常微分方程在数学建模中的应用之传染病模型

张丽

摘 要：本文介绍了患有传染病的病人随机走动，在流行病传播中的影响，并且讨论了不可治愈的传染病和可治愈的传染病两种情况，为控制流行病区域性暴发提供理论依据。

关键词：数学建模; 微分方程; 传染病模型;治愈

1 引言

数学建模（ Mathmatical Modeling） 是通过数学方法解决实际问题的重要途径。随着计算机技术的发展和各种软件的开发，数学建模在各个领域中的重要性更加明显。根据运用的数学方法不同，有微分方程模型，概率模型，统计回归模型等。微分方程经过三百多年的发展，在其求解方法和理论分析方面都得到突飞猛进，使得微分方程的应用更加普遍。对于生活中变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律的许多复杂的实际问题，微分方程模型是一种极有效的数学手段。

2 常微分方程在传染病模型中的应用

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。常见的列微分方程的方法有按规律直接列方程，微元分析法与任意区域上取积分的方法，模拟近似法。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。无论应用哪种方法，通常要根据实际情况，做出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题进而达到预测预报的目的。

2.1不可治愈的传染病模型

近年来，虽然卫生设施得到了改善、医疗水平也提高了，但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。1982年十分险恶的艾滋病毒爆发， 至今仍在蔓延; 2005年禽流感病毒爆发， 给人民的生命财产造成极大的危害;2018年的猪瘟的爆发，再次威胁人民生命财产安全。长久以来， 人们致力于建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程， 分析受感染人数变化规律， 探索制止传染病蔓延的手段等。

2.1.1模型的建立

假設条件为

（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常熟α，α称为日接触率。当病人和健康者有效接触时，使健康者受感染而变成病人。

为了修正上述的结果必须重新考虑模型的假设，下面我们讨论病人可以治愈的情况。

2.2 可治愈的传染病模型

模型中，人们的卫生水平越高，日接触率α越小;医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。

因此，该传染病模型描述了传播的过程，分析感染人数的变化规律，预测传染病高潮到来时刻并探索制止蔓延的手段。

参考文献：

[1]王高雄.常微分方程[M].北京： 高等教育出版社， 1998.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京： 高等教育出版社， 2003.

[3]东北师大微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[4]高瑜、高艺、王伟. 常微分方程在数学建模中的应用之战争模型[J].知识文库，2019，09（17）：84-86