一类带小扰动的Raman散射的数学模型研究

肖蕊梅 江新华 李明远

(北京化工大学 数理学院， 北京 100029)

引 言

Raman散射是基于光与物质作用后产生的对称分布在Rayleigh散射光两侧的非弹性光散射效应，可通过散射光与入射光相比频率的位移分析被散射分子的组成和结构。Raman光谱技术广泛应用于食品质量[1]、生物医药[2]、刑事侦查[3]和环境保护[4]等领域，因此对Raman散射的研究有着重要的实际意义。

Lie等[5]提出受激Raman散射中的分子振动模型可以用阻尼和外部正弦场驱动的Morse振子的经典方程来描述

y″(t)+αy′(t)+(1-e-y)e-y=Acosωt

式中，t为时间变量，y代表振子的振幅,也是时间t的函数，α为阻尼系数，A为调制强度，ω为驱动频率。他们利用四阶Runge-Kutta法得到数值解，当阻尼系数α在0.001～0.4之间(此时阻尼极限较弱)且驱动频率ω较大时，以ω为横坐标，振子的最大振幅ymax为纵坐标建立坐标系作图，发现图像中间部分会出现稳定的上下两个分支，即双稳态现象，解到底收敛于哪个分支取决于初始条件和驱动场的相位。如果驱动频率从小到大开始变化，随着驱动频率的增加，ymax的增长非常缓慢且一直收敛于下分支，直到某一个临界点，ymax会突然增大并跳到上分支，接下来又会迅速减小；如果驱动频率从大到小变化，ymax将从上分支开始迅速增大，直到某一个临界值，突然下降到下分支，体现了解的滞后现象。由于Stokes波强度的急剧增长与分子振幅的突然增加有关，一般的谐振子模型无法解释Stokes波强度的急剧增长现象，而Morse振子模型却可以很好地解释分子振幅的突然增加，因此该模型可以用来描述受激Raman散射中的分子振动，进而解释Stokes波强度的急剧增长现象。

本文旨在研究受激Raman散射分子振动数学模型在小阻尼且弱驱动下的初值问题

(1)

其中ε是扰动系数，通常0<ε≪1，α、ω为正常数。首先我们利用不动点定理证明初值问题(1)的解是存在唯一的，进而利用摄动方法求出渐近解的首项并给出余项估计，从而证明渐近解的一致有效性。

1 解的存在唯一性

为证明解的存在唯一性，作变量代换，令

y(t)=εv(t)

代入式(1)得

(2)

记

M0(ε0)=K0[(α+2ω)(2+ε0ω)+α·(1+ε0ω)2]

故T、M、M0(ε0)、K0也为正常数。

接下来将证明定理1，将式(2)写成积分方程的形式

v=F(v)=F1(v)+F2(t)

(3)

其中，

(4)

(5)

记

(6)

由于

故∃ε2>0，当0<ε≤ε2≪1时

即

(7)

由于

故∃ε3>0，当0<ε≤ε3≪1时

|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|≤6

即

|2e-2εξ-e-εξ-1|≤|(2e-2εξ-e-εξ-1)/(εξ)|·|εξ|≤6ε|ξ|

(8)

由于

故∃ε4>0，当0<ε≤ε4≪1时

(9)

下面证明F(v)=F1(v)+F2(t)是定义在连续函数空间上的压缩映像，从而用不动点定理证明定理1。

取ε0=min {ε1,ε2,ε3,ε4}，由于

(10)

由式(6)、(7)可知，当|v|≤M，0<εt≤T时

|F1(v)|≤2×2|εv|×|v|×t≤4M2T

(11)

通过计算F2(t)可知，当0<ε≤ε0≪1时

即

F2(t)≤M0(ε0)

(12)

将式(11)、(12)代入式(3)得

|F(v)|≤|F1(v)|+|F2(t)|≤M0(ε0)+4M2T

令

M0(ε0)+4M2T≤M

(13)

接下来证明F：v→F(v)为压缩映射，由式(3)可得

(14)

其中，

由于v1∈v,v2∈v，故|v1|≤M,|v2|≤M，则有

g′(v)=2e-2εv-e-εv-1

根据不等式(8)和拉格朗日中值定理∃ξ∈(v1,v2)，|ξ|≤M，有

|g(v2)-g(v1)|=|g′(ξ)(v2-v1)|≤|2e-2εξ-e-εξ-1||v2-v1|≤6εM|v2-v1|

(15)

将式(15)和0<εt≤T代入式(14)得

|F(v1)-F(v2)|≤12εM|v1-v2|t≤12MT|v1-v2|

令

12MT<1

(16)

2 多重尺度法求近似解

根据文献[6]中对多重尺度法的介绍，可取两时间尺度分别为t1=t，t2=εt，代入式(1)得

(17)

令

y=εy0+ε2y1+ε3y2+…

(18)

故

(19)

将式(18)、(19)代入到式(17)，并令ε的一次幂系数相等得

解得

(20)

令ε的二次幂系数相等得

解得

为消除长期项，需满足

解得

(21)

将式(21)以及t1=t，t2=εt代入到式(20)得

(22)

3 余项估计

定理2在0<ε≤ε0≪1，0<εt≤T时，有|y(t)-εy0(t)|=ε|v(t)-y0(t)|≤ε2M3(ε0,T)，其中M3(ε0,T)是与ε0和T有关的正常数。

令v(t)=y0(t)+R(t)，代入式(2)得

(23)

其中

将初值问题(23)写成积分方程的形式

由式(6)知|φ(t,τ)|≤2，则

|R|≤s1(t)+s2(t)+s3(t)

(24)

根据不等式(9)

(25)

(26)

利用Maple软件计算s3(t)可知

其中

通过Maple软件计算可知，存在常数ε和T，当0<ε≤ε0≪1，0<εt≤T时，有

s3(t)≤εM1(ε0,T)

(27)

其中M1(ε0,T)是与ε0和T有关的正常数。

将式(25)～(27)代入到式(24)得

(28)

其中M2(ε0,T)也是与ε0和T有关的正常数,且

由文献[7-8]可知，当0<ε≤ε0≪1，0<εt≤T时，存在与ε0和T有关的正常数M3(ε0,T)，使得

|R|≤εM3(ε0,T)

根据第2节求得的渐近解首项为εy0，故

|y-εy0|≤ε|R|≤ε2M3(ε0,T)

由此可知第2节求得的渐近解首项是一致有效的。

4 结束语

本文利用多重尺度法求解了受激Raman散射分子振动数学模型中初值问题的渐近解首项，并证明了初值问题的解的存在性和渐近解的一致有效性，但不足之处是只求解了渐近解的首项，且在选取时间尺度时仅选取了两个时间尺度，故求得的近似解不够精确。若要得到更高的精确度，可计算渐近解的后几项或者选取多重时间尺度，当然计算量也会随之增加。