核心素养视域下逻辑推理能力培养的教学实践研究

郭丽巍

摘    要：探究动态问题，妙用特殊思想。如果一个数学结论对一般情况成立，那么对于特殊值的情况必然成立。因此在解决某些问题时就可以利用特殊值法，选择恰当的特殊值、特殊点、特殊图形来解决，这对烦琐问题的求解意义重大。本文将针对特殊值在动态轨迹中的巧妙运用进行说明。

关键词：数学素养;特殊值;归纳推理;动点问题

1.研究目标

新课程标准提出数学六大核心素养包括数学运算、数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析。可见逻辑推理在数学教学中占有举足轻重的地位。逻辑推理包括归纳推理和演绎推理，它在几何证明中占有重要的地位。逻辑推理的训练能力应该从小培养，为今后的数学学习奠定基础。

《普通高中课程标准（2017年版）》中给出了逻辑能力的界定：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而做出推论;再进一步寻找证据、给出证明或举出反例说明给出推论的合理性的综合能力。

2.应用广度

动态几何问题是初中数学非常重要的一类题型，因其综合性强、涉及知识点多、解答能力要求较高等特点，一直受到命题者的青睐。在近几年各地的中考、高考试卷中，以动点问题为主的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，成为全卷的难点，考查学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。史宁中教授认为，教学不仅要教给知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的过程中，形成于经历的活动中，形成于学生应用知识解决實际问题的教育教学实践中。今天我们浅谈下数学六大核心素养中的“逻辑推理”中的“归纳推理”。它主要体现在特殊值情况代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论，从而在解决问题时做出正确判断。这种方法叫做“特殊值法”。题目中已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论是唯一的或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理、论证的过程。这种方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊位置等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题的目的。

下面以实例说明特殊值在一些数学问题中的应用。

3.案例展示

（1）解题策略——运用函数模型，静化动点问题

例：已知A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边做等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像上运动，则这个函数解析式为（    ）

A.y=-（x>0）          B.y=（x>0）

C.y=-6x（x>0）          D.y=6x（x>0）

[分析]：A为动点，AB为动线。考虑A及AB的特殊位置，使得点A及直线AB为定点和定直线，把动态问题转化为常规问题。

解：如右图，当AB与x轴正半轴的夹角为45？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即点C的坐标为（，-  ），k=×-=-6，即函数解析式为y= （x>0）

解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为60？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y=x，此时可求出点A（  x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y=  （x>0）

解：如下图，当AB与x轴正半轴的夹角为30？紫时;当直线AB为一三象限的角分线时，直线AB为y= x ，此时可求出点A（x，x ），且k=x×x=2。则OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即点C的坐标为（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函数解析式为y=  （x>0）

[解析]首先判断点C的轨迹，若是选择题，便可直接带入点去验证，若本题为填空题，无论特殊点A选在哪里，都会得到一个确定的C点，尝试两次即可发现此轨迹为反比例函数的一支。代入点求出函数表达式。

（一般证明求解。）

解：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C做x轴的垂线交x轴于点F。

∵△ABC是等边三角形

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;

OC=OA;

△AOE∽△OCF;

===;

OF=AE，CF=OE;

∴OF×CF=3AE×OE=6

即函数解析式为：y=（x>0）

[评析]本题是考查反比例函数的综合题。自然解法源于高观点的统领[1]，本题涉及了直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多。解答本题的关键是将所学知识融会贯通。由于本题是选择题，引导学生自然化的解决问题，化动点为定线，培养核心素养，简单巧妙地解决问题。此题要想求出函数解析式，只要求点C函数轨迹，即点C的横纵坐标。由于此题中点C是一个动点，因此让直线AB选取特定的位置，选定A、B点C的位置就很容易确定了。若要规范地证明此题需要一个完整的思考体系，一般的学生很难得到标准答案。因此在做选择填空题时，学生应该学会适当地把握主线、学会巧妙化动为定。

（2）尝试运用——打破思维定式，寻找最优解法