高中数学数列问题教学中函数思想的应用探究

赵清军

摘 要：数列是以自变量为正整数集的一类特殊函数，是高中数学中的重要内容。借助数列的函数特性解决数列问题在一定程度上简化运算，同时也对数列的几何意义有更深刻的认识。借助函数的定义、图象、性质以及构造函数几种途径研究和解决数列问题，对于解决数列通项、数列最值等问题有重要作用。

关键词：高中数学;函数思想;数列

数列是按照一定顺序排列的一列数。数列是一种特殊的函数，定义在正整数集或其有限子集。由此可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。克莱因曾说：“函数是数学的灵魂。”函数思想是数学思想的重要组成之一，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。数列一直以来都是高考的重点内容，而数列与函数的综合应用是高考命题的重点和热点。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数相关知识，通过其概念、图象和性质，将数列与函数联系起来，探究它们间的内在联系，从而有效的简化数列问题，最终解决问题。以函数的概念、图象、性质为工具，揭示函数思想在数列问题中的应用技巧。

一、函数思想下的高中数学数列课堂现状

（一）照本宣科

现阶段，有些教师在课堂上带领学生应用函数思想解决高中数学题时，大多都是毫无新意地对课本教材进行复刻，虽然课本知识都是正确的，但是机械地搬弄只会让学生感觉到学习的枯燥乏味，很难提起兴趣。对比教师给出的相关概念与定义，通常会使学生回忆起初中学到的函数知识，此时的学生难免会产生疑惑“为何与之前学过的函数定义存在不同？”假如教师不能在本节课及时给学生答疑解惑，那么便会对其日后的学习造成不良影响，只会让学生更难以理解后续的课程。因此，以函数思想为指导的高中数学解题教学在具体开展过程中，首先需要教师对比初中函数概念进而引出高中阶段需要学习的函数思想内容，带领学生完成由已知到新知的过渡，及时消除学生疑虑。

（二）不顾学情，盲目授课

在广大的教师队伍中还有这样一类教师，其年轻敬业，却习惯性忽视学生的实际学情。这些教师在给两个不同班级教学时，常常忽视每个班的学生在学习能力方面存在着较大差距，教师在给能力更强的班级授课时会迅速递进相關知识点，一节课包含众多知识点，然而等到课下批阅学生作业时却发现学生很快就能接受所学知识，效果还不错，就会认为这种教法是有效的。因此，到另一个班教学时，依然会套用相同的教学思路与方法。此时，这个班的学生学习起来就相当费力，眼下的知识点还没搞清楚就要跟上教师步伐学习下一个知识点，一节课下来大多学生都是云里雾里的，完全不清楚这节课讲了什么，最终导致能力较差的学生学习效果不佳。因此，在日常教学中，尤其是在讲授函数概念性内容时，教师务必要重视分析学生实际学情，制定相适宜的教学计划，以求给学生日后顺利、高效学习打下坚实基础。

（三）枯燥无味

还有一些教师讲课时根本提不起学生兴趣，给学生造成枯燥乏味的认知。主要是因为刚刚升入高中的学生还没有完全适应眼下的学习生活，加之函数板块的内容本就晦涩难懂，很多教师在课程刚开始时就单刀直入切进正题，缺少有效的铺垫引导，所以很难激发学生兴趣，导致教学效果不理想。因此，给学生讲授函数模块的内容时，需要教师融入新课程理念，鼓励学生自主探究学习内容，主动获取知识，掌握高效学习方法。教师可适时为学生创设相应教学情境，引导其尝试亲近数学概念、定理、公式、思想方法等，在此基础上点燃其学习热情，增强学习兴趣，进一步打造高效课堂。最后，还有一个不容忽视的问题，就是教师自身的数学素养缺乏。存在这一问题的基本上都是刚刚走上教育工作岗位的青年教师，针对抽象且杂乱的函数思想内容，很多教师尚未形成清晰的教学思路，教学方案缺少逻辑性、连贯性，很难吸引学生注意力。

二、基于函数思想的数列解题应用研究

（一）函数思想解决数列问题一直是高考数学评估中的关键和难点问题。数列由有序数字组成，每个都可将其看作一个函数。函数思想与科学研究的独立变量有关。两者可以在一定条件下相互转换，从而简化了复杂的问题。因此，在学生解题的整个过程中，应探索题目内隐藏条件，深入地分析问题，并建立函数思想和数列间存在的联系性、规律性。基于函数思想解决数列问题，有助于深化数列定义、等比、等差等知识衔接。数列问题求解，应抓住题目中的已知条件与利用函数的单调性与连续性等定义互相转化，求得数列分布规律和通项公式，促使问题得到高效解决。此外，教师在课堂上应有目的地指导学生找到最佳解题方案，点燃数学学习热情，发展学生的逻辑思维能力，帮助其掌握函数思想。保持灵活性，借助数学思想来解决实际问题，并提高学生的数学水平。最后，教师应重视训练学生的数学思想应用能力，并在课堂上充分说明数学思想的重要性。

（二）借助函数定义简化数列问题

数列的第n项，与序号n之间的关系可以用这个数列的通项公式来表示，即=f（n），也就是说，数列的通项公式是关于自变量n的表达式，即为一个函数。显然可知，等差数列、等比数列的通项公式与前n项和均是关于n的函数，其定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}。所以我们在解决数列问题时，可以通过将其考虑为函数来简化问题，借助函数的本质、意义对问题进行分析，从而简化数列问题，使问题得以解决。

（三）巧用函数图象简化数列问题

函数图象是直观反映函数特征的工具，利用图象解决数学问题，即数形结合，它是中学重要的数学思想方法之一，借助函数图象能直观有效的解决数列问题。将等差数列的通项公式改写为，它是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的离散点集。因为等差数列的前n项和的公式改写成，它是关于n的常数项为0的二次函数，其图象为过原点的某抛物线上的离散点。在等比数列中，当公比q=1时，等比数列{an}是常数列，其对应的图像是平行于横坐标的一条直线上的离散点，等比数列前项和是关于的一次函数，其图象是一条直线上的离散点;等比数列的通项公式，等比数列的前n项和Sn，  （q≠1）即 （q≠1）均是关于n的指数类型的函数，其图象是指数函数图象上的离散点。所以在解决数列问题时，我们可以借助数列的通项公式或其前n项和呈现出来的函数图象来分析问题，这样往往会使问题简单化，变得容易求解。

（四）活用函數性质简化数列问题

函数性质是显性反映函数特征的手段，在数列中，函数的诸多性质，如单调性、周期性等都有着较广泛的应用。利用函数的单调性可以找出数列及数列前n项和的最值;求解通项公式中的参数;利用周期性可以将较远项转化为较近项，简化。数列问题，从而达到较好的解题效果。

（五）构造函数简化数列问题

构造函数是函数思想的重要体现，同时构造法在解决数列问题中起着至关重要的作用。对于既不是等差数列也不是等比数列的问题，往往需要通过函数变换构造新函数将其转化为等差数列或等比数列，达到简化问题的目的，从而使问题得以解决。在构造函数的过程中，往往需要一定的观察、分析问题，进而得到数列的通项公式和前n项和公式的能力。

（六）在日常生活最优化问题中的应用

除了将函数思想应用到数列问题解决以外，函数思想还可应用于日常生活，这主要是因为数学思想在日常生活中有很强的应用性，在数学知识的学习中，引导学生积极将数学知识变化为生活经验，深化理解函数知识，并增强学习能力。例如，进行课堂教学时，师生经常遇到以最小的成本获得更大的经济效益的问题，即最优化问题。基于函数思想，可以在已知数量和未知数量之间建立关系，进而形成正确函数关系式，随后联系函数关系的相关性质，顺利解决问题，算出正确答案。学生的解题过程，同样是其函数思想学习的过程，也是学生能力锻炼的过程，通过教师的有效引导，对培养学生综合应用能力有着积极作用。

三、结束语

综上所述，数学中数列课程学习的核心内容就是解决数学问题，旨在解题过程中实现知识的有效运用，对于学生来说，是否可以迅速且正确进行解题，很大程度上要看学生的解题思路与技巧是否清晰，解题思想是否科学。然而，眼下学生进行数学解题时普遍深陷“题海”当中，走不出解题盲区，解题思想不清晰，解题思路不正确。在此背景下，作为数学思想中最重要的组成元素，函数思想的建立与运用非常有利于学生捋清解题思绪，提高解题效率。基于此，在高中数学教学中，还需教师引导学生对函数思想做出深入剖析，研究其本质，并实现有效运用，以便给数学学习提供不竭动力。

参考文献：

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[3]朱水英.例谈数列中函数思想的应用[J].福建中学数学，2020 （1）（03）：41-44