数学交流离不开好问题——以二元一次方程数学活动课教学为例

广东省广州市南国学校(510627)马丹

广东省广州市天河区教师发展中心(510635)刘永东

1 写在前面

数学课堂教学离不开数学交流[1].数学交流即在数学领域中师生通过阅读、讨论、辩论、合作等方式[2]进行数学思想、知识的传播或交换[3].通过交流,学生对知识会有更深入的理解,教师能清楚了解到学生对知识的理解、掌握程度.在平时教学中有很多数学交流的机会:课堂上教师的讲授与提问、学生的听课与质疑;课后学生的作业、错题反思、知识点总结、教师批改作业等人与文本的交流;课外学生之间的问题探讨或论文报告等也是数学交流的形式.不同形式的交流指向共同的目的,即在数学交流中让学生体悟数学思想,提升思维.对此,笔者以一节数学活动“二元一次方程(组)解的几何意义”为例,与同行分享在数学交流中感悟学生思维变化的细节与思考.

2 过程简析

片段1:你如何理解等式x-y=0,请说一说.

追问1:该方程的解的形式是怎样的?

追问2:方程的解能用有序数对表示吗?能否将方程的解表示在平面直角坐标系中?

该教学片段用一个个追问促使学生展现知识储备,让学生建立起联系的关键词:二元一次方程→无数解→有序数对→平面直角坐标系,将已学知识串联起来,不断使知识内化,以期生成新知识.

片段2:请把二元一次方程x-y=0 的解在平面直角坐标系中表示出来,你发现什么?

该教学片段让学生画完图后讨论,得出结论.教师再用几何画板动态演示x-y=0 的图象是一条直线,并追问:是不是所有的二元一次方程的图象都是一条直线呢?

片段3:请任意写出一个二元一次方程,并把它的图象在平面直角坐标系中画出来!

该教学片段中小组每人举一个例子,画出图形后互相检查、比较、讨论,得出共识结论,并懂得用“两点式”画二元一次方程图象的简便方法.

片段4:在片段3 的平面直角坐标系中,再任意画一个二元一次方程的图象,和同伴交流所画图象的区别,并思考造成区别的原因.

该教学片段让学生观察发现两条直线相交、平行的情形,有意识的交流图象存在区别的原因,感悟数学思想.

3 策略解析

3.1 设“好问题”,让学生“想说”“敢做”

问题是师生进行数学交流的纽带.设置合理的、有意义的“好问题”,能更好的促使学生积极思考,并通过不停的引导追问,引出最深层的数学思想,体悟智慧的碰撞过程.从而给学生创造发现数学问题的机会,并在参与数学交流中充分表达自己的数学思维过程.

然而,一些数学课堂缺少主动的、互动的数学交流,让人感觉交流不起来.那么,怎样才能更好的促使生生、师生之间的交流呢?苏霍姆林斯基曾说过:“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要,那就是希望自己是个发现者、研究者、探索者”.可见,创设启发学生去发现、研究、探索的问题,能激发学生“想说”的欲望.片段1 的问题串都是已学知识的简单再现,在于营造一个轻松、和谐的氛围,共同倾听和评价,学生愿意表达,又能展示知识的动态生成过程,让学生在温故的过程中逐步生成新知.

而学习数学知识离不开实践,动手操作不仅让学生主动获取了知识,积累了数学活动的经验,还培养了学生观察、分析、应用及解决问题的能力.基于好的情境下的动手操作能引导学生大胆猜想,有利于提升学生思维的发展.那么,怎么创设“好情境”,让学生“敢做”呢?片段2 的问题:二元一次方程x-y=0 的解怎么和平面直角坐标系建立联系呢?又会有什么联系?这个联系可以通过直观建立,于是让学生大胆猜想并动手操作和验证,做一做、看一看、想一想、说一说,发现和掌握新知识,完成“数”“形”互译的过程,了解到二元一次方程解的几何意义,又为构建二元一次方程和初二要学的一次函数的联系埋下伏笔.

3.2 悟“好过程”,让学生“会说”“敢想”

让学生将自己在学习基础知识、掌握技巧过程中“想到的”,“说”给别人“听”,并引发数学交流,就需要学生“会说”.学生将自己的推断和思想以口头或者书面的形式进行表达的过程,不仅可以让学生对原理有更深的理解,在不同意见和想法的争辩中,学生的表达和逻辑思维的能力也得到了很好的提高.可见,在“好过程”中体悟才有说的基础,由此需要在紧扣教学目标的前提下,留给学生足够的时间和空间参与知识的产生、发展和应用的过程.引导学生自己寻求知识产生的原因,体会新知与旧知的区别与联系.在探索思考的过程中,让学生体会研究数学问题的方法,感悟数学的本质内涵,寻找规律,获得结论.

片段3 中,组内每人画的二元一次方程的图象各异,大家在互相检查、比较、讨论中得出用“两点式”画图象的结论,并在体验探索的过程中激活了思维,思想得到了升华.而片段4 在同一个平面直角坐标系中再任意画一个二元一次方程的图象,学生探究、尝试、猜想、交流的机会暴露无遗,数形结合思想在不知不觉中得以渗透.完全开放的问题设置让学生能说的和想说的机会很多,在交流中不仅强化了知识与知识的内在联系,还为今后研究方程、不等式和函数图象间的关系打下基础,使知识的发生发展浑然一体,有利于学生思维的持续性发展.如此,学生体悟好过程,就敢想、会说,并能进行深度的交流.

4 数学交流

一般情况下,随着年龄的增大,学生主动回答问题的意愿逐步减弱[1];而课外学生也没有足够的时间进行数学交流.再者,有些学生自己能够理解题目表达的意思,也能正确解答,但却不能清楚明白地向他人讲述解题思路与思维过程,总是词不达意,没有逻辑,影响了数学交流,导致多数学生的交流更倾向于请教,而不是共同探讨问题.

而数学交流本是双方互换信息,互相影响的学习活动[1].对学生进行数学语言、组织表达能力的训练,需要给予他们足够的时间,足够的自信去进行交流.这离不开教师恰当的引导,特别是设置开放性的问题,能给予学生更多的主动权.在片段3 的交流中,小组每人的方程不一样,图象也不一样,但组内每个人得出的图象大都是一条直线,个别有不同,但交流后全班达成共识结论.此时追问“如何简便确定一条直线?”“两点可以怎样简便取点?”等问题,让学生意识到“找与坐标轴交点”这一快速确定图象的方法,为以后函数的学习打下基础.学生经历了从特殊到一般的探究过程,归纳出结论:直线上任意一点的坐标都对应着二元一次方程的一组解,顺理成章的明白了点的坐标和方程解的对应关系.

而看似技能训练的片段4,一方面让大家体会到掌握了更快捷方法的乐趣,另一方面,为过渡到二元一次方程组铺垫.这个开放性问题出现了很多不同的结果.事实证明,永远别低估了孩子们自我探究的能力,教师也无需特别预设,“重合、相交、平行”三种结果都出现了,为交流打下很好的基础.小组上台展示,同伴质疑产生认知冲突,让学生更清楚明白整个探究过程,同时教师进行系列追问:每一条直线代表的是什么?三种不同结果又表示什么意义?解一解你举的方程组,是否与你所画的图形相符?这一串追问让学生对知识的理解更加透彻,思维也更深一层.并让学生采用消元法和图象法分别解二元一次方程组,感受不同方法的特点,更深层的体会“数缺形时少直观,形少数时难入微”的真谛[4].学生也在交流后得出结论:一个二元一次方程对应一条直线,如果两直线相交,那么二元一次方程组有唯一解,交点坐标就是相对应的二元一次方程组的解;如果两直线重合,那么相对应的二元一次方程组有无数组解;如果两直线平行,那么相对应的二元一次方程组无解.

特别的,有小组提出:为什么大家所画的平行不完全一样,间隔的距离有大有小呢?于是,师生继续分析讨论,并用直接的话解释出根源:“常数的差距大小决定了分开的多少”.学生的这个发现不仅让大家对本节的内容理解的更透彻,更为以后学习函数图象的平移打下了基础,也说明了数学结论是在不断完善中形成的,课堂达到了超出预设的精彩效果.

事实上,这节数学活动课的主题是“二元一次方程(组)解的几何意义”,但教学的最终目的是让学生理解过程与方法,因为对于二元一次方程组,一般不用图象求解,但对于一些高次方程、无理方程、超越方程的求解,画图象的方法就起作用了.再则,将二元一次方程与一次函数联系起来,为学生的后继学习做铺垫,让学生感受数学在不同知识领域的相融、和谐与一致,对数学思想的理解和体悟更清晰,学会站在更高的起点上动态的分析和解决问题.

5 写在最后

数学课堂需要了解学生的数学思维过程,而这个过程需要他们用数学语言表达出来.教师应善于利用反映数学思想的基本材料,有意识地设计与数学思想相联系的学习活动,设置开放的好问题、好情境、好过程,让学生独立思考并充分地展开交流,在交流中引导学生对一般性的规律进行自主总结和概括,在交流后引导学生一起架构起单元学习脉络,构建知识体系,以达到润物细无声的效果.