变速移动载荷作用下黏弹性地基梁动力响应1)

彭伯伦 江 杰， 任浩熙 陈思达，

*(中国建筑第八工程局有限公司，南宁 530000)

†(广西大学土木建筑工程学院，南宁 530004)

**(工程防灾与结构安全教育部重点实验室，南宁 530004)

††(广西防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁 530004)

在研究公路路面、机场道面和列车轨道的动力响应问题上，通常将其视为移动载荷作用下的黏弹性地基梁或地基板模型，很多学者对这个问题做了大量的研究工作[1-4]。Kenney[5]较早地对Winkler地基模型上的Euler–Bernoulli 梁进行了研究，得到匀速移动集中载荷作用下梁挠度的解析解，并得出了无限长梁速度和阻尼的临界值。Sun[6]运用Fourier变换和留数定理推导得到了黏弹性地基梁的稳态响应封闭解，并研究了不同速度和阻尼情况下梁挠度的变化规律。Kargarnovin 等[7]和Cao 等[8]进行了弹性Pasternak 地基梁在移动集中载荷下的振动分析，结果表明在研究梁挠度时，不能忽略地基剪切模量的影响。时伉丽等[9]利用二重Fourier 变换和留数定理，对黏弹性Pasternak 地基梁的挠度响应进行求解，最后得到了在复数域上的封闭解，并着重分析了地基黏性和剪切力的作用。

以上研究在建立模型时，都只考虑了处于匀速运动状态下的载荷，忽视了载荷在变速运动下的影响。在实际工程如列车出入站、飞机起降和车辆启动等过程中的速度都不是恒定的，目前还十分缺少对于路面结构在速度变化的载荷作用下的动力响应分析。许多研究考虑了加速度的影响，如Niki 等[10]研究了变速移动载荷作用下Winkler 地基有限梁的动力响应，并对单轴和双轴车辆载荷进行了参数化分析。Edmond 等[11]则利用在空间上Fourier 变换和在时域上Laplace 变换的方法，得到了变速载荷作用下黏弹性地基梁一般解，研究结果表明加速度和初速度的增大导致了梁挠度的减小。陈上有等[12]用变速移动载荷模拟车辆变速通过桥梁，将车辆载荷化简为两种变速移动载荷，研究表明桥梁的挠度受到载荷初速度、加速度大小的影响。王少钦等[13]通过振型叠加原理，建立了匀变速移动载荷通过简支梁桥的动力平衡微分方程，并对车桥共振的现象进行了分析。上述变速移动载荷的研究中，模型的建立采用的是Winkler 地基，忽视了土体的剪切作用，误差会有所增大[14]。

本文基于以上研究，采用了能够反映土体弹簧剪切相互作用的Pasternak 地基模型。首先建立了位于Pasternak 黏弹性地基上有限长梁振动微分控制方程。然后基于振型叠加法得到了在变速载荷作用下梁挠度的表达式，最后采用Gauss–Legendre 求积公式对梁的挠度进行求解，接着对移动载荷的加速度、初速度及地基梁参数进行分析，得出其对梁挠度的影响。

1 基本控制方程及其解

假设一个位于黏弹性Pasternak 地基上的Euler–Bernoulli 有限长梁，在其表面受到一个变速移动的集中载荷P(x，t)，载荷以某一速度v(t) 沿着x正方向移动，如图1 所示。其中，EI为梁的抗弯刚度，m为单位长度质量，k为地基的弹性模量，c为地基的阻尼系数，Gp为地基的剪切力。

图1 黏弹性地基梁模型

令t时刻梁上x处的挠度为w(x，t)。根据经典弹性地基梁理论，在笛卡尔坐标系下的动力控制方程可写成[9]

为了得到式(1) 的解，采用振型叠加法进行相应地变换，最后转换成广义坐标下的动力平衡方程，根据文献[15]，w(x，t) 解的假设形式为

式中，Xi(x) = sin(iπx/l)(i= 1，2，···，n) 表示振型函数，Ti(t) 为对应的广义坐标。

将式(2) 代入式(1) 后得

式中P(x，t) 为作用在梁表面的移动载荷，可表示为

式中δ(·)为单位脉冲函数，又称为Dirac 函数，有以下性质定义

式(4) 中x0表示载荷作用的位置，基于本文的假设，将载荷的速度看成是随时间变化的函数，即当初速度为v0、加速度为a时，载荷作用位置可表示为

将式(3)两端乘以Xn(x)，并对x进行积分，根据振型函数的正交性化简，可以得到有限长梁的第n阶振型的运动方程

式中βn和ξn表达式分别为

式(7) 的解可由Duhamel 积分形式表示为

采用MATLAB 对式(10) 进行数值积分，通过自适应步长的Gauss–Legendre 求积公式进行计算，然后将计算得到的Tn(t) 代入式(2) 就可以得到挠度的数值解。为了提高计算精度，在本文计算中取n=100。

2 算例对比验证

为了验证本文的正确性，当加速度退化为0 时，将本文计算得到的结果与文献[16] 进行对比，计算参数如下：梁弹性模量E= 201× 109Pa，截面的惯性矩I= 3.05× 10-5m4，单位长度质量m= 60.37 kg/m，文献[17] 指出当有限长梁长度为50 m 时可以近似等同于无限长梁，即取l= 50 m，地基弹性模量k= 3.5×107Pa，地基阻尼系数c=1.73×106N/(m/s)，地基剪切力Gp=6.67×107N，移动载荷速度v0=50 m/s，载荷幅值P=6.5×104N。图2 可以看出本文的退化结果与文献[16] 的计算结果吻合较好，从而验证了本文解的正确性。

图2 本文结果和文献[16] 结果的比较

3 参数研究

前述验证了变速移动载荷作用下地基梁挠度解的正确性，从式(1) 可以看出地基梁挠度与载荷加速度、初速度以及地基参数有关，在此着重研究上述影响因素对地基梁挠度的影响。假设载荷从坐标原点出发，向着x正方向移动，运动方式为变速运动。取载荷幅值P= 100 kN，梁采用的是UIC260钢轨模型[14]，其参数为EI=6.12×106N·m2，m=60.34 kg/m，在实际工程中，无限长梁能够更好地模拟实际路况，取l= 50 m，假设地基弹性模量Es= 50 MPa，泊松比ν= 0.3，地基阻尼系数c=1.73×106N/(m/s)，土层厚度H=10 m，Pasternak地基模型的参数可以通过简化弹性空间法[14]得到，计算公式为

3.1 不同位置处挠度变化

图3 为移动集中载荷在加速度a=10 m/s2，初速度v0= 10 m/s 时，黏弹性地基梁在x= 10， 25，40 m 处的挠度随时间变化曲线。图中竖虚线表示的是移动载荷作用在x=10， 25， 40 m 上的时刻，可以发现梁挠度最大值并不是发生在载荷作用时刻，而是出现在移动载荷离开该点后的某一刻，这个现象称为时间滞后现象。这三点处的挠度随时间变化曲线类似，仅仅是幅值不同。

图3 不同位置处挠度随时间变化曲线

3.2 初速度影响

图4 计算的是梁上一点在移动集中载荷加速度为a= 10 m/s2的情况下，初速度对梁挠度变化的影响。从数值上进行观察，通过将初速度从10 m/s增大到100 m/s，梁挠度的最大值相对减少了大约72.66%，可见初速度变化对梁挠度的影响十分显著。图5 为对应的载荷作用时刻，梁上各点挠度的变化规律，可以看出，速度的改变并没有对滞后现象造成影响，挠度最大值仍旧出现在载荷作用的后方。

图4 不同初速度下挠度随时间变化规律

图5 不同初速度下载荷作用时刻梁上各点的挠度

3.3 加速度影响

图6 表示了在初速度为10 m/s 的情况下，不同加速度对梁挠度变化规律的影响。与初速度的影响近似，通过赋予移动载荷不同的加速度，载荷通过加速移动到达梁上一点时，梁的挠度呈现先增大后减少的现象，并且挠度大小最后会趋于0。从梁挠度数值上看，通过将加速度从0 增大到100 m/s2，梁挠度最大值相对减小了大约39.5%，可见载荷加速度对梁动力响应的影响同样不可忽视。图7 为对应的载荷作用时刻梁上各点挠度的变化规律，可以看出，加速度的改变并没有对滞后现象造成影响，挠度最大值仍旧出现在载荷作用的后方。

图6 不同加速度下挠度随时间的变化

图7 不同加速度下载荷作用时刻梁上各点的挠度

3.4 地基剪切力影响

图 8 计算了移动集中载荷在初速度v0=10 m/s、加速度a= 10 m/s2的情况下，地基剪切力对梁挠度变化规律的影响。图上清楚地展现出地基剪切力对梁挠度变化有着较大影响，地基剪切力从0(退化为Winkler 地基模型)增大到12.8×107N时，梁的挠度最大值减少了40.61%，并且当不考虑剪切力时，梁还会出现一定的负挠度，地基剪切力增大后，梁的动挠度会变小。造成这种情况的原因是，Pasternak 地基模型考虑了土体弹簧之间剪切相互作用的影响，这种相互作用可以有效地抑制梁的振动，所以从最后的计算结果上看，在考虑了地基剪切力影响的Pasternak 地基模型计算结果要比在Winkler 地基模型的计算结果小。由此可知，在计算黏弹性地基梁的动力响应时，不能够忽略地基剪切力的影响。此外，从图上还可以看出，地基剪切力的增大，使得梁挠度变化曲线整体向左偏移，即地基剪切力对动力响应的滞后有一定影响。

图8 不同剪切力下挠度随时间的变化规律

3.5 地基弹性模量影响

图 9 显示了移动集中载荷在初速度v0=10 m/s、加速度a=10 m/s2的情况下，地基弹性模量对梁挠度变化规律的影响，地基弹性模量的取值有2.5，5，7.5，10 MPa。从图上可以看出，地基弹性模量对梁的动挠度有着十分明显的影响，但弹性模量在不同范围的影响不同。当地基弹性模量从2.5 MPa增大到5 MPa 时，梁挠度减少了大约15.96%，而当弹性模量从7.5 MPa 增大到10 MPa 时，梁挠度只减少了大约9.49%。此外，随着地基弹性模量的改变，梁挠度变化曲线的总体趋势没有改变，说明动力响应的滞后现象与弹性模量没有关系。

图9 不同弹性模量下挠度随时间的变化规律

3.6 地基阻尼影响

关于不同初速度下阻尼对地基梁动力响应影响方面的研究已有学者做了相关工作[18]，在此本文仅对不同加速度情况进行研究。图10 显示了移动集中载荷在初速度为v0= 10 m/s，加速度分别为a=10 m/s2，a=50 m/s2的情况下，阻尼对地基梁挠度变化规律的影响。比较两个图可以发现，当地基阻尼从1.73×105N/(m/s)增大到3.64×106N/(m/s)，在加速度为10 m/s2时梁挠度最大值减少了44.96%，在加速度为50 m/s2时梁挠度最大值减少了65.88%，加速度较大时地基阻尼的影响更为显著。此外，随着地基阻尼的增大，梁挠度曲线明显向右偏移，即梁挠度最大值出现的时间发生了滞后。当地基阻尼较小时，梁挠度变化曲线是关于载荷作用时刻对称的，而随着阻尼的增大，梁挠度变化曲线的不对称性愈发明显，因此阻尼是导致动力响应发生延迟的原因。

图10 不同阻尼下挠度随时间的变化规律

为更近一步研究地基阻尼对梁挠度最大值的影响，图11 显示了在不同载荷加速度的情况下，地基阻尼对地基梁挠度最大值的影响规律。从图上可以发现，在无地基阻尼和较低地基阻尼情况下(c ＜260 kN/(m/s))，移动载荷的加速度越大，产生的梁挠度最大值就越大，而当地基阻尼较大时(c ＞260 kN/(m/s))，移动载荷的加速度越大，产生的梁挠度最大值就越小。此外还可以得出，移动载荷的加速度较小时，地基梁挠度最大值随地基阻尼的增大衰减较慢，而当移动载荷的加速度较大时，地基梁挠度最大值随地基阻尼的增大衰减较快。

图11 挠度最大值与地基阻尼的关系

4 结论

本文对Pasternak 黏弹性地基上有限长梁在变速移动载荷作用下的梁挠度进行了解析推导，得到了梁挠度的积分表达式，从中得出以下几个结论：

(1) 其他条件相同时，载荷初速度从0 增大到100 m/s 时，梁的挠度最大值减小了大约72.66%，加速度从0 增大到100 m/s2时，梁挠度最大值减小了大约35.9%。

(2) 梁挠度与弹性模量、地基剪切力密切相关。增大弹性模量可以有效抑制梁的振动；对于地基剪切力，地基剪切力从0 增大到12.8×107N 时，梁的挠度幅值相对减少了40.61%。地基弹性模量不影响动力响应的滞后现象，而地基剪切力增大，梁挠度曲线向左偏移，说明地基剪切力对滞后现象有削弱的作用。

(3) 当地基阻尼从1.73× 105N/(m/s) 增大到3.64×106N/(m/s) 时，在加速度为10 m/s2时梁挠度最大值减少了44.96%，在加速度为50 m/s2时梁挠度最大值减少了65.88%，加速度较大时地基阻尼的影响更为显著。

(4)在研究不同加速度下，地基阻尼对梁挠度最大值影响时发现，当地基阻尼小于260 kN/(m/s)，梁挠度最大值会随着载荷加速度的增大而增大，而当地基阻尼大于260 kN/(m/s)，梁挠度最大值会随着载荷加速度的增大而减小。