关于σ-超可解群中极大子群的一个特性

马小箭，毛月梅

（山西大同大学量子信息研究所，山西大同 037009）

在群类理论中，关于超可解群一个重要的性质是：群G是超可解的当且仅当G的每个极大子群在G中指数都是素数[1]。应用σ-群理论给出了σ-超可解群的概念：称群G是σ-超可解的[2]，如果G的包含于的主因子都是循环的(其中Nσ表示所有σ-幂零群构成的群类见文献[3])。因此很自然地，将上述超可解群的结论推广到σ-超可解群，给出σ-超可解群中极大子群指数的特征。

设σ={σi|i∈I} 是所有素数集合P的一个划分，符号∏表示σ的任一非空子集。如果则称n是一个∏-数，记σ(n)={σi|σi⋂π(n)≠φ} 。假 定G是一个群，通常记∑(G)=σ(|G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|，则称G是σ-本原的；如果G的每个主因子都是σ-本原的，则称G是σ-可解群；如果对于G的每个主因子H/K满足H/K⋊(G/CG(H/K))都是σ-本原的，则称G是σ-幂零群。设H是G的子群，如果|H|是一个∏-数，则称H是G的∏-子群；如果H是G的一个∏-子群且|G∶H|是一个∏′-数，则称H是G的Hall∏-子群。设H是群G的子群集满足1 ∈H，如果对于某个σi∈∏，H中的每个元素都是G的一个Hallσ-子群，并且对于每一个σi∈∏⋂σ(G)，H包含且只包含G的一个Hallσ-子群，则称H为G的完备Hall∏-集。特别地，如果∏=σ，则称H是G的一个完备Hallσ-集。关于σ-群理论中相关的概念和符号可参见文献[3-5]。另外，用符号Nσ，U和Uσ来表示所有σ-幂零群，所有超可解群和所有σ-超可解群所构成的群类。

1 准备知识

引理1群类Gσ和Nσ都是子群闭的饱和群系，并且σ-可解群关于σ-可解群的扩张仍是σ-可解群[3]。

引理2所有σ-超可解群构成的群类Uσ是子群闭的群系[2]。

引理3G是σ-超可解群当且仅当下面的条件成立:

引理4群G是σ-幂零群当且仅当G有完备Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 满足。

引理5设G是一个σ-超可解群，N是G的正规子群，那么

(1)G/N是σ-超可解群；

(2)如果对于某个σi∈σ(G)我们有σi⋂π(G)={p}，则G是p-超可解群[2]。

引理6设A=，那么G是p-超可解群，当且仅当是方次数整除p-1的交换群，p是|A|的最大素因子且F(A)=Op(A)是A的正规Sylow子群。

2 主要结果

定理设H={H1,H2,…,Ht} 是G的完备Hallσ-集，并且每个Hi都是超可解的，那么G是σ-超可解群，当且仅当G的每个极大子群在G中指数都是素数。

证明首先证明定理充分性。假设定理不成立，并对G用极小阶反例。按照以下步骤完成充分性的证明。

(1)G是σ-可解群。

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设p是|G|的最大素因子，P是G的Sylowp-子群。若P不正规于G，那么存在G的极大子群M满足NG(P)≤M。由题意设|G∶M|=q≤p，其中q是一个素数，那么G/MG同构于对称群sq的一个子群，所以q是|G/MG|的最大素因子，但是q

(2)G有唯一极小正规子群N满足G/N是σ-超可解，N是非循环的初等交换p-群并且Op′(G)=1，其中p∈π(H1)。

设N是G的极小正规子群。易见，={H1N/N,H2N/N,…,HtN/N,}是G/N的Hallσ-集，其中每个HiN/N是超可解的。所以由G的选择知G/N是σ-超可解的。从而由引理2 知N是G的唯一极小正规子群。若N循环，则显然G是σ-超可解的，这与假设矛盾。所以N是非循环的。由(1)知，N是σ-本原的，不妨设N≤H1，因H1是超可解群，所以N是初等交 换p-群，其 中p为|H1|的素因子。显然，Op′(G)=1。

(3)N≤φ(G)。

假设φ(G)=1。那么由(2)知存在G的极大子群M满足假设G=NM。易见，N⋂M正规于G，所以N⋂M=1，从而|N|=|G∶M|为一素数，这与(2)矛盾，故φ(G)≠1。从而由(2)知N≤φ(G)。

(4)G有正规的Sylowp-子群P满足Op(G)=F(G)=P。

(5)得出矛盾。

因为P是G的正规的Sylowp-子群，所以可以设U和V分别是P在G和H1中的可补子群且满足V≤U。因为≤Op(G)≤P，所以UG/P是σ-幂零群，从而由引理4知U=V×H2×H3×…×Ht。因H1是超可解的，所以V是方次数整除p-1的交换群。现考虑群PHi/N，其中i=2,3,…,t。由(2)知对于每一个i，PHi/N是σ-超可解群，所以由引理5知PHi/N是p-超可解群，因N≤φ(G)，从而知PHi是p-超可解群。因为G/P是σ-幂零的，故由引理4知PHi/P正规于G/P，从而得PHi正规于G，因此≤Op′(G)=1，那么由引理6知Hi是方次数整除p-1的交换群，由此得U是方次数整除p-1的交换群，那么再由引理6知G是超可解群，这与假设矛盾。从而定理的充分性得证。

3 结语

利用σ-群理论中Hall 子群和σ-超可解群的性质给出了σ-超可解群中极大子群指数的特征，这一特征与超可解群中极大子群的情形类似，这说明将超可解群推广到σ-超可解群后，其中一部分性质是保持不变的，这就为进一步探讨超可解群中的其他性质在σ-超可解群中是否不变提供了思路.另外，这一结论还对研究σ-超可解群中子群的置换性、嵌入性以及极大子群的相关性质有一定的意义，并对进一步探讨σ-可解群的结构提供了新的研究方法和途径。