在指数式大小比较的过程中发展学生的数学核心素养

熊昌森　邓慧明

摘要：《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出，数学教育承载着落实立德树人的根本任务和发展素质教育的功能，在形成人的理性思维、科学精神，以及促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。本文以指数函数中经常涉及的指数大小比较问题（其中，a、b、c、d∈R，且a>0，b>0，a、b≠1）为例，探讨了数学核心素养的渗透的途径。

关键词：高中数学核心素养   指数式大小比较   数学思想方法

指数式大小比较问题是历年高考的常考内容，其灵活性强，是考查指数函数性质的重要题型。同时，在比大小的过程中蕴含的数形结合、分类讨论等数学思想方法，也是高中生必须具备的数学思想方法。

一、同底数a^c与a^d或者同指数a^c与b^c的大小比较问题

方法一（函数单调性）：考虑指数函数y=a^x或者幂函数y=x^c，根据函数的单调性容易得到两者的大小关系。

方法三（图像法）：在直角坐标系中画出指数函数y=a^x或者幂函数y=x^c的图像，得到两数a^c与a^d或者a^c与b^c的图形表示，由图可以直接看出两数的大小关系，形象直观、一目了然。同指数a^c与b^c的大小比较，也可以在同一直角坐标系中考虑指数函数y=a^x与y=b^x的图像，得到数a^c与b^c的表示，进一步看出a^c与b^c的大小关系。

对同底数或者同指数的两指数式大小比较，学生容易掌握和理解，结果也很容易得到，但是其中蕴含的比大小的方法很多，运用的知识也不尽相同。方法一通过构造指数函数（或幂函数）进行求解，重点培养学生的数学抽象思维;方法二通过作商与1比大小，侧重学生的数学运算能力;方法三强调数学的直观性，将抽象的数或代数式表现在图中，形象直观的看出结果，能够很好地培养学生直观想象的核心素养。

二、指数式a^b与b^a的大小比较

分析：①当1 > a > b > 0时，借助中间值a^a或b^b可比大小，有a^b> a^a> b^a或a^b> b^b> b^a;②当a > 1 > b > 0时，借助中间值1可比大小，有a^b>1>b^a;③当a > b > 1时，中间值失去作用，此时该如何比大小呢？

这种情况比较起来就不像前面那样容易了，学生首先想到的是寻找中间值的方法，在经过尝试后，发现当a、b满足1 > a > b > 0和a > 1 > b > 0时，利用中间值容易得到结果，而当a、b均大于1时，中间值失去作用.所以需要具体分析数a、b的取值范围。那么要想解决这个问题，我们可以先考虑简单的、容易比大小的情况，再来通过分类讨论、逐层递进的方式逐步解决问题。在整个解决问题的过程中，学生能够很好地锻炼思维，提升思维品质，培育科学精神，发展数学核心素养。

三、a^a與b^b的大小比较

分析：可考虑函数y = x^x（x > 0）的单调性，因为导函数为yˊ=x^x（lnx+1），所以当e^-1> x > 0时，yˊ < 0，函数y = x^x递减;当x> e_^-1时，yˊ> 0，函数y = x^x递增。所以当e^-1 > a > b > 0，有a^a < b^b;当a > b > e^-1时，有a^a> b^b;当a > e^-1> b时，a^a与b^b的大小不确定。

综上所述，在最近发展区理论的指导下，笔者从学生的实际水平出发，恰当设置问题，逐层深入，有效激发了学生数学学习的兴趣，体会到知识间的广泛联系，体验数学思想方法的应用。另外，在各种情况的分析比较过程中，能够有效培养数学核心素养，发展学生的逻辑思维，促进学生智力的发展。

（作者单位：陕西省汉中中学）