用等价无穷小代换求极限的几个问题

周继振 张晓亮 许峰

【摘要】本文指出了高等数学中应用等价无穷小代换求极限的几种常见错误，分析了产生错误的原因，并给出了应用等价无穷小求极限的条件.

【关键词】无穷小;等价无穷小代换;极限

【基金项目】安徽省教育厅省级质量工程支持：2020jyxm0440.

等价无穷小代换是高等数学中求极限的一个有效且重要的方法，也是学生需要掌握的重点内容，其在考研和数学竞赛中经常出现.然而，看似简单的等价无穷小代换也有很多陷阱，若学生对使用等价无穷小代换的条件不能够深入理解，则极易出现各种错误.本文将分析使用等价无穷小代换时出现的常见错误以及原因.首先来回忆一下相关概念.

定义1若limx→0 f（x）=0，则称当x→0时，f（x）为无穷小.

定义1中的极限过程x→0可以换为其他极限过程，例如x→∞ 或x→1+ ，根据定义1，易得1[]n（n→∞），x2（x→0），1[]x-1（x→∞）均为无穷小.本文的极限过程总以x→0为代表.

定义2设limx→0 α=limx→0 β=0，若limx→0βα=C，则称x→0时，α与β是同阶无穷小.若C=1，则称x→0时，α与β是等价无穷小，记为α～β.

根据高等数学中的两个重要极限，易得当x→0时，sin x～x，ln（1+x）～x.等价无穷小的重要性体现在下面的定理上.

定理1设α～α′，β～β′，x→0，且limx→0 β′[]α′存在，则

limx→0βα=limx→0β′α′.

该定理的证明在高等数学教科书上能查到，在此证明省略.应用定理1时，大多是省略验证条件limx→0β′α′存在.下面通过一个例子来说明在求解极限时如何使用定理1.

例1求极限limx→01+xsin x-1ex2-1.

解因为1+x-1～x2，ex-1～x，x→0，故

limx→01+xsin x-1ex2-1=limx→012xsin xx2=12limx→0sin xx=12.

那么在使用的过程中学生容易犯的错误是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？

一、加减运算中不可用等价无穷小代换，同阶不等价无穷小可以用等价无穷小代换

例2求极限limx→0x-sin xsin 3x .

该题的常见错误是分子直接用等价无穷小sin x～x，x→0代换，从而得出错误结论，即

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

正解根据泰勒公式，易得sin x=x-13！x3+ox3，故

limx→0x-sin xsin 3x=limx→0x-x-13！x3+ox3x3=limx→013！x3-ox3x3=16.

例3求极限limx→0cossin x-cos xx4.

请读者指出下面的解题过程错在哪里.

limx→0cossin x-cos xx4=-2limx→0sin sin x+x2sin sin x-x2x4

=-limx→0（sin x+x）（sin x-x）2x4

=limx→0x2-sin 2x2x4=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→0x-sin x4x3=124.

上面倒数第二步作等价无穷小代换sin xcos x～sin x，x→0是错误的，在这里继续用洛必达法则就可得出正确结论.

正解接上面解题过程的第三步可得

limx→0cos（sin x）-cos xx4=limx→0x2-sin 2x2x4

=limx→0x-sin xcos x4x3

=limx→01-cos 2x+sin 2x12x2

=16.

在加减运算中，什么条件下可以用等价无穷小代换呢？下面的定理2给出了回答.

定理2设α～α′，x→0，limx→0α-α′γ=0且limx→0α′-βγ存在，则

limx→0α-βγ=limx→0α′-βγ.

证明利用极限的运算法则，直接展开计算得

limx→0α-βγ=limx→0α-α′γ+α′-βγ

=limx→0α-α′γ+limx→0α′-βγ

=limx→0α′-βγ.

定理证毕.

条件limx→0α-α′γ=0也可以记为α-α′=o（γ），即α-α′為γ的高阶无穷小.

例3中，显然limx→0sin x-sin xcos x4x3=limx→0sin x1-cos x4x3=18，

不符合定理2的条件.

例4求极限limx→0x-sin xcos x4x2.

解因为limx→0sin x-sin xcos x4x2=limx→0sin x1-cos x4x2=limx→01-cos x4x=0，故可用等价无穷小代换sin xcos x～sin x，x→0，得

limx→0x-sin xcos x4x2=limx→0x-sin x4x2=0.

二、复合函数的中间变量不可用等价无穷小代换

这里以高等数学中常见的未定型为例.

例5求limx→0sin xx1x2.

解limx→0sin xx1x2=limx→01+sin x-xxxsin x-xsin x-xx3=explimx→0sin x-xx3=e-16.

若这里采用等价无穷小来化简计算，则得如下的错误结论：

limx→0sin xx1x2=limx→0xx1x2=1.

下面分析上面的错误解法到底错在哪里.

定理3α～α′～β，x→0，limx→0f（x）=∞，limx→0αα′f（x）=1且limx→0α′βf（x）存在，則

limx→0αβf（x）=limx→0α′f（x）.

证明注意到

αβf（x）=αα′×α′βf（x）=αα′f（x）×α′βf（x），

从而

limx→0αβf（x）=limx→0αα′f（x）×limx→0α′βf（x）=limx→0α′βf（x）.

定理证毕.

根据定理3，得limx→0αβf（x）不能代换为limx→0α′βf（x）的原因是limx→0αα′f（x）=1未必成立.易验证例5不满足定理3的条件，见例5的正解过程.请读者验证limx→0sin xx1x可以作等价无穷小代换sin x～x，x→0.

类似于定理3，可得00型也可用等价无穷小代换.

推论1设α～α′，x→0，limx→0 β=0且limx→0 βln  α′存在，则

limx→0 αβ=limx→0 α′β.

证明注意到

αβ=expβln α=expβln αα′+ln α′，

从而

limx→0 αβ=explimx→0 βln α=explimx→0βln αα′+ln α′

=explimx→0 βln  α′=limx→0 α′β.

定理证毕.

例6求limx→01-cos xx.

解limx→01-cos xx=limx→0x22x=limx→01xlimx→0x2x=explimx→0 2xln x=0.

三、遇零不可用等价无穷小代换

在定理1中，当x→0时，limx→0 α=0，切记，当x≠0 时，则α≠0.

例7指出

limx→0sinx2sin 1[]x[]x=limx→0x2sin1[]x[]x=limx→0 xsin 1[]x=0的错误，并给出正确解法.

解令xn=1nπ，则x2nsin 1xn=0，sin x2sin 1x～x2sin 1x，x→0错误，正解如下.

显然，

sin x2sin 1x=sin x2sin 1x≤x2sin 1x≤x2，

故对ε>0，取δ=ε，当0<|x|<δ时，

有sin x2sin 1xx=x2x≤|x|<δ=ε，

从而limx→0sin x2sin 1xx=0.

上述几种利用等价无穷小代换求极限的方法，学生容易出错的原因是没有理解等价无穷小以及等价无穷小代换在乘除中的应用，个别题目在满足一定的条件下，加减和复合运算中也可以使用等价无穷小代换，但是条件验证较为复杂，这里不推荐使用.

【参考文献】

[1]许峰，范自强.高等数学：上[M].北京：人民邮电出版社，2016.

[2] 赵琼.用等价无穷小代换求极限的两个误区[J].高等数学研究，2009，12（5）： 17-18.

[3] 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组.大学数学竞赛指导[M].北京：清华大学出版社，2009.