“证明”：探寻数学本质的最佳路径

徐凯

[摘 要]如果对于知识的教学只是浮于表面，过于注重结论、方法以及习题，学生就无法深入探究数学知识的本质内涵。文章立足于“数学证明”，深层剖析“证明”在小学数学教学中的内涵和价值，并针对如何利用小学生力所能及的“证明”展开探讨，给出“剖析教材，发掘素材”“以错引措，以误换悟”“探本溯源，突破界限”和“多样证明，活化认知”等策略，力求将“数学证明”融入课堂，使之成为学生探寻数学本质的最佳路径，让课堂充满浓浓的“数学味”。

[关键词]数学证明;数学本质;小学数学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0001-04

如果说问题是数学的心脏，那么“证明”就是数学的灵魂。数学家匈菲尔德对于“证明”的解读是“证明是寻找数学意义的活动”。可见，“证明”就是让学生理解概念、公式、法则、定律等的发生和发展过程和原因，即探索数学知识本质的过程，而非把数学证明看作推理过程的“固化痕迹”。

作为教师，要注重培养学生对于数学本质的感悟，让学生学习“带得走”的数学，而非遨游于“数学题海”。正如数学教育家米山国藏所言“唯有深深铭刻在心中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和看待问题的着眼点等，随时随地地发生作用，使他们终身受益” ，“数学证明”的深刻性就具有这样的“威力”。

一、审视：当下课堂教学中“数学证明”的现状剖析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。关于数学基本活动经验，史宁中教授指出“数学基本活动经验是亲身经历和感悟了归纳推理和演绎推理的过程，尤其是归纳推理过程后的一种结果”，这与“数学证明”不谋而合。反观当下的数学课堂，难有“证明”的身影，即使有，也大都如走马观花一般，重知识、技能，轻活动经验的现象比比皆是。

1.对小学“数学证明”概念理解狭隘

有些教师觉得“数学证明”伴随着严谨的思考、高深的定理以及极其规范的格式，对小学生来说遥不可及，非小学生所能掌控。其实不然，在小学阶段，“数学证明”通常只涉及一些非形式的推理和论证，这个阶段的“数学证明”不是严格的、形式化的，其主要目标是让学生从事力所能及的逻辑论证。

2.对课堂中“数学证明”过程的剥削

不少教师潜意识里认为“证明”不属于小学教学内容，尤其是对于中低年级的学生，让其掌握“证明”无异于揠苗助长，学生只需掌握一些基本的知识或技能会解题足矣，于是把得出结论的证明过程一带而过，将宝贵的课堂时间大多用于习题训练和巩固所学知识，此种做法无异于竭泽而渔。

以苏教版教材三年级上册“比较同分子异分母的分数大小”为例，很多学生都能掌握比较分数大小的方法“分子相同时，分母越小分数越大”，尤其在课堂中花大量时间巩固和练习，一节课下来学生均“熟能生巧”。殊不知，结论虽然易懂，但其真正价值蕴含于得出结论的过程和方法中：通过画出二分之一和四分之一的示意图（如图1）来佐证两个分数的大小，其间蕴藏着“数形结合，以形证数”的原生态的“证明”雏形。

试想一下，若课堂中只注重结论和方法，罔顾证明的过程，长此以往数学课不免枯燥和冰冷。要想学生的思维有深度，那在中低年级这个起步阶段，就得在学生心中埋下“知其然还要知其所以然”的种子。

3.对教材中“数学证明”素材的轻视

目前各版本教材或多或少都安排了“证明”的素材，除了显而易见的公式、定理的推导与证明，在“思考题”“动手做” “你知道吗”等部分皆有“证明”的身影。但一些教师对于这些素材的处理往往浅尝辄止，仅仅停留在学生“了解、知道”层面，没有充分挖掘和激活其内在价值。

以苏教版教材五年级上册中的 “你知道吗”为例（如图2）：

该内容介绍的是《九章算术》中记载的关于古代三角形面积的计算方法，即“半广以乘正从”。不少教师只是在课末简单介绍这部分内容，仅将其作为可有可无的补充，如此有“证明”价值的素材就被一带而过，可谓是暴殄天物。这个三角形面积的计算方法看似简单，实则是三角形面积公式的另一种推导和证明的过程，不同方法相互验证，彰显数学的严密与严谨，可以引导学生在原有的基础上感受证明方法的多样化，感叹证明的精妙之处;深挖下去，亦是“转化”这一数学思想的体現，学生能够在“证明”中感受数学思想的妙处，构建未知与已知的桥梁，思维得到长足的发展与提升。

在具体的教学过程中教师只有有效激活相关素材，将其融入课堂教学，而不是使其像“孤岛”般游离在学习体系之外，学生才能从内心深处感受到“证明”的价值所在，才能将证明意识根植于心。

4.对小学“数学证明”的评价片面

随着课改的深入，“数学证明”与数学学习的联系日益紧密，尤其是中高年级的数学学习，但 “数学证明”考不考？怎么考？考到何种程度？这都是教师面临的实际问题。

例如，五年级某练习检测题：你认为[nm]和[n+1m+1]哪个大（m>n>0）？请用你喜欢的方法证明。

有些学生根据直觉胡乱猜测，然后证明过程亦是胡写一气;有些学生只写结论毫无证明过程;更有甚者，完全不会……

笔者对一些学生进行了访谈，他们表示：看到“证明”两个字不知所措，没遇到此类题型;只记得老师讲过类似的结论，记不清具体为什么;没有比较过带有字母的分数的大小，所以看不明白，通分的方法也不会用在这里……其实解答本题只要言之有理，将自己想法解释清楚即可。

由此可见，考什么就教什么，不考就不教，就给“证明”套上了“应试”的枷锁，不但慢慢抹杀了“数学证明”本身的价值，而且这种极具功利性和工具性的评价取向，也成为制约“数学证明”进入课堂的一个重要因素。

二、沉思：“数学证明”的意蕴内涵和实践价值

1.“数学证明”的意蕴内涵

数学是人类智慧的结晶，“证明”就是其灵魂所在。将“数学证明”适时地融入课堂，能让学生感受数学精巧的方法、奇妙的思想和严谨的逻辑。

数学家波利亚曾说：“教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么，学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于系统地给学生发现事物的机会。” 因此，在课堂中融入“数学证明”的目的在于改变数学教育只停留在知识技能层面的现状，使学生对数学的理解深入到思维、能力乃至精神层面，感悟数学的本质，在大胆猜想、勇于探究和严谨求证中不断获得推理能力、数学思维、创新精神以及理性精神，从而提升数学素养。

2.“数学证明”的实践价值

（1）有利于激发学生探秘数学的内在动力

现代认知学习理论认为，充分利用知识本身的一切能引起机体产生动机性行为的外部刺激就是启动学生认知学习的内在动力，而“数学证明”就蕴含着数学知识本身的“诱因”价值。

以“三角形的内角和”教学为例，课始，教师发现绝大部分学生都知道了三角形的内角和为180°，于是要求学生证明为何三角形的内角和为180°。学生通过量角度、先撕再拼和折成长方形来说明三角形的内角和是180°，与教材所给出的方法如出一辙。本以为证明过程就此结束，突然有位学生提出疑问：“我也是撕和拼的，為何有的缝隙对不上，得出的角不像是180°的平角。”教师并没有以“存在误差”为理由搪塞过去，而是以此为契机，提出：“既然有误差，那有没有更有说服力的证明方法呢？”学生冥思苦想后，得出以下方法：

①一个长方形的四个角都是直角，所以长方形的内角和是360°;画一条对角线，把长方形分成两个完 全一样的三角形，那么一个三角形的内角和就是180°。

②先画一个三角形 ，然后把三角形慢慢“压扁”，两个底角就越来越小，慢慢接近0°，顶角越来越大，逐渐接近平角180°，所以三角形的内角和是180°。

至此，学生大开眼界，感悟到不同的证明方法，甚至极限思想，从而打开了思维的闸门。可见，“数学证明”可以直接驱动学生学习，使学生变得积极、主动，对学生数学学习的兴趣、动机、品质都会有积极影响。

（2）有利于学生自主建构知识体系

课程标准要求数学教学过程中要注重学生学习的过程，而知识的学习其实是一个学生自主建构知识体系的过程，“证明”亦是学习探索过程的一种，它能帮助学生探索知识本质，是一种由表及里、由外而内的学习过程。

以“两位数加两位数（进位）”教学为例，大部分学生课前都已知晓或接触过该计算方法，那整节课都用来训练巩固计算方法？当然不是，既然是进位加法，那进位“1”的重要性便不言而喻。教师给学生若干小棒、计数器等学具，让学生自主证明进位“1”的来历，最终形成板书（如图3）。学生在教师的引领下通过“摆小棒（10根小棒为一捆）”“拨计数器”“加法算式”三种方式去证明“满十进一”这个核心知识点。想必通过学生的自主操作、自主探索和自主证明，“满十进一”便不再是一句简单的口诀，学生也深刻理解了进位“1”的来龙去脉。

虽然上述证明过程较为简单，但足以在低年级学生的心中埋下“证明”的种子，学生能通过操作、观察去证明 “约定俗成”的口诀或计算方法，建构知识体系，将浮于表面、需要记忆的数学知识内化于心、融会贯通，此乃“证明”之妙处所在。

（3）有利于培养学生的理性精神

数学教育给学生留下的是什么？是概念、公式，还是某次考试？其实，重要的是用数学化的头脑与眼光看待事物，以及思考问题和观察世界的能力。融入“证明”的教学就是让学生在寻找理由和依据的过程中不断进行深入的思考，潜移默化中培养学生的理性精神。

“篮球队中小王身高约2米，小张身高约2.0米，2=2.0，所以他们两人一样高。你认同么？”这是教学“小数的近似数”时教师抛出的一句话。某学生的表述令人眼前一亮：“虽然2和2.0的大小一样，但都是近似数，所以取值范围和精确度不同。”该学生还利用数轴来佐证自己的想法（如图4）。

数轴激活了学生已有的生活经验和四舍五入取值经验，学生结合图示证明自己的想法，直观感受近似数2和2.0的取值差异。

看似平平无奇的一句话，看似两个毫无差别的数据，从数学的角度看却大有不同。通过“数学证明”，学生能够认真思考和判断，能够理性地看待问题，发现隐藏的数学秘密， 学生的理性精神得到充分的孕育。

三、实践：“数学证明”助课堂的策略探究

1.深层剖析教材，发掘证明素材

数学自身的多元性使其具有丰富的证明素材。每一个数学知识背后都有可挖掘的证明价值，如基本的公式、定理、定律皆不是从天而降的，都是无数数学家经过严谨的证明与思考凝练而成的智慧结晶。

例如，教学三角形的面积公式后，教师提出问题：“还记得正方形面积计算的另一个公式‘对角线×对角线÷2吗？能联系今天所学，证明这个公式吗？”学生思考后给出证明过程：将正方形分成两个相等的三角形，其中一个三角形的底是一条对角线，高是另一条对角线的一半，所以一个三角形的面积就是“对角线×（对角线÷2）÷2”，正方形由两个这样的三角形组成，再把一个三角形的面积乘2就得到正方形的面积，“÷2”和“×2”抵消，最终得到这个正方形的面积公式“对角线×对角线÷2”。学生通过证明，加强了公式与公式之间的关联，感受到每一个数学知识都不是孤立存在的，每一个知识点都有迹可循的。

这些素材虽然没有完全呈现在教材当中，但只要教师做个有心人，加强自身对于教材和知识的理解，打开自己的数学视野，一定能二度开发出教材中的价值。俗话说：“巧妇难为无米之炊。”只有挖掘出不同类型的证明素材，才能在课堂教学中将它们有效激活，才能更有效地引领学生感悟数学的本质。

2.以错引措，以误换悟

面對学生五花八门的错误以及质疑，教师该如何应对？是呵斥？是置之不理？还是给予充分的回应？其实，错误和质疑都是学生最原生态的思考痕迹，对其探索，定能体现出其中的价值。

对于计算题“1200÷（30+20）”，不少学生受乘法分配律的干扰，将计算过程写成“1200÷30+1200÷20=100”，他们会提出：“难道没有除法分配律吗？”教师随即将问题抛给学生：“有没有除法分配律？能证明你的想法吗？”不少学生采用列举法证明，得到的结果却是只有部分成立，他们自己也说不清原因。有一位学生的证明方法特别新颖（如图5）：第一幅图里的宽相当于是“公除数” ，第二幅图虽然面积都是 20 平方厘米，但由于长和宽各不相同，无法拼成一个大长方形， 此处相当于用“公被除数”除以两个宽的和，“公除数”可以像乘法分配律中的公因数一样被提取出来，但“公被除数”是不能被提取出来的，所以第二种情况不成立。学生看了这个方法后恍然大悟、茅塞顿开。

由此可见，教师不能避开学生的想法，就知识教知识，要以学生的视角去对待他们的错误与质疑，从中挖掘有探索价值的想法。过程比结果更重要，学生在自主思考、自主证明的过程中能获得对数学知识的感悟，能加强对数学的理解。

3.探本溯源，突破界限

课堂教学首先要做的就是回归知识的“源”点，让学生通过“证明”找寻、感悟知识的本源 ，突破对原有知识浅层次的理解，从而加深对数学本质的认知。

以“3的倍数特征”为例，学生通过列举法很容易发现3的倍数有哪些特征，但当教师提出“为什么3的倍数具有这样的特征？”时，学生均陷入沉思，直到一位学生带着自己的作品上台讲解：我把一个三位数abc改写成100a+10b+c，再改写成（99a+9b）+（a+b+c），这时候可以知道99和9都是3的倍数，那只要看a、b、c这几个数的和是不是3的倍数就可以了，而这几个数的和就是a+b+c，所以只要看几个数位上的数的和是不是3的倍数就可以判断这个数是不是3的倍数了。

如此，利用数学推理与证明，学生在重塑知识的过程中不断探索，不但推开原有的认知“墙”，突破知识的界限，还在还原本质中发现更大的世界。

4.多样证明，活化认知

获得数学结论的道路不止一条，正所谓“条条大路通罗马”，“数学证明”亦是如此，教师要引导学生了解多种证明策略，领略“证明”之路的不同风景。

对于“圆的面积”，教材中只编排了将圆转化成近似长方形的方法。笔者利用多媒体课件展示圆除了可以转化成长方形，还可以转化成梯形和三角形（如图6），以及可以将圆转化成三角形（如图7）。随后通过演示让学生理解圆的面积公式推导过程并不是单一的。

在课堂教学中，引领学生体会多样的证明策略，学生在见识多种证明策略的过程中，扩展和延伸自己的知识面，感悟数学知识的本质内涵。这是一种从“一”到“多”的思维冲击。

（责编 金 铃）