朗伯三锥体的后向LRCS

宫彦军，谭佳伟

(湖南科技学院 智能制造学院，湖南 永州 425199)

随着国家对国防科技的发展越来越重视，对国家安全，特别是对国家领空安全的重视，使得目标雷达散射截面(LRCS)测量系统对雷达散射截面的研究有了更加实际的指导意义。Wang等[1]对LRCS模型验证在基于特征的选择验证方法的基础上进行实验研究，可以运用在民用方面和在军事方面上，就导弹方面而言，基于LRCS系统的自动跟踪技术是很重要的[2]。在远、小、快等特性的目标上，郝晓慧等[3]分析在最小距离限的LRCS研究。罗龙[4]的外场测量的补偿计算，则有着很深的借鉴意义。把目标“点”化，是物理上的常用手段，如果点化就能使得目标的测量其LRCS的计算易于系统研究[5]，非理想条件下的测量对精度有很高的要求[6]。LRCS能够全面又客观地体现出各种因素对目标激光散射特性的影响，其中包括激光的波长、目标的材料特性及几何形状[7-8]、目标所处大气环境等[9]。孙绎成等[10]所研究的隐身飞行器LRCS特性对我国国防与民用航空激光雷达等方面也有一定的促进作用。李双江[11]在散射体远红外波段上进行研究。利用激光散射特性来发现、识别目标[12]。经过对LRCS测量的进一步研究分析，包学志等[13]研究精度的影响范围进一步扩大，其还应包括背景散射。在理想条件下要求获得散射光的功率，可运用激光测量系统来计算。非理想条件下，包学志等[14]所研究的校正方法使得LRCS测量结果更接近事实，运用更广。王明军等[15]在复杂目标的LRCS的数值计算，研究不仅限于可见光。李良超等[16]对在目标实物上覆盖多种材料，一一控制变量因素，进行LRCS计算，使得飞机的战略隐形技术得到理论支持。张骏等[17]的弹道导弹弹头的LRCS相干分量预估也是很关键的。开展目标光散射的研究是很有必要的，这些方法将可能会影响到整个系统性能的目标实物的散射特性[18-19]。Cao等[20]给出凸回转体的LRCS的计算方法，采用的是统一积分法，缺点：一是存在舍掉误差，二是不适用于非凸的回转体。本文设计朗伯三椎体的后向LRCS的计算算法，给出统一积分法和差异积分法的两种计算方法，其中差异积分法能克服统一积分法中存在的舍掉误差，这个误差是在计算时分母为0时舍掉的误差。利用射线跟踪设计遮挡剔除算法，实现朗伯三椎体后向LRCS的精确计算。

1 三锥体的LRCS算法

1.1 目标面元的LRCS

三锥体目标上每一可照射面元后向LRCS为：

dσ=4πfr(β)cos2βdA,

(1)

其中：fr(β)为三锥体表面材料在后向方向上的双向反射分布函数，是面元的本地入射角β的函数，当表面材料为朗伯面时，fr(β)是一个常数，fr(β)=ρ/π，ρ是表面材料的半球反射率，对于理想朗伯体fr(β)=1/π；dA为面元面积的微分。对于凸目标上满足cosβ>0的点就可以被照射到。将fr(β)=1/π代入式，同时考虑到cosβ>0可照射，凸目标上表面面元的后向LRCS为：

dσ=(cosβ+|cosβ|)2dA。

(2)

图1 三锥体坐标系框架

三锥体表面的所有面元后向LRCS的累加就是三锥体的后向LRCS。cosβ是面元法线与观测方向的夹角的余弦，可以用法线方向的单位矢量与观测方向的单位矢量的内积计算。三锥体形状和坐标系如图1所示。其中，圆台高h0，圆台半锥角α，圆柱高h1，圆柱半径r，圆锥高h2。令h=h0+h1+h2为三椎体的高。坐标系的原点为底面圆心，三锥体的轴为z轴，选与z轴垂直的一个方向建立右手直角坐标系，圆心为点O，三椎体侧面的方程由式给出，底面在xOy平面半径为r+h0tanα。

x2+y2-f02(z)=0(0≤z≤h0)，x2+y2-r2=0(h0

x2+y2-f12(z)=0(h0+h1

(3)

(4)

观测方向的天顶角为θ、方位角为φ，观测方向的单位矢量S为：

S=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)，

(5)

球坐标系的天顶角θ为0°～180°，本文为0°～360°，对给定的φ，当θ大于180°时，这时天顶角为360°-θ，当φ≤180°时，方位角为180°+φ，则此时的方向矢量为：

S′=(sin(360°-θ)cos(180°+φ),sin(360°-θ)sin(180°+φ),cos(360°-θ))，

(6)

S′=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) 。

(7)

从式(7)可以看出，对于θ>180°，φ≤180°，可以认为此时的天顶角为θ，方位角还是φ，用球坐标计算的方向矢量也是正确的。对于θ>180°，φ>180°，这时天顶角为360°-θ，方位角φ-180°，可以认为是180°+φ，对于θ>180°，φ>180°，把θ、φ作为天顶角、方位角计算出来的方向一致。因此对于给定的方位角φ，θ可以为0°～360°。S的x、y、z分量分别为Sx、Sy、Sz。则Sx=sinθcosφ，Sy= sinθsinφ，Sz=cosθ。

1.2 LRCS公式

根据式(2)得

(8)

三锥体表面任意一点的法线方向单位矢量为n，式(8)中cosβ为：

cosβ=n·S。

(9)

根据式(9)、(5)和(3)得式(10)

(10)

1.3 射线跟踪剔除遮挡

因为三椎体不是凸体，锥柱和圆台之间存在遮挡。利用射线跟踪设计剔除遮挡的原理是，从目标上面元的中心点沿着观测方向发出一条射线，如果与目标相交，这个面元被遮挡，否则没有遮挡。

1.3.1 遮挡

从目标表面上的点(x,y,z)沿着观测方向发出的射线上的点p为：

p=(x,y,z)+lS，

(11)

对于三椎体的锥柱和圆台之间的遮挡，把式(11)代入式(3)得关于l的一元二次方程：

al2+bl+c=0 。

(12)

圆台、圆柱、圆锥遮挡的a、b、c分别由式(13)、(14)和(15)给出，

a1=Sx2+Sy2-Sz2tan2α，b1=2[xSx+ySy+(r+h0tanα-ztanα)Sztanα]，c1=x2+y2-(r+h0tanα-ztanα)2，

(13)

a2=Sx2+Sy2，b2=2(xSx+ySy)，c2=x2+y2-r2，

(14)

(15)

根据式(12)，可得：

(16)

根据式(16)，存在下面的结论：

1)如果a≠0

(1)如果b2-4ac<0，l无解，面元没有被遮挡；

2)如果a=0，根据式(12)得：

bl+c=0 。

(17)

(1)如果b≠0，l=-c/b。如果l>0，并且z1≤z+lSz≤z2，遮挡；否则不遮挡。

(2)如果b=0，不遮挡。

其中，z1、z2分别为目标z值的最小值、最大值。

1.3.2 遮挡函数

根据上面的讨论，引入遮挡函数Vis(x,y,z,θ,φ,a,b,c)为：

(18)

1.3.3 统一积分法

根据式(8)朗伯三椎体统一积分法的后向LRCS计算公式为：

(19)

1.3.4 差异积分法

(20)

式(19)和(20)对比，对于侧面的计算，式(19)采用dxdz积分，而式(20)用dxdz和dydz两种积分方式，所以称为差异积分法。

2 三锥体LRCS计算与讨论

2.1 理论值与数值对比

当θ=0°时可以推导出三椎体的后向LRCS的理论值为：

(21)

图2 不同h0三椎体的统一积分法计算的后向LRCS随着φ的变化

θ=0°，h0=2.5 m，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m。理论值：4.400 1 m2。本文的计算结果与计算精度有关，Δz=Δx=Δy为2 mm、1 mm、0.5 mm、0.1 mm的计算结果分别为4.393 35 m2、4.396 8 m2、4.398 4 m2、4.399 8 m2。本文的计算精度：Δz=0.5 mm、Δx=0.5 mm、Δy=0.5 mm。

2.2考虑遮挡的统一积分法

θ=120°，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m，h0由2.5 m变化到0 m，变化间隔为0.5 m三锥体的统一积分法计算的激光后向LRCS如图2所示。

图3 不同h0三椎体的差异积分法计算的后向LRCS随着φ的变化

由图2可知，θ、α、h1、h2、r取固定值时，能够看出h0越小，三椎体的后向LRCS也随之变小。不同h0的RLCS计算的结果不同，当h0等于2.5 m时最大，即三锥体的圆台高越大，计算结果越大。这是因为目标的尺寸变大。三椎体的轴为Z轴，当θ固定时，φ变化，由于轴对称，后向LRCS应该不变，根据式(19)，计算时分母会出现为0的情况，舍掉，存在舍掉误差，所以图2给出的结果存在波动。

2.3 考虑遮挡的差异积分法

θ=120°，α=15°，h1=2 m，r=0.5 m，h2=2 m，h0由2.5 m变化到0 m，变化间隔为0.5 m三锥体的考虑遮挡的差异积分法计算的激光后向LRCS随着φ变化的结果如图3所示。

由图3可知：θ，α，h1，h2，r取固定的值时，差异积分法计算的后向LRCS随着方位角的变化，变化很小，LRCS变化不大，这是因为采用差异积分法分母不会出现为0的情况，不存在舍掉误差。

2.4 差异积分法考虑遮挡和不考虑遮挡

φ=120°、h0=2.5 m、h1=2 m、r=0.5 m、h2=2 m，α=15°、35°差异积分法考虑遮挡和不考虑遮挡计算的激光后向LRCS随着θ的变化如0图3所示。

从图4可知：α=15°，在θ=75°、180°、285°附近存在3个峰值。对于圆台，θ=90°-α=75°，在此方向上圆台有法线为观测方向的面元，本地入射角为0°，对于圆锥，圆锥的半锥角=artan(0.5/2)=14.0°，峰值为θ=76°位置，因此在75°到76°为峰值位置；180°是底面的贡献，这时底面的法线为观测方向；285°为对称位置。α=35°，圆台θ=55°为峰值位置，圆锥在76°位置，图中的峰值位置为49°，180°、311°存在峰值。两条曲线以180°为中心存在中心对称，这符合三椎体的对称性。从图4中看不出考虑遮挡和不考虑遮挡的区别，不考虑遮挡与考虑遮挡的差值如图5所示。

图4 差异积分法考虑遮挡和不考虑遮挡计算的激光后向LRCS随着θ的变化

图5 差异积分法考虑遮挡和不考虑遮挡计算的激光后向LRCS的差值随着θ的变化

从图5可以看出，考虑遮挡和不考虑遮挡，两者的LRCS存在差值，有的位置不存在遮挡，对于θ=0°、90°、270°理论上不存在遮挡，图5给出的结果也给出同样的结论，两者的差值为0。

3 结语

设计朗伯三锥体的后向LRCS的计算算法，从理论上进行朗伯三锥体LRCS公式的推导。设计两种计算方法：统一积分法、差异积分法。利用射线跟踪设计剔除遮挡算法，提高计算精度。分析观测方向的方位角、天顶角对LRCS的影响，分析三椎体的几何参数对后向LRCS的影响，能清楚地得出不同影响因素对LRCS的影响。对于目标的不同尺寸，计算所得的LRCS值也不同。从给出的测试结果可以看出，朗伯三锥体的LRCS算法可以给出正确的结果，设计的剔除算法提高了计算精度。