充分理解算理合理优化算法

孙艳君

【摘要】掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算法本身虽易掌握，但其背后的算理却不简单.本文以小数除法为例，以分析学生学习起点为基础，使用多种方法促进学生理解算理，借助数形结合帮助学生突破知识难点，对比多种算法之间的联系，通过知识的迁移帮助学生在优化算法的同时理清除法的知识脉络.

【关键词】算理;算法;小数除法

一、理解学习目标

小学阶段的除法知识共包括三个部分：整数除法、小数除法和分数除法，其中小数除法是除法计算教学中的难点和易错点.根据除数的不同，小数除法分为除数是整数、除数是小数两部分.小数除以整数是小数除法的起始课，由于除数是小数的除法要通过商不变的性质转化成除数是整数的小数除法来计算，所以小数除以整数是学习小数除法计算的基础.除数是整数的小数除法，其竖式算法和整数除法基本相同，只要将商的小数点与被除数的小数点对齐就行了.竖式算法本身虽简单，其背后的算理却不简单.

本节课是小数除法的第一课时，如何帮助学生把整数除法的算理和计算方法迁移到小数除法上来，并在学生头脑中形成除法的知识脉络是这节课的关键，如何帮助学生理解商的小数点定位的缘由是这节课的重点及难点.

二、分析学习起点

学生学习小数除法最直接的知识基础是整数除法，在计算的过程中还会涉及元角分与小数、小数的意义、小数的加减法、小数乘法等.笔者在上课前做了一个问卷调查：“9.2÷4你会计算吗？如果会算，把你的方法写在下面.”

9.2÷4，这个算式你能算出得数吗？在符合情况的括号里打“”.

A.能（）B.不能（）

如果会算，请你把计算的方法写在下面，会几种就写几种.

方法一：[]

方法二：[]

方法三：[]

方法四：[]

方法五：

在符合情况的括号里打“”.

A.这样的算式你在课外班学过.（）

B.这样的算式你的父母教过你.（）

C.这样的算式你以前没学过，是现在自己想出来的.（）

分析学生的问卷之后，笔者发现多数学生选择用竖式解决问题，原因是竖式算法的简捷给学生留下了深刻印象，列竖式已经成为学生的习惯算法.

一部分学生用商的变化规律把被除数扩大到原数的10倍，再把商缩小到原数的1[]10来做，其原因是四年级学生正是由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，更多的学生喜欢用较高级的抽象逻辑思维解决问题.

一少部分学生选择用单位换算的方法，其原因与学生三年级时学习的元角分与小数的关系有关，但由于隔的时间相对长一些，这个知识不容易被迁移过来.

极少学生用分方格图的方法，其原因：一是学生不习惯用小数的意义解决问题;二是有的时候形象思维比抽象思维更难;三是学生没有积累画图经验，根据教材的设计和安排，画图一般是由教师呈现帮助学生理解抽象的算理的.学生认知的轨迹是由直观到抽象、由已知到未知、由简单到复杂，循着这一轨迹，教师可创设活动、设计教学、引领生成，凸显数学思想中的“转化”“类推”，以简驭繁，建构算法.

三、教学环节设计及意图

（一）通过多种方法铺垫促进学生理解算理

笔者把这节课的任务分为两部分：一是先不用竖式，独立探索11.5÷5的商是多少，二是用竖式计算11.5÷5.为什么要分开探究呢？原因是笔者第一次试讲时是没有分开的，学生选什么方法都可以，包括竖式的方法，但大多数学生直接选择用竖式进行探究，而这会淡化学生对算理的理解.故为了让每个学生都能完整经历小数除法竖式的探究过程，笔者将任务分为两部分，以借助多种方法使学生充分理解算理.

（二）借助数形结合帮助学生突破知识难点

数形结合一直是学生理解算理的最佳途径.一年级百以内的加减法与实物图、小棒图的结合，二年级大数的加与减与计数器和方块图的结合，三年级小数的加与减与方格图的结合，可以说，这些图为学生理解抽象算理提供了直观的模型.随着年级的增高，这些图本身也是由形象到具象，再到抽象.

教师应根据学生的真实学情，适时运用数形结合的方法，让学生直观感知分方格的过程，明确商的小数点如此定位的缘由，使其真正理解算理.适时运用数形结合的方法，把竖式和前面分方格图的方法联系起来，能让学生直观感知分的过程，帮助学生理解算理.本节课是小数除法与方格图的结合，通过分格子图能让抽象能力相对较弱的学生经历平均分的过程，并使他们深刻认识到当分到1.5不会分的时候，可以把1个正方形转化成10个小条，和剩下的5个小条和在一起变成15个小条，这样再平均分成5份，每份就是3个小条，这也为抽象能力强的学生提供了直观的数学模型.

（三）通过对比疏通多种算法之间的联系

在不用竖式计算环节，学生使用的方法主要是利用元角分的关系进行单位换算、利用商的变化规律、分方格图等.在学生分享了多种计算方法之后，教师引领其沟通了三种算法之间的联系.

首先是单位换算方法和扩大10倍方法之间的联系.单位换算方法是通过1元=10角，把11.5 元转化成115角来分，是把小数除法转化成了整数除法.商的变化规律的方法是通过扩大10倍把11.5转化成115，扩大10倍方法也是把小数除法转化成整数除法.教师引导学生总结，发现这两个方法的实质是一样的.

其次是分格子图的方法和竖式方法的联系.当学生探究竖式遇到小数点该不该落的问题时，教师可引导学生通过观察分格子图的方法，通过把1个一转化成10个0.1，从而把1.5转化成15个0.1，从而理解之所以小数点不落，是因为要分的这个数是15个0.1，而且只有这么分才好分.

这三个转化的共通之处就是把未知转化为已知，把小数除法转化为整数除法.

（四）運用迁移帮助学生优化算法的同时理清除法的知识脉络

在这之前，学生学习的是关于整数除法的知识，通过观察比较129÷6和12.9÷6，学生可体会到其实整数除法和小数除法的算理是完全相同的，都是在一个大的计数单位不够分的时候，将其转化成下一个相对较小的计数单位接着分，只不过整数除法分到个位就停了，而学完小数之后，就可以把计数单位一分成若干个0.1后继续分，还可以把计数单位0.1分成若干个0.01继续分，直到全部分完为止.

孙晓天教授说过：如果把思想和经验定为目标，如果给学生留出充分的探究空间，如果教师在理解算理、发现合理简捷的运算方法方面多一些引导，那么运算就会成为一块孕育发现能力的富饶土壤.希望这节运算课的学习能够促进学生去发现一些数学知识的真谛.

【参考文献】

[1]马云鹏.深度学习的理解与实践模式：以小学数学学科为例[J].课程.教材.教法，2017（4）：60-67.

[2]何娟.小学生小数除法错误类型研究[D].天津师范大学，2019.

[3]马晓钰.小学生小数除法理解水平的调查研究[D].上海师范大学，2020.

[4]史宁中.关于除数是分数或者小数的一个注[J].数学教育学报，2019，28（5）：1.