

类似地可知IV区域的阴影部分面积为

根据对称性可知II中的匀强磁场面积为

通过这道高考计算题的解答过程的探讨，我们大家发现碰到一个有难度的题，如果运用常规解法，那正中命题者的初衷，他就是想要通过此题来消耗考生的时间，从而影响其它题的做答，以致达到拉开考生差距，起到选拔性考试的目的，我们为了在高考场上能取得压倒性的绝对胜利，那么我们平时学习过程中一定要达到两个“力求做到”，第一个力求做到知识体系化，题目模型化，解题技巧化;第二个力求做到见题有思路，解题有模板，速算有大招。为了要达到这种境界，那并非一日之功，必须要善于向人家学习，广泛涉猎各种资料，搜集各种解题规律，加强训练，把别人的东西变成自己的东西。灵活地把物理原理和数学知识进行融合，只有这样，那我们学习物理就会变得越来越轻松，解题就像吃大餐一样是一种享受，不再是一种痛苦。最后祝愿大家平时学习勤加思考，总结解题诀巧，构建解题的物理模型，高考场上取得优异成绩。

指导老师：郭敦荣