含阻尼多裂纹Euler–Bernoulli 曲梁强迫振动的Green 函数解1)

赵 翔 李思谊 李映辉

*(西南石油大学土木工程与测绘学院，成都 610500)

†(西南交通大学力学与工程学院，成都 610500)

近年来，曲梁凭借着承载力高，造型独特等特点广泛应用于现代结构工程中[1-2]，例如涡轮等高速机械构件、飞机机身、潜艇与舰船的外壳以及许多轻型的结构和桥梁[3]。Fu 等[4]提出了由曲梁单元组成的网格结构的设计策略，为机械超材料开发提供了理论依据。Huang 等[5-6]对复合材料薄壁曲梁的稳定性进行了分析，并考虑弹性约束的边界条件，分析了复合材料层合曲梁的非线性稳定性。曲梁的振动分析一直是国内外研究的热点问题。Chidamparam 等[7]研究了预应力静力平衡状态下平面曲梁、圆环和拱的自由振动问题。Riedel 等[8]研究了中间弹性支承的双跨Euler–Bernoulli 曲梁的自由振动响应。赵翔等[9]运用Laplace 变换法，研究了Timoshenko 曲梁在强迫振动下的Green 函数。何燕丽等[10]运用Green 函数法求解了曲梁压电浮能器Prescott 模型的Green 函数解。此外，有限元法[11-13]在研究曲梁动力分析中也被广泛采用。

梁构件的损伤问题在实际工程中普遍存在，梁结构通常带裂纹工作[11]。裂纹的存在会降低结构的刚度，从而影响结构的动力特性(固有频率、振型和阻尼比)[14-15]。因此，研究带裂纹曲梁在外激励作用下的动力特性具有实际意义。目前针对多裂纹Euler–Bernoulli 曲梁(Euler–Bernoulli curved beam，ECB) 强迫振动问题的研究还较少，多数是对含裂纹的直梁振动的研究。Ghondos 等[16]针对含开口裂纹的Euler–Bernoulli 梁的横向振动问题，建立了连续裂纹梁振动理论。Caddemi 等[17-18]求解了含多个集中裂纹Euler–Bernoulli 梁和柱的精确的闭式解。Zhao 等[19]利用裂纹截面的不连续斜率模型和Abu-Hilal[20]的工作，给出了Euler–Bernoulli 梁强迫振动下的格林函数解。Chen 等[21]得到了具有阻尼效应的多裂纹Timoshenko 梁强迫振动的闭式解。

经调研发现，对多裂纹曲梁强迫振动问题的研究十分有限。因此，本文给出了多裂纹ECB 的强迫振动的精确闭式解。根据裂纹截面位置的连续性条件[22]以及Zhao 等[19]和Chen 等[21]的工作建立多裂纹ECB 的Green 函数表达式，式中的未知常数由边界条件确定。验证研究结果的有效性，讨论一些几何物理量的影响。

1 具有阻尼效应的ECB 强迫振动的Green函数

本文研究了半径为常数的多裂纹Euler–Bernoulli 曲梁振动模型，如图1 所示，不考虑转动惯量和剪切变形。梁高h，梁宽b的曲梁梁长为L，半径为R，在x=x0处受到简谐集中力P0eiΩt的作用。假设曲梁模型上存在n个开口裂纹，将曲梁分成了长度为Li(i=1，2，...，n+1) 的n+1 个完整段，根据文献[19] 中提出的坐标系建立方法，在多裂纹ECB 模型中建立n+1 个局部坐标系oixiyi(i=1，2，...，n+1)。另外，采用等效无质量扭转弹簧模型来描述曲梁裂纹位置的力学行为。图1 中，Ji(i=1，2，...，n) 表示第i个裂纹处的等效扭转弹簧的局部柔度，是弹簧刚度Keq的倒数，可表示为

图1 含n 个裂纹的两端简支ECB 在x=x0 处受到简谐力P0eiΩt 作用

其中h′=hc/h是裂纹深度与曲梁高度的比值。

在考虑裂纹影响之前，首先要求解出ECB 强迫振动的Green 函数。根据赵翔等[9]的研究，已经系统地求解出了Timoshenko 曲梁在强迫振动下的稳态Green 函数解。本文在此基础上得到了强迫振动ECB 的Green 函数解。在此对其过程做简单说明。

引入ECB 控制方程[9]

式中W(x)是曲梁的径向位移，W′′，W(4)，W(6)是径向位移的各阶导数，P(x) 是曲梁受到的简谐作用力，常数ai(i=1，2，3)，bi(i=1，2) 分别定义为[9]

其中c1为阻尼系数，μ是单位长度质量，Ω是外激励频率，A是曲梁横截面面积，E是弹性模量，EI表示抗弯刚度，EA是抗拉刚度。

ECB 的Green 函数G(x;x0) 是指曲梁在x0处受到单位集中力时稳态响应的挠度，是式(3) 的解

式中δ(·) 是狄拉克函数。

通过叠加原理和Laplace 变换可以得到Green函数

其中，未知常数W(0)，W′(0)，W′′(0)，W′′′(0)，W(4)(0)，W(5)(0) 分别为W(x) 在x= 0 处的各阶导数，可以由曲梁两端的边界条件确定；H(·)是单位越阶函数；φi(x) (i= 1，2，···，7) 与Ai(x)(i=1，2，···，6) 定义为

si(x)(i=1，2，···，6) 是式(7) 有关频率Ω的代数方程的根

曲梁的动力学分析要比直梁模型复杂很多，需要考虑曲梁的轴向位移、径向位移以及耦合位移等。因此为了研究裂纹曲梁的力学行为，还需要求解出轴向位移V(x) 的Green 函数。Green 函数为

比较式(4)和式(8)发现，轴向位移和径向位移的格林函数的数学形式相同，所含的未知常数也相同，并且这些常数都与零点有关，可以利用这一特征简化计算过程。

2 多裂纹ECB 的Green 函数解

两端简支的曲梁边界条件(轴向位移与径向位移为零，弯矩为零)[22]可以确定位移和力学边界:W1(0) = 0，V1(0) = 0，W′′1(0) = 0，Wn+1(0) =0，Vn+1(0)=0，W′′n+1(0)=0。

局部坐标系下的Green 函数 ¯Gi(xi;xi0) (i=1，2，···，n+1) 表达式为

2.1 裂纹截面处的转换关系

其中F(x)，M(x)，Q(x) 是曲梁的轴力、弯矩以及剪力，θ(x) 是截面转角，分别为

由式(15) 可知，在第i(1 ≤i ＜n) 裂纹截面处的转移关系可由式(17) 获得

将式(10) 代入式(18) 得到

其中

另外

2.2 确定未知常数

ECB 被裂纹分成的每一段都有6 个未知常数，共有6n+6 个未知常数需要定义。曲梁在左端x=0处的边界条件可以把第1 段的6 个未知常数减少至3 个，同样在右端x=L处的边界条件可以把第n+1段的未知常数减少到3 个。最后由转换关系式(17)和式(21) 确定其余常数，从而得到一个只含有6 个未知常数的方程。

裂纹曲梁第1 段和第n+1 段的未知向量为

由式(17) 可知，U1和Un的关系为

将式(23) 代入式(21) 得到

式(24) 已经完成了减少变量的过程，是只有六个未知常数D1，E1，F1，Dn+1，En+1，Fn+1的方程，其余向量Ui(i=2，3，···，n)可通过式(17)定义。另外推导出含n个裂纹曲梁的频率方程，如式(25)

其中

式中，

2.3 坐标变换

3 数值结果与讨论

在本节中，考虑一个两端简支的ECB，在x=2/L处受到单位简谐集中力作用。为了方便起见，引入无量纲化参数

3.1 解的有效性验证

本小节验证了多裂纹ECB 强迫振动解析解的有效性。在上文中已经提到使半径趋于无穷大，ECB的Green 函数解可以退化为EB 的Green 函数解，因此将本文的退化解与文献[19] 进行对照。如图2所示，设定相同的材料参数与裂纹参数，对照结果表明本文结果的退化解与文献[19] 中的结果基本一致。但存在些许误差，原因是曲梁半径无穷大不可能真实存在，本文设置R= 10 000 m 得到的结果已经与文献基本吻合。因此这一误差并不影响本文解的有效性验证。另外还建立了两端简支EB 的有限元模型，对比了本文的退化解与有限元算例的位移解，结果基本吻合，从而进一步验证了解的有效性。

图2 在简谐激励下梁稳态响应时各点简谐运动的幅值曲线(h′ =0.2)

3.2 几何物理参数对ECB 振动响应的影响

本节内容分别分析了裂纹深度、裂纹位置、曲梁半径对振动响应的影响以及双裂纹之间的相互影响。

图3(a) 和图3(b) 所示是以裂纹深度h′和裂纹位置L′为自变量时的无量纲化的挠度g(ξ;0.5)，其横坐标是无量纲化的曲梁的跨度ξ，从图中可以看出挠度随着裂纹深度h′和位置L′的增大而增大。从物理意义看，曲梁上产生最大挠度的位置也发生了变化，如果裂纹深度较大或者裂纹位置较靠近跨中，裂纹处的挠度就会大于跨中挠度；相反，裂纹深度较小或者裂纹位置远离跨中，曲梁的最大挠度仍在跨中产生。

图3 ECB 的无量纲化位移g(ξ，0.5)(R =2，垂直虚线表示裂纹位置)(续)

图3 ECB 的无量纲化位移g(ξ，0.5)(R =2，垂直虚线表示裂纹位置)

图4 是不同半径下的ECB 无量纲化的挠度g(ξ;0.5)，其横坐标是无量纲化的曲梁的跨度ξ。从图中可以看出，随着半径的减小，ECB 的挠度逐渐减小，最大挠度也逐渐接近裂纹位置。

图4 不同半径下ECB 的无量纲化位移g(ξ;0.5) (h′ =0.3，垂直虚线表示裂纹位置)

假设两个裂纹深度相同并且在曲梁上的位置中部对称，可表示为±L′(0 ≤L′≤0.5)。为了研究双裂纹曲梁中两个裂纹之间的相互作用，引入两个裂纹深度相同的单裂纹梁，位置表示为+L′，-L′。图5 所示是ECB 无量纲化的挠度g(ξ;0.5)，其横坐标是无量纲化的梁的跨度ξ。图中填充区域的面积表示两个裂纹之间相互作用的强度，面积越小，挠度g(ξ;0.5;±1/5) 和gsum(ξ;0.5) 之差越小，相互作用越明显，反之亦然。

图5 ECB 的无量纲化位移g(ξ;0.5)(h′ =0.3，垂直虚线表示裂纹位置)

4 结论

本文研究了多裂纹ECB 强迫振动的Green 函数解，适用于不同边界条件下的ECB。数值计算中，通过将多裂纹ECB 退化解与多裂纹EB 模型文献解和有限元算例的位移值比较，验证了解的有效性。通过探究裂纹深度、裂纹位置、曲梁半径对曲梁挠度的影响，得出以下结论：(1) 随着裂纹深度和裂纹位置的增加，ECB 的无量纲挠度逐渐变大；(2) ECB 无量纲挠度随着半径的增加而增大；(3)以双裂纹梁为例，研究了裂纹之间的相互作用，用响应挠度曲线之间的面积表示了相互作用的强度。文中所研究的理论公式可为相关领域的分析和计算提供理论参考。