小学数学教学“大道理”之深析

□ 郑毓信

笔者在《研究背景与基本立场》[1]一文中曾提到过这样一个观点：数学教学“应当突出‘大道理’，真正做到‘以大驭小’”。但究竟什么是这里所说的“大道理”的具体含义与主要作用？我们又应如何去理解文中所提及的关于小学数学教学的几个“大道理”？以下就对此做出具体分析。

一、关于“大道理”的道理

“大道理”是近年来教育领域中经常用到的一个词语，国际上围绕“big ideas”所开展的研究则可被看成为此提供了重要的背景，尽管现实中人们在这一方面所使用的字眼并不完全相同，包括“大思想”“大观念”“大概念”等。

笔者认为在这一概念的理解上仍有不少问题需要深入思考和剖析。如对于“大道理”的过泛解读，即将“核心概念”“核心问题”等也包括在内，或是将“big ideas”译为“大概念”，从而犯了将“概念”与“命题”混淆在一起的基本逻辑错误。

更重要的是，什么又应被看成“大道理”的主要含义？就国内而言，这是一个常见的做法，即将此与“单元教学”联系在一起；但如果局限于这一认识，对于“大道理”的提倡就没有任何新意，特别是对此很难与强调“整体性观念”做出明确的区分。笔者的看法是在此应当更加突出“大”这样一个关键字，这也就是指，我们所考察的对象未必是“单元教学”，也可以是更大的范围，如小学数学教学的全部内容，或是分别聚焦于小学“数的认识与运算”和几何内容的教学。另外还应高度重视结论的凝聚性，也即应当将所说的“大道理”归结为几个能够真正起到“以大驭小”作用的普遍性结论。总之，就“大道理”的提炼而言，既应重视视角的广度，也应关注分析的深度，由此才能引出真正的“大道理”。

例如，就小学“数的认识与运算”的教学而言，笔者曾有过这样一个总结：“应当很好地突出‘比较’这样一个核心概念，并帮助学生实现这一方面认识的不断深化，包括对于‘大小’‘倍数’‘分数’‘比’等概念的理解，并逐步学会从上述角度从事数量关系的分析。”但这显然只是对于相关教学目标的一个概述，而未能真正起到“以大驭小”的作用，从而就不能被看成是真正的“大道理”。

以下再联系张奠宙先生等人的《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书对此做出进一步的分析。正如其名称所表明的，这也体现了关于“大道理”的一种理解，尽管其主要是就小学数学教材进行分析的。

按照张奠宙先生所说的，“大道理”主要是指“从数学的视角进行分析思考”的结果，特别是教材应当“正确反映数学的本质”，而不应在一些重要概念的理解与呈现上出现明显的错误。

相关著作共涉及28个论题。相关分析应该说都十分重要。但在笔者看来，这些还不能被看成是真正的“大道理”。因为，即使我们不去考虑“28个‘大道理’是否太多了一点”，其也应当满足这样一个条件，即超出各个具体内容采用了更加广泛的视角，并应达到更大的分析深度，从而才可能具有普遍性的指导意义。

例如，在笔者看来，这或许才能被看成是一个真正的“大道理”：“数学教学中有不少概念不宜过分强调，而应当适当地‘淡化’。”与此相对照，以下一些论述则只是这一思想的具体运用或相关实例。

“乘数、被乘数概念的过分强调，对日后的学习并无益处，反而与乘法交换律相冲突。”“大数的读法，只要把数字和它的数位读出来，别人能明白、不会误读就可以了，不要过多地拘泥于‘零’的读法问题。”“我一直不赞成用两条射线来定义角……我们可以先用两条线段定义一个角，然后发现线段长一点或短一点仍旧是这个角，于是提出一个角的相等性质……这样一来，就不必麻烦射线来帮忙了。”[2]17，11，139

应当再次强调的是，上述分析不是指相关论述不重要，而是指它们不能被看成真正的“大道理”，因为，它们未能达到这样两条标准：第一，具有更大的普遍性；第二，达到了更大的分析深度。

当然，对于这方面的具体工作，我们又不应停留于“数学中有些概念应当适当地‘淡化’”这样一个论述，而应进一步指明相关教学所应注意的问题，包括帮助广大教师更好地认识到做好这方面工作的重要性。因为，这正是当前十分普遍的一个现象，即不少教师要求学生无一遗漏地去背诵所遇到的各个概念，乃至通过专门的习题设计，特别是考试，强迫学生牢牢地加以记忆。但是，这种面面俱到、死记硬背的做法，最终一定不可能取得很好的结果。

以下就是这方面工作应当特别重视的一些问题。

1.对数学概念的重要性做出辨识。人们往往只注意了哪些概念特别重要，乃至将其看成所谓的“核心概念”，却没有认真地去思考哪些概念不那么重要；当然，“胡子眉毛一把抓”，未能切实做好“分清主次”，这又是更加错误的一种做法。进而，相对于简单的列举而言，我们又应更加重视自身在这一方面能力的培养，因为，“重要”与“不重要”事实上只是一个相对的概念。例如，即使就一堂课的教学而言，也同样存在“分清主次”的问题。另外，这显然也是我们应当特别重视“整体性观念”指导的主要原因。

以下就是这方面的一个可能标准：相关概念的掌握对于学生的数学学习是否有重要影响？例如，我们或许可从这一角度去理解张奠宙先生的以下论述：“在教学上，背诵‘含有未知数的等式叫方程’的定义没有必要。事实上，没有人会因为没有记住这一定义就不会做数学题。”[2]41类似地，突出强调“角的边是射线”也无必要，因为，这里真正重要的是这样一个事实——“角的大小与边的长短无关”。

2.要“淡化”，不应丢弃。这事实上也可被看成美国新一轮课程改革给予我们的一个重要启示或教训：实践中人们常常“将《课程标准》中所列举的应当淡化的论题（topics to receive decreased attention）不恰当地解释成应把这些论题从学校数学课程中完全舍去”，这当然是一个严重的错误。[3]

在笔者看来，我们可从同一角度去理解张奠宙先生多次强调的这样一个思想：小学生对于数学概念的理解“可以混，但不能错”。例如，尽管不应过分强调乘数与被乘数的区分，但如果将“乘法交换律”归结为表述方式的不同，即只是在学习乘法的过程中简单地去提及“2×7=14”也可写成“7×2=14”，就不能不说是一个严重的错误。因为，“乘法交换律只是说交换次序相乘之后其结果相同，没有说这两个过程相同”。[2]15

进而，这或许就可被看成对于所说的“混”的一个具体解释：学生对于一些数学概念的理解在学习时可能不那么清楚，但在大多数情况下所说的情况又会随着学习的深入自然而然地得到解决。

3.淡化形式，注重实质。相对于上述分析，我国已故著名数学家陈重穆先生的以下主张应当说具有更大的重要性：“淡化形式，注重实质。”因为，这不仅清楚地表明了教学中“不应做什么”，也包括“应当做什么”，如教学中我们“不要把概念放在最前”“不要把概念看成百分之百的不可变动、神圣不可侵犯”“不要单纯在概念本身上下功夫”，而应把重点放在对实质的领悟上，等等。[4]进而，无论相关的概念是否重要，这一思想应当说都是同样适用的，包括更高层次的数学学习，从而就是一个真正的“大道理”。

例如，就“方程”概念的教学而言，相对于要求学生简单地去背诵“含有未知数的等式叫方程”这样一个定义，我们在教学中就应更加突出这样两点：第一，引入“方程”是为了寻求未知数，这是方程的“核心价值”；第二，为了实现所说的目标，我们应注意分析未知数与已知数之间的等量关系，也即应当用“等式”将两者联系起来。另外，正如前面所提及的，就“角”的认识而言，我们也不应过多地纠缠于“角的边究竟是射线还是线段”，因为，“一条直线相对于另一条直线的倾斜度，才是角的本质”。再则，这也可被看成这方面的又一典型例子：“假分数假在哪里？”[2]41,140-141

最后，如果说先前的论述已清楚地表明数学概念的教学应当突出“辨”这样一个关键字，即很好地弄清什么是真正重要的，什么是不那么重要的，那么，对此我们还应赋予其另一重要的含义，即应当弄清概念的本质，什么则是不那么重要的“形式”。

另外，正如笔者在《研究背景与基本立场》一文中所指出的，除去“辨”以外，“带”也是概念教学十分重要的一个关键词，即我们应当用重要（核心）概念的教学带动不那么重要（非核心）概念的教学。例如，在笔者看来，我们就可从后一角度更好地去理解俞正强老师的这样一个经验——“以发展代替重复”。希望广大一线教师也能通过自己的教学实践与认真的总结和研究，在这方面做出自己的贡献。

二、小学数学教学的“大道理”（1）

以下针对小学“数的认识与运算”的教学指明相应的“大道理”，我们仍然以《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书作为分析的直接背景。

具体地说，这一著作中有很多内容都可被归属于“数的认识与运算”这样一个范围，如“用温度计引入负数，并不理想”“分数是一个数”“‘文字代表数’的教学”“忽视‘包含除’后患无穷”“‘比’和‘除’不可混为一谈”等。这些论述显然都很重要，但是，按照先前关于“大道理”的解读，在此仍然有这样一个问题，即我们如何能够超出这些内容，并从更高的层面揭示出具有更大普遍性的思想或原则，也即关于“数的认识与运算”教学真正的“大道理”？

这一工作有重要的现实意义：众所周知，中小学数学教学之间存在一定的差异或间隔，这使不少小学毕业生未能很快适应中学这样一个新的环境，从而在学习上出现了一定的退步。但是，究竟什么是所说的差异或间隔的主要含义，我们又应如何去解决其对学生造成的消极影响？笔者提出这样一个想法：小学数学教学中有不少优点值得中学教师认真学习和借鉴。需要强调的是：小学教师也应为消除所说的差距做出积极努力，即应当通过自己的教学为学生的进一步学习打下良好的基础。

但这是否指小学应当尽早引入中学数学的一些内容，如负数、方程、字母代表数等？正如张奠宙先生指出的，与简单的“提前”相比，我们应当更加重视“把更高的想法、思维渗透进去”。[2]168这也就直接关系到“大道理”的提炼。

以下仍以“方程”的学习为例来进行分析。方程方法与小学生熟悉的算术方法相比在思维层面上究竟有什么不同？以下就是张先生的相关论述：

“用方程或算术方法解题的思维路线往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石，那么算术方法好像摸着石头过河，从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近对岸的未知目标；而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子抛过河，拴住对岸的未知数（建立一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。”[2]43

但是，与单纯强调思维的方向相比，笔者以为，以下的区别更加重要：算术方法主要体现的是“程序（操作）性观念”，也即集中于如何能够按照一定步骤去求得未知数；而方程方法则主要体现了“结构（关系）性观念”，也即关注未知数与已知数之间的数量关系（特别是等量关系），包括如何通过用文字代表未知数将所说的关系清楚地表示出来，然后通过纯形式的操作去求得未知数。

由此可见，文字的引入，即用字母表示数也是中小学数学的又一重要区别。但在笔者看来，如果我们因此就认定应当“用方程思想统领文字表示数”并不恰当，因为，代数与算术的主要区别并不在于有没有用到字母，而是仅仅将此看成未知数的代表且体现了更高层次的抽象，以及研究领域的极大扩展：按照代数的观念，由字母与数组成的“式”也应被看成真正的数学对象，也即我们可以按照一定的法则对此进行组合和操作（运算）。

总之，无论单纯强调思维方向的不同，或是将“代数思想”归结为“方程思想”，应当说都是不恰当的。与此相对照，以下的论述则应引起我们更大的重视：“小学里学的数学大都是从生活到数学的，即实践型的；而学生今后学习的数学多半是从数学到生活的，即智力型的。”[2]78对此我们还应做出一定的改进：如果说小学数学特别重视与实际生活的联系，那么，中学数学就表现出了与实际生活的明确分离，也即更大的相对独立性。也正因为此，为了帮助学生更好地适应中学的数学学习，我们就应在后一方面为学生做好必要的准备，如随着学生年龄的增长，我们应更加重视按照“思维的合理发展”对于数学的发展做出说明，包括清楚地指明数学概念的学习事实上即是一个“重新建构”的过程，等等。

当然，为了提炼出相应的“大道理”，我们又应注意必要的聚焦。以下就是笔者在这方面的具体认识：小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好地掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等，并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好地认识数学与现实世界之间的关系。

以下就依据这一观点对诸多相关问题做出具体分析，从而很好地体现“大道理”所应满足的这样一个条件，从更高层面为各个具体问题提供重要指导。

具体地说，对于“结构性认识”的强调即可被看成这一论述的核心，包括“数学结构”的丰富性和开放性这样两个特征。

1.所谓“数学结构”的丰富性，首先是指数学对象之间存在多种联系，并具有“双向”的性质，或者说，我们应很好地认识“逆向思维”的重要性。

例如，从后一角度进行分析，我们就可有效地避免在“除法”问题的理解上所容易出现的“忽视‘包含除’”这样一个错误：“所谓除法，是指‘已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算’。这两个因数地位平等。例如，在分饼干的情境中，饼干总数=人数×份额。参与平均分的人数和每人分得的数量，是构成饼干这一乘积的两个地位平等的因数。这样一来，从除法的意义进行分析，等分除与包含除乃是同一情境里的两类互相依存的除法问题，可以说二者是一对‘孪生兄弟’，彼此密切相关。”[2]82

其次，“多元性”也是“数学结构”丰富性的又一重要含义，而这又不仅是指对象的多样性，也包括表征的多样性。例如，后者就是分数十分重要的一个特点；另外，以上关于“除法”不同意义的分析显然表明，所说的多样性在运算上也有直接的表现，我们可从同一角度对加减法等运算做出自己的分析。

更一般地说，笔者以为，这就是小学数学教学应当特别重视的一个问题，即应很好地处理“多”与“一”之间的辩证关系，这更直接关系到了“抽象性”这一数学的基本特征。

最后，正如笔者在《研究背景与基本立场》一文中指出的，这就是人们何以使用“结构”这一词语的主要原因，即无论就各种数学对象或是它们之间的关系，我们都可做出一定的层次区分。如“加减法”与“乘除法”显然就应归结为两个不同的层次；由数向字母（式）的过渡则清楚地表明了研究对象的不同层次。

2.教学中我们还应帮助学生很好地认识“数学结构”的发展性与开放性。例如，我们显然就应从这一角度更好地认识引入“分数”与“小数”的意义，包括“分数是一个数”这样一个结论，我们在教学中应清楚地指明相关发展的合理性和必要性，如有理数的引入主要是为了“表示意义相反的量”。[2]127,66

在此我们还应清楚地认识负数相对于分数和小数的特殊性：除去现实的需要，负数的引入也清楚地表明了从纯形式的角度进行分析研究的重要性，因为，“负数不是测量出来的。凡是能够量出来的都是正数”。进而，又如以下论述所清楚地表明的，如果相关教学未能很好地体现出这样一个思想，我们就会因此丧失促进学生思维发展的一个重要契机：“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折。要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力。”“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数。”①在笔者看来，这也清楚地表明了深入思考以下问题的重要性：如果说负数的引入在数学史上曾经历了很长一段时期，那么，将此（以及其他一些内容）简单“下放”到小学是否就违背了这样一个规律，即个人的思维发展必然会在很大程度上重复人类认识的整体发展过程。[2]75,78

最后，这或许也可被看成“数学结构”发展性的又一重要表现，即随着学习的深入，“变”与“不变”的关系表现出了越来越大的重要性。

例如，从后一角度我们可更好地理解数学中为什么要专门引入“比”这样一个概念，包括为什么不将此与“除法”简单地等同起来。因为，在此我们所关注的主要是两个量之间的关系，特别是变化中的不变因素，而不是如何通过具体计算去求得相应的“比值”。当然，这事实上也可被看成由“程序性观念”转向“结构性观念”的又一实例。

3.这是现实中经常可以听到的一个观点：结构性认识主要应被归属于静态的研究，生成性分析则代表了动态的研究。但由上述分析可以看出，结构分析也包括动态的研究，或者说，它更好地体现了动态研究与静态分析的辩证统一。

依据“数学结构”的层次性质，我们可更好地认识数学发展的这样一个特征：数学发展主要的不是指量的积累，特别是“数”的领域的不断扩展，而是包含有重要的质的变化，特别是不断达到新的、更高的抽象层次。

显然，从认识的角度看，这也清楚地表明了思维的不断优化对于数学学习的特殊重要性，包括观念的必要更新等。在笔者看来，我们应当将此看成数学学习的本质。当然，对此我们也不应理解成“由具体到抽象”的单向运动，因为，认识的深化也是一个“再认识”的过程。特别是，如果说“由少到多”“由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，这就是数学认识发展应当努力实现的一个目标——“化多为少”“化复杂为简单”。

例如，现代研究表明，大多数复杂的数学结构都可归结为这样三种重要的基本结构（“母结构”）：代数结构、序结构与拓扑结构。

最后，从思维形式的角度看，这显然也就十分清楚地表明了“总结、反思与再认识”对于数学认识发展的特殊重要性。

4.结构性认识具有超出“数的认识与运算”的普遍意义。首先，这也是小学几何教学应当特别重视的一个问题（详见下一节的论述），是对于“度量几何”与“直观几何”局限性的必要超越，也即应当对于图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视——显然，这也可被看成“结构性观念”的一个具体体现。

其次，从同一角度进行分析，我们在教学中就不应唯一强调概念的生成，而应当高度重视概念的分析与组织。

再者，相关分析可被看成为更高层次的概括提供了直接基础。特别是，我们应努力提升学生的思维品质，切实做好这样四个方面的工作：联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思维的灵活性，整体的观念与思维的综合性，总结、反思和再认识与思维的自觉性——正如笔者在《研究背景与基本立场》一文中所指出的。这即可被看成更高层次上的一个“大道理”。

依据先前的分析，我们还可对于上述结论做出如下补充：教学中应十分重视帮助学生逐步养成这样一种思维品质，即思维的开放性与反思性，也即乐于接受各种新的事物和观点，包括对已有认识的自觉反思，从而不断优化思维，而不会因为不恰当的教学造成“片面的思维定式”或思维的僵化。

由于上述分析直接涉及数学学习的本质，由此我们还可引出这样一个结论：强调“结构性认识”特别是“数学结构”的发展性质也十分有益于学生学会学习，包括很好地适应新环境中的进一步学习。

最后，由以下论述可以看出，即使是小学低年级也可在上述方面做出切实努力，关键就在于我们在这一方面是否具有足够的自觉性。

“小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3+4，这里值得注意的是我们要强调3+4‘等于’7，而不要说‘得到’7。因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果，就是我们经常说的‘得到’；二是表示‘相等关系’。我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解。因此，让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成‘得到’。当然，这里也要尝试让学生理解7 同样也等于4+3，3+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试观察两边都不止一个数的等式，如17+29=16+30……此外，还可以给学生提供利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3。”[5]

当然，相对于唯一强调“代数思维”的渗透而言，这是更加适当的一个主张，即很好地发挥“大道理”的指导作用。

三、小学数学教学的“大道理”（2）

以下再转向小学几何内容的教学。由于我们在先前已对“数的认识与运算”教学的“大道理”进行了分析，在此不妨首先思考这样一个问题：这两者之间有哪些共同点，又有什么不同之处？这可被看成这样一个立场的具体体现，即无论就专业的学习或是教学研究而言，我们都应具有较强的问题意识，也即应当带着问题学，带着问题进行研究。[6]

进而，前一节中所总结出的几个“大道理”在此显然也是基本适用的，如几何概念的教学同样也应做到“淡化形式，注重实质”，包括很好地弄清相关概念中哪些是特别重要的，哪些则不那么重要？例如，以下一些论述就可被看成是与这一论题密切相关的：“并非任何定义都是重要的。有些对象可以基于直觉的感知，不必追求严格的定义……小学数学里面积的定义就是其中之一。”又如，“小学里用一对数确定一个对应点没有什么用处……如果一点用处也没有，就不太好了。”[2]240，228

再则，正如前面已提及的，在几何内容的教学中也应帮助学生很好地建立整体性、结构性的认识。例如，我们应从这一角度更好地去理解这样一个论述：“一旦有了线段和线段度量以及角与角的度量，以后的小学几何学内容就有了可靠的度量基础。”[2]294另外，我们显然也应将“角的度量”的教学与学生已学过的“线段的度量”很好地联系起来，从而更好地发挥“种子课”的作用，包括切实做好“以发展代替重复”。[7]

当然，在小学几何内容与“数的认识与运算”教学之间也存在重要的区别，例如由“核心概念”的分析就可清楚地看出：如果说“数的认识与运算”的教学可被看成是围绕“比较”这一概念展开的，那么，“度量”的概念就在小学几何的教学中占据了特别重要的位置，也即小学几何在很大程度上就可被看成一种“度量几何”。

显然，后一分析也清楚地表明了针对小学几何具体内容做出深入分析的重要性。从宏观的角度看，我们应特别强调这样几点：

1.小学几何中的大多数概念都具有明显的现实意义和原型，有很多词语就是从日常语言中直接借用过来的，但由于数学概念在大多数情况下又不同于它们在日常生活或工作中的意义，因此，小学几何教学就应特别重视这样一个问题，即帮助学生对数学概念与相应的日常概念做出清楚的区分。

例如，正如人们所熟知的，数学中所说的“角”未必是“尖尖的”，而是主要表明了两条线段（直线）之间的位置关系。进而，两条线段（直线）是否相互垂直也与它们是否处于垂直或水平的位置无关，尽管相关概念的日常应用往往具有这样一个含义。

显然，上述分析也清楚地表明了对数学概念做出明确定义的重要性，后者就是由“初等数学思维”走向“高层次数学思维”的一个重要标志。也正因为此，尽管我们在小学阶段尚不应明确提出这样一个要求，但仍然应当在这一方面对学生做出必要的引导，包括帮助学生很好地认识数学在这一方面的重要作用，特别是这十分有益于日常语言的扩展与改进（精确化）。

例如，“篮球是圆的吗？”[2]230就可被看成这样一个实例。更重要的是，尽管学生在生活中早已接触到了各种度量活动，甚至还可说已在这方面积累了一定的经验，但只有通过数学学习，我们才能帮助他们更好地掌握“度量”的本质，包括明确从事各种度量活动必须首先解决的这样两个问题，即度量单位的确定以及找出合适的度量工具和方法。

进而，依据上述分析我们显然也可引出这样一个结论：相关教学不应局限于帮助学生学会进行各种度量，还应要求学生在不具有适当度量工具的情况下尽可能地想出办法去度量课桌的长度或教室的面积等。

2.这是小学几何教学中的又一重要特点，即在很大程度上也可被看成一种“直观几何”。由于这是由小学生的认知水平直接决定的，因此，我们就应肯定以下一些做法的合理性，如教学中要求学生认真地用眼睛去看，用手去摸，直接动手去量……但这也是小学几何教学应当特别重视的又一问题，即在充分肯定其重要性的同时，还应帮助学生很好地实现对于直观认识的必要超越。

后者事实上也可被看成上述关于如何从事“度量问题”教学的一个直接结论，即教学中我们不应唯一地强调让学生直接动手去量，而应更加重视如何通过动手促进学生积极地动脑。另外，我们显然也可从同一角度更好地认识这样一个建议：“不要把时间花在一些平庸的活动上。”[2]254

以下的事实则可被看成更为清楚地表明了超越直观认知的重要性：由于小学几何中有不少内容与无限直接相关，因此就必须依靠想象才能把握。“直线”的概念就是这样的一个例子。另外，这显然也可被看成我们如何帮助学生很好地掌握“平行”这一概念的关键。

更为一般地说，我们应明确提出这样一个要求：相对于直观的认知而言，在教学中应当更加重视对各种对象特征性质的分析——正如人们普遍了解的，这也意味着由冯·希尔所说的“水平一”向“水平二”的重要过渡。

3.前面已经提及，这也是小学几何教学应当特别重视的一个问题，即应从整体的角度特别是按照“结构性观念”对诸多相关概念与结论之间的联系做出深入分析，包括从这一角度更好地认识各种平面图形的特征性质。特别是我们应当鼓励学生依据图形间的关系对相关结论的真理性进行说明，而这就意味着由几何认知的“水平二”进一步过渡到“水平三”。

还应强调的是，如果说“数的认识与运算”的教学应当集中于帮助学生很好地认识“数学结构”的丰富性和发展性，那么，从几何教学的角度看，这就是“结构性认识”最重要的一个含义，即逻辑思维的渗透与学习。

就这方面的具体教学工作而言，我们还应特别强调这样两点：

第一，相对于日常的认知顺序，我们应当更加重视帮助学生较好地掌握“维度”这样一个概念，包括什么是按照“由点到线、再到面、直至体”这样一个顺序去理解几何认识的主要优点。

事实上，正如笔者已多次指出的，这正是数学思维的一个重要特征：“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾。”[8]另外，以下事实显然为我们更好地认识超越日常生活的必要性提供了又一重要论据：正是局限于数学的实际应用导致了中国古代数学发展的这样一个特征，即除去“直角”的概念未能提出一般性的“角”的概念，从而也就在很大程度上限制了几何研究在中国的发展。[2]292

另外，也只有从逻辑的角度进行分析，我们才能更好地理解这样一个论述：“先有平行，才有平移。小学数学尽管需要深入浅出，却不宜违背这一逻辑顺序。”[2]208

第二，就图形特别是平面图形之间相互关系的认识而言，我们又应特别重视从“特殊与一般”这一角度去进行分析。后者不仅对于进一步的数学学习（和研究）具有十分重要的作用，更具有超出数学的普遍性方法论意义，因此，这就应被看成充分发挥数学学习对于提升学生思维品质的一个重要方面。

进而，从同一角度进行分析，我们也就可以看出，像“平行四边形是否应当被看成梯形”这样的问题并不重要，我们更不应通过考试等手段强迫学生牢牢地去记住相关的定义。恰恰相反，在教学中应当更加重视帮助学生逐步学会围绕“特殊与一般”这样一对范畴去进行分析思考。

4.以下再对这样一个问题做出简要分析，即我们应当如何看待小学几何教学中引入“运动”的必要性与恰当性？

这一做法应当说有一些明显的优点，如有益于我们从“生成的角度”更好地认识各种平面图形的性质以及平面图形与空间图形之间的关系。但是，由于小学几何主要是一种“直观几何”，研究的对象又主要局限于平面图形，从运动的角度进行分析很容易出现将“平面图形的运动”混同于“立体图形的运动”这样的错误，“平移、旋转、对称”等概念似乎也很难在数学以外找到真正的用处[2]277-278。因此，在笔者看来，对于“运动的观点”在小学几何教学中就不应过分地强调。

与此相对照，如果说小学“数的认识与运算”的教学应当特别重视很好地处理“一”与“多”、“变”与“不变”之间的关系，那么，对于小学几何教学我们就可做出如下概括，即应当很好地处理直观与想象、度量（动手）与抽象分析（动脑）之间的关系，并应很好地发挥几何学习对于学生学会逻辑思维的特殊作用。

进而，依据上述分析相信读者也就可以更好地理解笔者关于“小学几何教学大道理”的以下概括：小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，发挥其在直观认知方面的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即对于图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视。

[结语]笔者并愿借助这一机会表达对已故著名数学教育家张奠宙先生的深深敬意：尽管张先生当时已年逾80，身体情况也不是很好，但仍然花费大量的时间与精力认真阅读了多个版本的小学数学教材，更通过深入的思考分析提出了很多重要的意见和建议，这确实值得我们认真学习。事实上，尽管我们平时也常常提及认真研读教材，但又有几个人真正做到了这样一点！进而，什么又是我们与张先生的主要差距，这主要是否指数学水平的高低？相信每一个数学教育工作者，包括广大一线教师都可通过这方面的认真思考在专业成长上获得更大的启示和收获！

本文也可被看成是上述方向的一个具体努力！