3数学概念教学中引入情境的创设

马茂年

摘    要：合理的教学情境设计能促使学生主动构建数学新知，是促进概念生成的一种有效方式.教师在教学前，一定要研究教材并理解教材的设计意图，然后采取相关策略，即“以数学概念与现实的关联性为依据、以数学概念发展的历史脉络为线索、以对数学概念本质的理解为出发点、以数学概念在教材中的逻辑顺序、以对数学概念的认知冲突为突破口”等创设情境，帮助学生更有效地学，从而达成数学课程目标的要求.

关键词：数学概念;情境设计;函数的零点与方程的解

教师在进行课堂教学设计前，必须研究教材，理解教材的设计意图，这样才能用好教材，使教学设计不偏离方向.教学设计的出发点是研究学生，即分析学生已有的认知情况，了解学生在当前思维发展过程中最需要的是什么、学习情感上最迫切的需求是什么，从而使教学设计合乎学生的认知发展规律.其中，学生的学情信息是确定教学设计基调的决定性因素.因此，教师在进行教学设计时，不能断章取义，更不能强加式地武断主观，应时刻提醒自己：把握好教材，使教学合乎学生的学习情感态度、体现学生的本位思想.

合理的概念教学情境引入方式，能吸引学生的注意力，激发学生的思维运作，促使学生主动构建数学新知.它是促进概念生成的一种有效方式.一线教师对此深有体会.也正因此，造成了许多为情境而捏造情境、为生成而假作生成的不当行为.这容易引发知识上的概念泛化，甚至造成概念混淆，使学生产生课堂倦怠心理，导致教师教学设计思路的僵化与定式. 以下，笔者结合在我校开展的青年教师“同课异构”讲课比赛，及其他教师的课堂实践，针对概念教学情境引入设计中应注意的一些问题，以人教A版（2019）普通高中教科书《数学》（以下简称“新教材”）必修第一册第四单元第五节第一目“函数的零点与方程的解”为例，谈谈如何进行情境设计.

一、以数学概念与现实的关联性为依据创设情境

数学不是无源之水、无本之木，而是与现实生活存在着千丝万缕的联系.数学概念是对生活现象与经验的直接套用或间接抽象，很多数学概念都能在现实生活中找到“原型”.因此，以数学概念与现实的关联性为依据去创设数学概念引入的情境，不仅能够让学生感受到数学与生活的密切联系，而且能够发展学生用数学的眼光去观察世界、用数学的思维去思考世界、用数学的语言去表达世界的能力.

【案例1】

1.观察图象片段（如图1，时刻0～t0之间的气温变化图），请你将其补充成完整的函数图象.

2.追问：是否有某时刻的温度为0°C？为什么？

3.再问：你认为函数存在零点应满足什么条件？

巧妙运用这样一幅函数图象，即可引导学生联系生活，归纳并生成“零点存在性”定理.当然，设置生活情境必须把握好度，所创设的情境必须与当前学习任务密切相关，并能够从中概括出当前学习内容的本质.否则，此情境非但不能为学生理解教学内容提供支持，反而会干扰甚至混淆学生的数学理解.

【错误案例】

如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头. 有时我们会忽略一些镜头……现有两组镜头（如图2），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？

这样的情境创设缺乏数学知识的依托，它不仅干扰了目标的实现（以至于有学生提出小孩可以跳过河的想法），而且使简单问题复杂化，导致学生对函数概念理解的混淆.

二、以数学概念发展的历史脉络为线索创设情境

大数学家庞加莱曾指出：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史与现状.”历史是人类最宝贵的精神财富，“以史为鉴，可以明得失”，以数学史为鉴，可以让学生读懂数学.所以教师应仔细研究、体味数学知识的历史发展脉络，并以此为线索创设数学概念的引入情境.

例如，以方程的發展史为鉴引入新课.

【案例2】

中国：公元1世纪编成的《九章算术》，以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法;7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法;11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出了解三次或三次以上的高次方程式的解法;13世纪，南宋数学家秦九韶提出了可以求出任意次代数方程正根的算法.

西方：9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程、二次方程的一般解法;1541年，意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法;1545年，意大利数学家卡当在其名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里（卡当的学生）的四次方程的一般解法;1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想;1824年，年仅19岁的挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.

三、以对数学概念本质的理解为出发点创设情境

相比于2007年版教材，新教材更加注重数学知识的背景呈现和实际应用，这使得数学知识的形成、发展更具趣味性和探索性，教材更具亲和力和人文关怀.教师在进行教学设计时，应仔细体味教材的用意，充分挖掘课本素材的教育教学功能，让数学概念的形成成为学生学习的内在需要.然而，现实是许多教师往往撇开现成的素材而不顾，自主开发，主观设计.这样，不仅造成了资源的浪费，甚至还曲解了概念的本质.

“与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.” 对于零点的概念，新教材在定义之前先铺垫了“二次函数的零点”，进而提升到“函数的零点”，接着又提供了大量的素材，让函数的零点这一概念的引入合情合理，不仅体现了“函数的零点”这一概念的本质特征，更蕴含着数学思维得以进一步发展的背景.

在这个定理的教学中，可先设计如下问题让学生辨析：

【案例3】

1.零点不是一个点，而是交点的横坐标，是一个值.

2.①从方程的角度看，零点是相应方程f（x）=0的实数解;②从形的角度看，零点是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标;③从函数值与自变量的值对应的角度看，零点是使函数值为0的对应的自变量x的值.

3.函数的零点为方程的求解提供便利.通过引入零点，对于不能用公式法求解的方程来说，我们可以把它与函数联系起来，并利用函数的性质找出函数的零点，从而求出方程的解.

然后进一步设计如下四个问题，推进辨析：

4.零点存在性定理是否说明区间（a，b）内的零点有多少个？

5.函数y=f（x）的图象必须是闭区间[a，b]上的一条连续不断的曲线吗？

6.若f（a）f（b）>0，零点情况如何？

7.若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，则有f（a）f（b）<0成立吗？

在进行教学设计时，只要抓住函数的零点概念，通过合理的铺垫和设问，引导学生思考，便可以让学生对概念有深刻的理解，并在教学过程中使学生形成数学学习的能力.

四、以数学概念在教材中的逻辑顺序去创设情境

和2007年版教材相比，新教材在内容的编排上更注重体现教学的思想性和整体性. 新教材强调过程与联系，注重数学概念的发生、发展过程.在“函数的零点与方程的解”教材内容中，教材的设计意图主要是通过教学，为后续内容“用二分法求方程的近似解”的学习做好知识与思想方法上的准备. 教材中对函数的零点进行定义时还指出：“一般地，对于不能用公式求解的方程[f（x）=0]，我们可以把它与相应的函数[y=f（x）]联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.”对于教材的这些描述，笔者认为可以这样来理解和把握：函数的零点定义的前缀词是函数[y=f（x）]，强调的是函数在特定状态下（函数值为0）的x的值，它是从函数的图象中派生出来的一个数学称谓，体现了“形”的特点（以形显数）. 同时，利用函数的零点求出方程的解，体现了函数零点的应用功能，也就是说，求函数的零点的意义在于进一步求得方程的解.因此，从知识结构的顺序上，应该是先产生零点，进一步利用函数的零点来探求方程的解，而不是通过求方程的解来得到函数的零点，更不能用求解的方法替代对函数零点的讨论.

基于这种理解，不可如此设计概念情境引入：

【错误案例】

问题1：求方程x2-2x-3=0的实数解，并画出函数y=x2-2x-3的图象.（方程x2-2x-3=0的实数解为-1，3. 函数的图象略）

问题2：观察形式上函数y=x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系.（函数y=0时的表达式就是方程x2-2x-3=0）

问题3：由于形式上的联系，方程x2-2x-3=0的实数解在函数y=x2-2x-3的图象中如何体现？（方程的实数解就是y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标）

初步提出零点的概念：-1，3既是方程x2-2x-3=0的解，又是函数y=x2-2x-3图象与x轴交点的横坐标.-1，3在方程中稱为实数解，在函数中称为零点.

在这个设计中，传达了这样一种信息：先求出方程的解，然后由方程的解引出函数的零点. 这正与“先得到函数的零点，再得到方程的解”的结构顺序相反，是“以形显数”的逆过程，违背了“利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解”的基本线索.

新教材在提出函数的零点的定义后，又进一步解释：“方程f（x）=0有实数解 函数y=f（x）有零点函数y=f（x）的图象与x轴有公共点.”故此，教师在教学前一定要仔细研读教材，把握教材意图，厘清结构顺序.

五、以对数学概念的认知冲突为突破口创设情境

在数学概念教学中，情境的引入应尊重学生已有的认知基础，对于一些抽象的数学概念，教学设计中应做适当的铺垫，比如设置合理的问题链，让学生在探索的过程中，形成认知差异，还原概念的形象特征，并进一步归纳生成对概念的系统认知.

某教师设想直接拿对一元二次方程与相应二次函数关系的探究，来引入函数的零点的概念.笔者觉得这种方法存在两方面的疑点.疑点一：二次方程与二次函数的关系对大部分高一学生来说，是一种形象直观、呼之欲出的数学知识，是否有必要让学生经历从具体到一般的探索过程？疑点二：学生能在第一时间明白教师的设计意图吗？其实，高中学生对函数的零点概念并不会觉得抽象，更何况它本身就是从图形中抽象出来的（学生容易产生误解的是“零点是点”，教学中要注意纠偏），若仅为引出零点概念而设计铺垫，倒不如直接给出定义.学习零点的概念，目的是用来解决一些不能用求解法求解的方程，为下一节内容的教学做好知识与方法层面的储备，以及让学生在学的过程中体会数形结合思想和函数、方程之间的转化思想.因此，若设计一个学生不能立刻解决，或者过程比较麻烦甚至无法解决的方程，作为概念教学的情境引入，则更易引起学生的思维冲突，使其增强思辨意识，进而产生主动接纳新知的需要.

鉴于此，笔者指导某教师采用以下方法来引入：让学生在较短的时间内求出方程2007x2-2008x+1=0的解，进而求解方程3x5+6x-1=0的实数解. 或许学生对前一个方程还想利用一般方法求解，但在解题的过程中，随着思考的深入，这道题必然会促使学生思考特定解法：直接找实数解.而后面的方程，学生自然感到无一般性解法，用方程的思想方法来解必将走入死胡同.当学生经历认知冲突后，就会产生问题转化的愿望.此时，教师适时进行引导：可否借助函数的图象来解决.然后从二次函数的图象与二次方程的解的关系入手，引出函数零点的概念.

情境引入的设计，要让学生体会到自身原有的知识和经验与导入问题的解决之间存在沟壑，让学生经历认知冲突，产生主动构建新知的愿望，从而实现知识的正向迁移. 此外，让学生领会教师的设计意图也是很重要的，这样才能有效而快速地激活学生的思维，让学生真正做到主动构建数学知识.

六、结语

数学概念教学中情境的设计，有时需要教师改变定理的条件或者定理的结论，以得到一些新的命题.教师还要引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新审视教学内容.但所有引申和改变，都应该与课程目标有关，教师要认认真真、切切实实地把握好“度”.数学教学的根本，是帮助学生更有效地学、更有效地达成数学课程目标.追求教学内容与数学课程目标的一致，认真解构每一节课相关数学概念的内涵与外延，把教学内容讲准、讲对、讲透、讲深，应该成为我们数学教师的专业自觉。