让数学教学成为美的历程——以“因数与倍数”教学为例

江苏省泰州市姜堰区东桥小学教育集团 秦月红

英国哲学家伯特兰·罗素指出，数学不仅拥有真理，而且还拥有至高无上的美。艺术之美显而易见，而数学之美如同太阳光般绚丽多彩，却以普通的白光示人。教师要善于挖掘素材，用智慧的“三棱镜”在课堂上展现数学隐藏之美，拨动数学“美”的琴弦。以下是以苏教版数学五年级下册“因数与倍数”一课教学为例，挖掘素材，在数学审美教学中，带领学生领略数学知识的深刻性与完美性。

一、用好教材中的审美元素，渗透数学对应之美

教材中例1 呈现的是：用12 个同样大小的正方形拼成一个长方形，有几种不同的拼法。在集体备课时有的老师产生质疑，动手操作对于五年级学生来说是否过于简单，能不能设计用想象来代替操作？教者认为，在这里动手操作是必不可少的。因为用12个同样大的正方形拼成一个长方形，不仅是简单的“摆一摆”的操作，还要通过写乘法算式来想一想：“每行摆几个，摆了几行？”利用学生对“长方形的面积”的认识以及对应的乘法算式的理解，初步形成数与形的统一，在数形结合中渗透“对应之美”。

【片段一】

师：用12 个同样大小的正方形拼成一个长方形，一共有几种不同的摆法?

全班汇报:

第一种: 每行摆12 个，摆了1行，乘法算式是1×12=12；

第二种：每行摆6 个，摆了2 行，乘法算式是2×6=12；

第三种：每行摆4 个，摆了3 行，乘法算式是3×4=12。

教师相机出示摆法，板书乘法算式。

问：还有不同的摆法吗？

生：没有。

问：我们的图和算式可以任意调换顺序吗？为什么？

生1：不能，比如，每行摆12个，摆了2 行，就是表示2 个12，所以乘法算式是2×6=12，不可以用其他乘法算式表示。

生2：我们摆出的图形和算式是一一对应的，所以不能随意调换。

儿童在各种活动中得到很大的乐趣，而这种快乐就带有美感。马克思论劳动，也说过美感是人使各种本质力量能发挥作用的乐趣。通过“用12个同样大小的正方形摆出不同的长方形并写出对应的乘法算式”这个活动，学生充分经历了“由形到数，再由数到形”的过程。“每行摆的个数”和“行数”都是“12”的因数，“12”是“每行摆的个数”和“行数”的倍数。图形为概念的学习提拱了形象的支撑，让学生深刻体会到图形与乘法算式的对应之美。

二、抓住课堂生成的资源，感受数学有序之美

“找出一个数所有的因数”是本节课学生学习的难点。教者放手让学生自主探索，必然出现了许多宝贵的错误资源。比如：因数找错了，因数找多了，因数个数找少了……“怎样找一个数的因数，不重复也不遗漏呢？”这个学习难点，只有让学生自己经历了过程，才会有深刻的顿悟。利用错误的资源和生成的资源互相评价，互相改进，在思维碰撞中体会数学有序之美。

【片段二】

课件出示：找出36 的所有因数，说说你是怎样找的？

展示作品1：

36 的因数：1，2，3，4，18，36。

提问：看一看这位同学找出的36的因数，谁来评价一下。

生评价：我觉得他找对了36 的6个因数，很好。另外，我觉得36 的因数还没有找全。

生评价：这位同学前面的几个因数是按一定顺序排列的，非常好。他如果能想一想乘法算式，就不会少了。

生评价：他少了3 乘12 中的12，4 乘9 中的9，还有6 乘6 中的6，这三个因数。

展示作品2：

36 的 因 数：1，36；2，18；3，12；4，9；6，6。

提问：这位同学是怎样找出36 的因数，你来评价一下？

生评价：他是一对一对地找的，不容易重复，也不会遗漏，我觉得很好。

生评价：我觉得两个6，应该只要写一个就行了，这样才不重复。

展示作品2：

36 的 因 数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

谈话：请这位同学说一说，你是怎么思考的？

生3：我把所有的因数找出来之后，按照一定的顺序排列。

生评价：这样可以让我们看得更清楚，更有序。

生评价：我们可以一眼看出36 最大的因数是1，最小的因数是36。

学生的错误可以成为教学内容之一，它们可以被当作一种资源，而不是障碍。教者让学生自主探索36 的所有因数，并展示作业。通过学生之间的互评、互补，对找一个数所有因数的方法进行完善，也就是学生口中的“不重复与不遗漏”。第二种方法是“成对”找出因数，第三种方法是学生通过乘法算式找出36 所有的因数后，再按一定的顺序写下来。这两种方法都有序地呈现了36 所有的因数。在课堂上，教师及时抓住生成资源，让学生一边寻找，一边修改，一边调整，最终感受到数学有序之美。

三、辨析相关知识的特征，领悟数学深刻之美

学生早在二年级的时候，就认识了“倍”这个概念，会解决“一个数的几倍是多少”以及“一个数是另一个数的几倍”等问题。“因数与倍数”概念的学习，也是建立在“倍”的认识基础之上，但又有所不同。学生通过一系列的乘法算式，认识了两个数的因数与倍数的关系，对于“倍数”与“倍”可能在潜意识中造成了一定的混淆。教者精心设计了两道判断题，引导学生讨论、辨析，目的是帮助学生厘清这两个概念，让“因数与倍数”的概念的学习更具深刻性。

【片段三】

辨析对错

（1） 0.8×3=2.4，那么2.4是0.8的3 倍。（ ）

（2） 0.8×3=2.4，那么2.4是0.8的倍数。（ ）

小组讨论中出现了两个不同的观点，于是教师临时组成辩论赛。

正方：两题都是对的。

反方：第（1）题是正确的，第（2）题是错误的。

正方观点：两题都是对的，2.4是0.8的3倍，所以2.4是0.8的倍数。我们根据刚刚学习的知识，积就是两个乘数的因数。

反方观点：第（1）题是正确的。请正方注意第（2）题，我们今天所学的因数与倍数是在不为0 的自然数中讨论，两个数的因数与倍数关系不可以在小数中存在。

教师小结：“倍”是表示两个数比较的一个结果，2.4 与0.8 两个数相比，前一个数是后一个数的3 倍。而“倍数”表示两个数之间的关系，这两个数一般是指非零自然数，因此不可以说2.4 是0.8 的倍数。

教材中明确指出因数与倍数是非0 自然数之间的一种关系，“倍数”是两个数之间的关系，本质上是建立在两个数能整除的基础之上，而“倍”是反映两个量之间比较结果的概念，因此涉及的数范围广一些，可以是整数、小数、分数等。学生在辨析的过程中打通了新旧知识的脉络，领悟到数学深刻之美。

四、阅读数学历史文化，品味数学奇妙之美

教者把课本中的练习题作了一定的修改，“找出15 和16 的因数”改变为“找出6 和28 的因数”，目的是为了学生学习“完美数”做准备。结合数学阅读，让学生了解数学文化，认识“完美数”的概念，感受数学家寻找“完美数”的艰辛历程。以两道讨论题入手，让学生思考、品味“完美数”的奇妙之美，激发学生学习数学的热情和对美的不断追求。

【片段四】

谈话：下面我们把目光聚焦到6和28 这两个数，这两个数还蕴藏着一个数学奥秘呢？同学们想知道吗？

课件出示拓展阅读：

最早发现完美数的是古希腊著名数学家毕达哥拉斯，完美数是指它所有的因数（除了它本身）相加的和，恰好等于这个数。目前数学家找到的第一个和第二个完美数是6 和28，第三个完美数是496，后面的完美数还有8128、 33550336等等。截至2018年，相关研究者已经找到51 个完美数。

1.什么是完美数？

2.结合作业纸上找出的6 和28的因数说一说，这两个数美在哪里？

“完美数”把一个数的美呈现得淋漓尽致，在学习了“因数与倍数”之后，一定要让学生了解并认识这些独特、简洁、奇妙的数，对学生的认知也是一种震撼。数学文化史展现的就是数学家们探索奇妙数学知识的艰辛历程，数学课上带领学生步入历史的长河，从文化的角度深入解读数学，品味数学奇妙之美。

数学之美绚丽多彩，教师要有一双发现美的眼睛，挖掘美的素材，拨动数学“美”的琴弦，让学生在数学审美教育下不断迸发智慧的火花。