变中明晰 多题同源

彭象华

摘  要：在一次教师说题比赛中，组织者在教材上选取了三道题目，参赛选手根据抽签内容选讲其中一道题目，每位选手根据题目的具体情况，进行“一题多变”“一题多解”或“多题同法”的阐述，各选手讲述精彩，特别是三道题目意外得到了统一，形异质同、三题同源. 说题是一项常见的教研活动，有助于命题技巧的掌握，有利于解题能力的提高，有益于教学水平的发展.

关键词：初中数学;教师说题;多题同源

说题是一种常见的教研活动，是教师深入研究数学问题后，说自己对题目的认识与理解;说题目涉及的知识点与数学思想;说解题的途径与方法;说题目的变式与拓展. 笔者曾观摩过一次教师说题比赛，要求选手根据题目题目的具体情况，进行“一题多变”“一题多解”或“多题同法”的阐述.

为重视教材，提高教师灵活运用教材的能力，这些题目题目均选自湘教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”），各选手说题思路清晰、风格各异、亮点不断，给了现场观摩教师很好的启发. 笔者现在把题目和思考做些整理，与同行分享、交流.

一、案例呈现

1. 一题多变

题目1 （教材八年级上册复习题2第15题）如图1，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A，B上，它们分别沿AE和BF的路线向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？

这道应用题实际上是一个几何问题，即在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，[AE⊥BF，] 问AE和BF是否相等？

这道题目的求解比较简单，由已知，易证[△ABE≌][△BCF，] 所以[AE=BF，] 即两只蚂蚁爬行的距离相等. 题简易变，所以有的教师主要从“一题多变”的角度来阐述观点.

变式1：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，[AE=BF]，求证：[AE⊥BF.]

变式1是通过互换题目1中的条件和结论，得到题目1的逆命题，然后判断其逆命题为真命题. 因为[AE=][BF，] [AB=BC，] [∠ABE=∠BCF=90°，] 所以[Rt△ABE≌][Rt△BCF.] 所以[∠BAE=∠FBC.] 所以[∠FBC+∠AEB=][90°.] 所以[AE⊥BF.]

变式2：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，[BE=CF]，求证：[AE=BF]且[AE⊥BF.]

变式2是把题目1中的“AE和BF相互垂直”改為“[BE=CF]”，探究结论是否改变. 因为[BE=CF，AB=][BC，∠ABE=∠BCF，]  所以[Rt△ABE≌Rt△BCF.] 所以[AE=FB，] [∠BAE=][∠FBC.] 所以[∠FBC+∠AEB=90°.] 所以[AE⊥BF.]

变式3：如图2，在正方形ABCD中，点G，E，H，F分别是正方形边上的点，如果GE和HF相互垂直，那么GE和HF相等吗？

在题目1中，正方形内部互相垂直的两条线段的一个端点均为正方形的一个顶点，我们将这两条线段平移，探究结论是否成立. 如图3，过点B作[BF∥HF，]交CD于点[F]，过点A作[AE∥GE]，交BC于点[E]，则[FH=][BF，EG=AE.] 由已知易证[△ABE≌△BCF.] 所以[AE=BF.] 所以[GE=HF.]

题目1中涉及的知识点有：正方形的性质、垂直、全等三角形的判定与性质. 通过证明[△ABE≌][△BCF，] 可以得到[AE=BF.]

有的教师主要从“拓展提升”这个视角来阐述自己的想法.

拓展1：如图4，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B，C重合），垂直于AE的一条直线HF分别交AB，AE，CD于点H，P，F. 探究线段DF，HB，EC之间的数量关系.

在题目1中，我们可以试着平移其中一条线段来寻找和发现结论的变化. 两个直角三角形全等是关键，如图5，过点B作[BF∥HF]交CD于点[F.] 则[HB=FF.]由已知易证[△ABE≌△BCF.] 所以[BE=CF.] 所以[EC=][BC-EB=DC-CF=DF=DF+HB.] 条件简单变化，结论就有了思维深度，但抓住“[△ABE≌][△BCF]”这个关键就比较容易找到解题途径.

拓展2：如图6，在四边形AHFD中，如果[FD⊥AD，][HA⊥AD，GO⊥HF，] 垂足分别为点[D，A，O，OF=OH，] [GO=12HF，] 探究AD，DF，AH之间的数量关系.

在题目1和以上变式题及拓展题中，两条垂线的垂足位于正方形内部的任意一个位置，如果其位于正方形ABCD的中心O，再去掉四边形BCFH，经过思考和探究，则可以发现新的结论. 如图7，连接BD，则点O在直线BD上. 由已知易证[△DFO≌△BHO.] 所以[DF=][BH.] 所以[AD=AB=AH+HB=AH+DF.]

题目1以爬行的蚂蚁作为引入，以正方形作为条件，探究正方形内两条互相垂直的线段的长度关系. 在题目1讲解的基础之上，对题目进行了多种改编，开放设问、变式探究，深入分析已知和结论之间的联系，揭示了问题的深层结构.

2. 一题多解

题目2 （教材八年级上册复习题2第16题）已知：如图8，在等腰三角形ABC中，[∠C=90°，∘] D是AB的中点，[DE⊥DF，] 点E，F分别在AC，BC上. 求证：[DE=DF.]

证明线段相等可以利用等腰三角形的判定定理或证明三角形全等，但证明[△DEF]是等腰三角形比较困难，所以可以作辅助线构造全等三角形. 通过尝试和思考，可以找到多种解题思路，从而用“一题多解”的方法来说题.

思路1：如图9，过点D作[DG⊥AC，] [DH⊥BC，] 垂足分别为点G，H. 由已知条件易证[△AGD≌△BHD.] 所以[GD=HD.] 因为[∠FDH+][∠HDE=90°，∠EDG+∠HDE=] [90°，] 所以[∠FDH=∠EDG.] 因为[∠DGE=∠DHF=90°，] 所以[△DGE≌△DHF.] 所以[DE=DF.]

思路2：如图10，连接CD. 仔细观察图形后，发现[△EDC]与[△FDB]可能全等，然后利用全等三角形“ASA”定理给出证明. 也可以证明[△AED≌CFD.] 得到[DE=DF.]

思路3：我们也可以利用对称的知识来考虑问题. 如图11，连接CD，作DF关于CD所在直线的轴反射DG，交AC于点G. 所以[DG=DF.] 由已知条件易证[△ADG≌][△CDE.] 所以[DG=DE.] 所以[DE=DF.]

思路4：我们还可以从旋转的角度来思考问题. 如图12，连接CD，将[△DFB]绕点D旋转180°，得到[△DFA，] 则[DF=DF.] 由已知易证[△DFA≌△DEC.] 所以[DF=][DE.] 所以[DE=DF.]

准确作出辅助线是解决题目2的一个难点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 这一类型的题目只需要抓住证明三角形全等这一主线，以不变应万变，即可顺利完成题目分析和解题证明. 题目2第4种解题思路所用的图形与题目1中的拓展2相仿，这为下面的“多题归一”奠定了基础.

3. 多题归一

题目3 （教材八年级下册复习题2第15题）如图13，两个边长为2的正方形重叠在一起，O是其中一个正方形的中心，求阴影部分的面积.

阴影部分是一个不规则四边形，不易直接求解. 所以可以采用从特殊到一般的思想方法来考虑问题，如图14，由这个特殊位置可以得出阴影部分的面积是1. 再考虑在一般情况下，结论是否成立. 一般会想到以下两种解题思路.

思路1：如图15，在正方形的顶点处标上字母，连接OC，OB. 由已知易证[△OCF≌△OBE.] 由割补法，得[S四边形OFCE=S△OCB=14S正方形ABCD=1.]

思路2：因为特例的结果刚好为正方形面积的[14，] 我们尝试过正方形中心O作两条互相垂直的直线[l1，l2]（如图16），正方形被分成了四个部分[S1，S2，S3，][S4.] 通过观察与思考，发现当整个图形绕点O旋转[90°∘]时，所得到的图形与原图形重合，所以[S1=S2=S3=][S4，] 即正方形被直线[l1，l2]分成了全等的四个部分，从而得到题目3中阴影部分的面积为正方形面积的[14，] 即为1.

思路1较为常规，思路2比较新颖. 用思路2来考虑题目2时，我们容易想到用“多题归一”的方法来思考问题. 题目2和题目1非常类似，不同的地方是：这两道题目中正方形内两条垂线的垂足的位置不同，题目2中的垂足位于正方形的中心. 如果把题目2的图形补全，可以变成题目3（如图17）. 根据题目1，我們知道[EH=FI，] 因为[DE=][12EH，DF=12FI，] 所以[DE=DF.] 所以三道题目都源于同一道题目，三题归一，其解法也有共性，找到了规律，求解题目2就能化难为易.

三道题目并蒂连理，低起点、高升华. 教师的说题各有侧重，有的重视“一题多变”，有的注重“一题多解”，有的顿悟“多题源一”.

二、感悟反思

1. 说题有助于命题技巧的掌握

命题是教师的一项基本功，如果没有掌握命题的方法和技巧，则不能命制出新颖且高质量的题目. 改编教材上的例题或习题很常见，从题目1我们可以知道，改编原题时，可以置换题目中的条件和结论（变式1和变式2），可以改变题目中的条件（变式3），可以拓展结论（拓展1），也可以同时对题目的条件和结论进行调整（拓展2）. 改编后的新题要从多方面论证其科学性与规范性. 如果把题目1改编为：如图6，在四边形[AHFD]中，如果[FD⊥AD，HA⊥AD，GO⊥HF，]垂足分别为点[D，A，O，OF=OH，] 证明：[GO=12HF.] 则条件不足，稍不留神就容易出错. 对于典型的几何问题，我们可以对已知条件和图形进行仔细研究，深入挖掘可能的结论. 对于题目1，正方形内两条直线的垂足位于正方形的内部（中心是其特殊位置），我们还可以进一步思考，当垂足位于正方形的边上时，会有哪些结论;对于题目2，在已知不变的条件下，可以探究[S四边形ECFD]和[S△ACB]之间的关系.

2. 说题有利于解题能力的提高

波利亚有一句名言，掌握数学就是意味着善于解题. 对学生是这样，对教师亦然. 通过“刷题”，模仿解题方法，事倍功半，效率低下，不利于灵活掌握知识，对新面孔的题目束手无策，最大的遗憾还会失去对解题的兴趣. 透彻理解解题的规律，清楚问题的本质，才会到达一个更高的层次. 黑格尔说，本质是简单的！但本质往往又是深藏的. 在对“一题多变”“一题多解”的不断探索中，本质才会露出冰山一角. 以上三道题目，通过教师的讲解与分析，发现其本质相同！题目1为“题根”，根深而叶茂，了解了这一实质，则对题目2和题目3的设问和解法，我们都能运筹帷幄、胸有成竹. 通过以上题目的分析，发现这些题目形异质同、多题源一. 题目2在补全图形以后，通过观察，能马上找到要证明的全等三角形，所有方法如出一辙，可谓“做一题，会一类，通一片”.

3. 说题有益于教学水平的发展

“一题多变”是为了更好地运用变式教学，变式教学易于学生接受，学生可以理清原题和变式之间的关系，深入了解知识，对解题方法进行系统总结，有效发展思维. 改编经典题目或错误率比较高的题目，可以提高学生的学习兴趣，改善学生的思维品质.“一题多解”可以启发学生从不同角度、不同方位，以不同的方法思考同一道数学问题，加深学生对所学知识的理解，改变思维定势，培养思维的灵活性，加强对数学思想和方法的娴熟运用. 通过说题，始知“多题归一”，使教师拓宽视角，以联系的观点看问题，做到理性辨析，系统思考，恰似拾级而上、渐入佳境，引导学生游刃有余.“一题多变”“一题多解”“多题同解”可以加强学生对所学知识的感知、理解和运用，培养学生的数学学科核心素养. 教师要选用适合学生的题目，寻求好的解法，探讨问题之间的联系，采用恰当的教学方法，为学生的成长付出努力，在此过程中，逐渐提高自身的教学水平. 有教师说，在观摩这次说题比赛之前，所看到的这三道题目是孤立的，似乎没有联系，但经过参赛教师的讲解，使这几道题目串联了起来. 教材是学习之本、有源之水，掌握教材、用活教材，是教师教学必备的基本技能.

参考文献：

[1]林运来. 解题教学要善于揭示问题的本质[J]. 数学通讯（下半月），2019（4）：27-31.

[2]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版社，2001.