软基水闸底板脱空反演的响应面模型优化

刘双平，柯贤勇，李火坤，李辉，唐义员，涂源，方静

(南昌大学建筑工程学院，江西 南昌 330031)

长期处于激振交替、动静悬殊的工作环境中的软基水闸容易出现底板脱空[1]，目前，基于动力学特性对水闸结构进行反分析被广泛研究[2-4]。寻找准确可靠的响应面模型代替有限元模型，是进行软基水闸底板脱空反演的关键。

响应面方程是决定脱空参数与模态参数之间非线性关系的重要因素，当响应面方程过于简单时，响应面模型难以保证其精度；当响应面方程过于复杂时，响应面模型的效率会降低[5]。于景飞等[6]采用线性多项式函数构建响应面方程，对大跨径混凝土斜拉桥进行了优化预测研究；Fang等[7]指出参数间相互效应对响应面模型总方差的贡献非常小；张运涛等[8]基于逐步回归的方法对变量的选取进行显著性分析,提高了所选取不含交叉项二次多项式响应面模型的精度和计算效率，并将其运用于大跨连续刚构桥长期变形预测；李延强等[9]采用F检验法进行参数的显著性分析，以二次多项式拟合响应面模型，对比了考虑交叉项和不考虑交叉项对斜拉桥模型的修正结果；宗周红、刘杰等[10-11]采用高阶响应面模型应用于桥梁结构的损伤识别。张建伟等[12]采用基于方差分析的F检验法，对响应面模型参数进行显著性检验，并将优化后的响应面模型应用于某大型渡槽结构的有限元模型修正；蒙伟等[13]分析了F检验和t检验的特点，采用了一种能直观方便地判断回归模型和回归系数显著性的p值法检验，并将其应用于初始地应力场的反演分析。

为获得软基水闸底板脱空反演中最佳的响应面模型，本文提出了一种基于显著性检验的响应面模型优选与优化方法。首先，采用拉丁超立方抽样(LHS)获得脱空参数样本集，并将其输入水闸有限元模型计算相应的模态参数集，以此构建表征脱空参数与模态参数之间非线性关系的多种不同形式的响应面模型；其次，对不同形式的响应面模型进行F检验，综合考虑精度和效率，优选形式最佳的响应面模型；然后，对形式最佳的响应面模型进行t检验，优化响应面模型的参数，剔除对模态参数影响不足的脱空参数及其组合(赘余项)以获得最佳的响应面模型；最后，将最佳的响应面模型应用于软基水闸物理模型的底板脱空反演，验证方法的有效性。

1 响应面模型优选与优化

1.1 拉丁超立方抽样试验设计

试验样本的选取方法与数量关系到响应面模型的精度和效率，以及分析结果的准确性[14]。采用拉丁超立方抽样试验设计，能够以少量的脱空参数样本，全面而准确地反映软基水闸底板脱空的分布情况。采用LHS生成脱空参数样本集思路如下[15-16]：

然后，根据脱空参数的概率分布情况，对每一个子区间进行独立的等概率抽样，第j个子区间抽样获取的脱空参数值dij满足以下关系：

(1)

式中：dij表示第i个脱空参数在第j个子区间的抽样值；r表示服从[0,1]均匀分布的随机数；m表示脱空参数的个数，即抽样维度；n表示子区间数，即抽样组数。

最后，将各子区间生成的样本点汇总成样本集，对各脱空参数的抽样值随机组合形成多维脱空参数样本集。

1.2 响应面模型

有限元模型结构复杂，单元庞大，难以进行反分析计算。合理构建脱空参数与模态参数(固有频率和节点振型)之间的响应面模型代替有限元模型，是进行软基水闸底板脱空反演的基础。本文采用的响应面方程为基于Taylor展开的多项式函数，响应面方程如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：α表示频率响应面方程的待定系数。

响应面模型的构建思路：首先，通过LHS获取脱空参数样本集；其次，将脱空参数样本集输入有限元模型中，计算相应的模态参数集；然后，根据脱空参数集和模态参数集，以上述7种不同形式的多项式函数构建响应面方程组；最后，根据多元回归分析确定响应面方程组的待定系数，从而建立7种不同形式的响应面模型。

1.3 显著性检验

为获得软基水闸底板脱空反演中最佳的响应面模型，采用显著性检验对响应面模型进行优选与优化。首先，基于回归模型的显著性检验(F检验)，对上述7种不同形式的响应面模型进行显著性分析，优选形式最佳的响应面模型；随后，基于回归系数的显著性检验(t检验)，对形式最佳的响应面模型的回归系数进行显著性分析，优化响应面模型的参数，得到最佳的响应面模型。

1.3.1F检验

H0:αi=αii=αiii=αiiii=αij=αijk=αiij=0

(10)

式中：H0表示频率响应面模型的检验状态。

利用方差分析法，计算上述7种响应面方程的F统计量，公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

1.3.2t检验

H0:αI=0，I∈{i,ii,iii,iiii,ij,ijk,iij}

(15)

式中：H0表示频率响应面模型回归系数的检验状态。

可由以下公式计算响应面方程中每一项回归系数的TI值：

(16)

(17)

(18)

(19)

1.4 响应面模型评价指标

在响应面方程形式持续复杂化的过程中，响应面模型的精度必然会一步步提高，与此同时，拟合响应面以及进行软基水闸底板脱空反演的效率必然会有所降低。因此，在优选形式最佳的响应面方程时，需综合考虑精度和效率两方面的影响。本文采用3个精度评价指标和1个效率评价指标来衡量响应面模型的优劣。

1.4.1 精度评价指标

(20)

(21)

相对均方根误差RMSE′反映响应面模型模态参数的输出值与有限元模型模态参数的计算值之间的误差，其表达式如下：

(22)

相对均方根误差RMSE′绝对值(经归一化之后的振型存在负值)越小，表明响应面模型模态参数的输出值与有限元模型模态参数的计算值之间的误差越小，响应面模型精度越高。

以上两种评价指标均表示响应面模型的整体精度，而每一组脱空参数样本点对应的响应面模型模态参数的输出值与有限元模型模态参数的计算值之间的相对误差Rsp，能够有效地评价响应面模型点对点的拟合精度，其表达式如下：

(23)

对所有的脱空参数样本点对应的模态参数由式(23)遍历，设定阈值为5‰[17]。对LHS的所有样本点，超出阈值的个数越少，Rsp max越小，响应面模型精度越高。

1.4.2 效率评价指标

效率是检验响应面模型的拟合过程以及在代替有限元模型进行软基水闸底板脱空反演过程中耗时是否经济合理的重要指标。考虑到不同计算机之间的差异性，计算耗时并不适合直接作为效率评价指标。在利用多元回归分析拟合响应面方程中，待定系数越多，拟合效率越低，此外，在进行软基水闸底板脱空反演中，响应面模型的参数越多，反演效率越低，因此，以响应面方程展开后的项数K作为响应面模型的效率评价指标是合理可行的。响应面方程展开后的项数K越小，响应面模型效率越高。

1.5 响应面模型优化流程

基于显著性检验的软基水闸底板脱空反演中响应面模型优选与优化流程图如图1所示。

图1 软基水闸底板脱空反演中响应面模型优选与优化流程图Fig.1 Flowchart of response surface model selection and optimization in the inversion for the floor void of sluice on the soft foundation

2 软基水闸物理模型验证

2.1 软基水闸物理模型基本概况

以某水闸工程为背景实例，制作一单孔软基水闸室内物理模型[4]。基于水闸物理模型，采用人工掏空的方式对水闸模型底板顺水流方向进行了单侧型和双侧型随机脱空模拟，并测量脱空纵深，如图2所示。在描述底板脱空范围的数学模型中[3]，采用5个参数描述单侧脱空(即m=5)；10个参数描述双侧脱空(即m=10)。脱空模拟共分为3种工况：其中，工况一和工况二为单侧脱空，工况三为双侧脱空。不同工况下的脱空参数di如表1所示。

(a) 物理模型脱空

表1 水闸物理模型底板脱空工况及脱空参数Tab.1 Void conditions and void parameters of the sluice physical model bottom plate

2.2 构建响应面模型

根据水闸物理模型尺寸，结合工程经验，将底板脱空的抽样范围确定为上游侧[0,0.65]m，下游侧[0,0.4]m。单侧脱空和双侧脱空的抽样维度分别为5和10，采用LHS生成2 000组脱空参数样本。将脱空参数样本集输入水闸有限元基准模型中，计算与之相应的模态参数，提取前四阶频率和振型，分别构建脱空参数与频率和振型之间的响应面模型。

2.3 优选与优化响应面模型

2.3.1 优选响应面模型的形式

以双侧脱空，频率响应面模型为例，对响应面模型进行F检验，F统计量及其临界值如表2所示，可知，7种响应面方程的F统计量远大于临界值，表明7种响应面模型均能准确有效地代替有限元模型。此外，第三阶响应面模型的F统计量比其余三阶都小，表明第三阶模态参数样本变异性更大，对脱空参数的敏感性更高。

表2 7种频率响应面模型的F统计量及其临界值(双侧脱空)Tab.2 F statistics of seven frequency response surface models and their critical values (two-sided void)

表3 7种频率响应面模型的整体精度(双侧脱空)Tab.3 Overall accuracy of seven frequency response surface models (two-sided void)

表4 7种频率响应面模型的样本点精度(双侧脱空)Tab.4 Sample point accuracy of seven frequency response surface models (two-sided void)

表5 7种响应面模型的效率Tab.5 Efficiency of seven response surface models

2.3.2 优化响应面模型的参数

(a) 第一阶

根据图3可以直观地看出对频率响应影响不足的脱空参数及其组合，将各阶频率响应面方程中的赘余项剔除，常数项及保留项所构成的响应面方程为最佳的响应面方程，经参数优化的响应面模型即为最佳的响应面模型。

2.4 结果验证

为验证经显著性检验的响应面模型的优越性，将最佳的响应面模型应用于软基水闸底板脱空反演，并将反演结果与参考文献[4]对比。不同工况下水闸底板脱空控制参数反演值与实际值如表6所示、识别的脱空面积及趋势与实际脱空如图4所示、识别的脱空面积与实际的脱空面积之间的相对误差如表7所示，同时，为更准确衡量反演结果的准确性，本文提出了一种更为科学合理的评价指标——面积不重合度，即识别脱空与实际脱空不重合部分的面积在实际脱空的面积占比。从反演识别结果来看，识别脱空与实际脱空能较好地吻合，3种工况下水闸底板脱空反演结果与实际脱空的面积不重合度分别为14.79%，5.46%，7.36%，相比参考文献[4]的反演结果有了较大的提升，验证了本文方法的有效性。

表6 不同工况下脱空参数反演结果Tab.6 Inversion results of void parameters under different conditions

(a) 工况一

表7 识别脱空面积与实际脱空面积的相对误差Tab.7 Relative error between the identify void area and the actual void area

3 结论

(1) 基于显著性分析，采用F检验，从7种不同形式的响应面模型中优选出形式最佳的响应面模型；随后，对形式最佳的响应面模型的脱空参数及其组合进行t检验以删除赘余项，建立了能够准确高效地代替有限元模型的响应面模型。

(2) 提出了采用面积不重合度来衡量反演结果的准确性，使得软基水闸底板脱空识别的精度评价更加科学合理。

(3) 将经显著性检验获得的最佳的响应面模型应用于软基水闸底板脱空反演，结果表明：识别脱空与实际脱空能够较好地吻合，3种工况下的水闸底板脱空反演结果与实际脱空的面积不重合度分别为14.79%，5.46%，7.36%，提高了反演精度，验证了本文方法的有效性。